Борзенко

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАПОЛНЕНИЯ КАНАЛА
НЕНЬЮТОНОВСКОЙ ЖИДКОСТЬЮ В НЕИЗОТЕРМИЧЕСКИХ
УСЛОВИЯХ
Е.И. Борзенко, Г.Р. Шрагер
Томский государственный университет
634050, Томск
Рассматривается плоское течение реологически сложной жидкости,
реализуемое при заполнении вертикального плоского канала в поле силы тяжести с учетом наличия свободной границы, зависимости вязкости
от температуры и диссипации механической энергии. Такое течение
описывается уравнениями движения, сохранения массы и энергии, которые в векторном безразмерном виде записываются следующим образом:
dV
 p    (2 BE)  W,
dt
  V  0,
dθ
Pe
 θ  C1  2 B  I 22 .
dt
Re
Здесь V – вектор скорости, t – время, p – давление,  – температура,
– второй инвариант тензора скоростей деформаций E, W=(0,-W).
Значение эффективной вязкости B вычисляется следующим образом.
I 22
B
Se+() I 2
, ()  eC2 .
I2
Если положить параметр C2=0, то реологическое уравнение описывает модель вязкопластичной жидкости Шведова-Бингама. В задачу
вошли следующие числа подобия: Re  UL / 0 , W = gL2 / 0U ,
Pe  c UL /  , C1  0U 2 / T0 , Se   0 L / 0U , C2  T0 , где  – плотность, g – ускорение силы тяжести, c – теплоемкость,  – коэффициент
теплопроводности, 0,  – константы реологического закона, 0 – предел
текучести, T0 – температура стенки. В качестве масштабов обезразмеривания выбраны следующие величины: длина – полуширина канала
L, скорость – среднерасходная скорость во входном сечении U, дав Борзенко Е.И., Шрагер Г.Р. 2014
1
ление – величина 0U / L, вязкость – 0.
На свободной поверхности граничные условия заключаются в отсутствии теплового потока и касательных напряжений, равенстве нормальных внешнему давлению. Эволюция границы во времени описывается кинематическим условием. На твердой стенке выполняется условие
прилипания, а ее температура равна нулю. Во входном сечении профили температуры и скорости соответствуют установившемуся течению
неньютоновской жидкости в бесконечном канале с заданным постоянным расходом (рис.1 а). Пунктирная линия отделяет зону квазитвердого
движения. Соответствующие распределения вязкости и диссипативной
функции представлены на рис. 1 б. На плоскости симметрии выполняются условия симметрии течения.
Рис. 1. Распределение характеристик во входном сечении
1 – продольная скорость, 2 – температура, 3 – эффективная вязкость, 4 – диссипативная
функция (Se=0.3, C1=1, C2=1.33)
Задача решается численно с помощью конечно-разностной методики, основанной на совместном использовании метода SIMPLE [1] для
расчета искомых переменных во внутренней области и метода инвариантов [2] для удовлетворения граничных условий на свободной поверхности. Течение вязкопластичных сред характеризуется наличием зон
квазитвердого движения, в которых В (рис. 1 б). Для обеспечения
устойчивого сквозного расчета выражение для эффективной вязкости
записывается в модифицированном виде [3]
B
2
Se+() I 22   2
I 22

2
, ()  e C2 .
где  - малый параметр. Выбирая его величину заведомо большей ошибок аппроксимации, но достаточно малой для того, чтобы не исказить
характер течения, можно сгладить профили эффективной вязкости на
границах квазитвердых ядер и, в тоже время, получить решение, близкое к решению с использованием исходной модели. Для выделения ядер
используется условие BI 2  Se .
Рис. 2. Распределения изолиний характеристик (а-в) и квазитвердых ядер (г)
а – температуры, б – эффективной вязкости, в – диссипативной функции
Re=0.01, W=20, Pe=100, Se=0.3, C1=1, C2=1.33
Численное исследование показало, что область течения можно разделить на две зоны, как и в случае изотермического течения ньютоновской жидкости [4]. В окрестности свободной границы течение носит
3
фонтанирующий характер; в остальной области реализуется одномерное
течений, характерное для установившего течения в бесконечном канале.
Фронт свободной поверхности имеет установившеюся форму, перемещающуюся вдоль канала со среднерасходной скоростью. На рис. 2 (а, б,
в) представлено распределение температуры, эффективной вязкости и
диссипативной функции соответственно. Зона максимальной температуры формируется на некотором удалении от свободной границы. Из
распределения B видно, что в окрестности плоскости симметрии на некотором расстоянии от свободной поверхности эффективная вязкость
резко возрастает, и здесь реализуется зона квазитвердого движения.
Этот факт демонстрирует рис.2 (г), на котором представлено распределение квазитвердых ядер. Распределение диссипативной функции показывает, что максимальная диссипация происходит в окрестности линии
трехфазного контакта. Однако здесь большая часть тепла отводиться
через стенку и сильного разогрева не наблюдается.
Работа выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки РФ в
рамках государственного задания №2014/223 (код проекта 1943) и
РФФИ (проект № 12-08-00313а).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Патанкар С. Численные методы решения задач теплообмена и механики жидкости.
М.: Энергоатомиздат, 1984. 152с.
2. Шрагер Г.Р., Козлобродов А.Н., Якутенок В.А. Моделирование гидромеханических
процессов в технологии переработки полимерных материалов. Томск: Изд-во Том. унта, 1999. 230с.
3. Bercovier M., Engleman M. A finite-element method for incompressible non-Newtonian
flows // J. Comp. Phys.1980. V.36 P. 313–326.
4. Coyle D.J., Blake J.W., Macosco C.W. The kinematics of fountain flow in mold filling //
AIChE Journal. 1987. V. 33. № 7. P. 1168-1177.
4