Течение вязкой несжимаемой жидкости в канале при заданном перепаде давления. 1. Введение Течение вязкой несжимаемой жидкости описывается уравнениями НавьеСтокса. Если их записывают в переменных «скорость-давление», то на границах обычно ставят условия для скоростей, и в этом случае для существования решения не требуется дополнительных условий на давление. Однако, если исходная постановка задачи такова, что краевые условия заданы для давления (это, например, задача о движении крови в артерии) или учитывается фильтрация через границы, то в общем случае неясно, какие именно значения принимают на границах скорости или их производные. В данной работе предлагается в качестве краевого условия использовать выполнение на границе самого уравнения, описывающего движение жидкости. В работах [1,2] доказана теорема существования и единственности сильного решения для уравнения Навье-Стокса, когда в качестве граничного условия задано давление и касательная составляющая скорости, которая, однако, трудноприменима в случае криволинейных каналов. 2. Постановка задачи Рассмотрим задачу о протекании вязкой однородной несжимаемой жидкости в криволинейном канале с заданным перепадом давления на входе и выходе (см. рис. 1). На границе AB (входное отверстие) задано давление (выходное отверстие) задано давление , так что , на границе CD . На твердых стенках BCи AD задано условие прилипания (скорость ). Также на входе и выходе поставим условие равенства нулю касательной составляющей скорости. Рисунок 1. 3. Аппроксимация Двумерное течение вязкой несжимаемой жидкости описывается уравнениями Навье-Стокса: где , - внутренняя область с границей коэффициент кинематической вязкости. , - На границе выполнено Для решения поставленной задачи введем в области , согласующуюся с границей прямоугольную сетку , с сеточной границей . На аппроксимируем систему уравнений разностной схемой где - множество индексов Разностный оператор , отвечающих внутренним точкам. аппроксимирует оператор Лапласа Краевое условие заменяется точными равенствами где - множества индексов , отвечающих соответственно. Также на входе и выходе задана нулевая касательная составляющая скорости: (3) 4. Метод решения Полученная разностная задача является системой билинейных уравнений (т.е. системой нелинейных уравнений линейный оператор, , где , - - билинейное отображение, ). Для решения использовался метод неполной аппроксимации (4) где выбирается из условия элементы которой нормы невязки, ,а - диагональная матрица, выбираются последовательно из условия минимума - вектор, все координаты которого равны 1. Для нахождения где , введем вектор , - вектор с i-й компонентой, равной 1. Тогда Обозначим . Очевидно - невязка схемы. Получим: Далее: , где Так как , то график зависимости от имеет вид: Тогда найдем как решение кубического уравнения явным формулам Кардано. по Параметр τ n+1 можно выбирать из условия минимума ||rn+1||2. В этом случае и ||rn+1||2 =θ n+1||rn||2. Схема (4) обладает асимптотическим свойством, которое позволяет построить ускоряющую процедуру в случае плохой сходимости. 5. Результаты Если стенки канала параллельны, то реализация краевых условий (2) дает картину течения, совпадающую с течениями, приведенными в [2,4] (см. рис. 2,3). Аналогичная ситуация имеет место в трехмерном случае (см. рис. 4). Рисунок 2. Рисунок 3. Рисунок 4. В случае, когда стенки канала не параллельны, задание на правой границе нормальной составляющей скорости приводит к течению, отличному от приведенного в [5] (рис 5). Рисунок 5. Задание на выходе из канала «мягких» краевых условий (мы использовали для этого аппроксимацию исходной системы уравнений (1) внутрь области решения) приводит к появлению возвратного течения в верхней части канала (см. рис. 6), что хорошо согласуется с результатами работы [5]. Аналогичная картина имеет место в разветвляющемся канале с расширением (см. рис. 7). Рисунок 6. Рисунок 7. Аналогичные течения имеют место и в случае синусоидального канала (см. рис 8). Рисунок 8. Список литературы 1. Рагулин В. В. К задаче о протекании вязкой жидкости сквозь ограниченную область при заданном перепаде давления или напора. – в сб.: Динамика сплошной среды, вып. 27, Новосибирск, 1976, с. 78-92. 2. Кузнецов Б.Г., Мошкин Н.П., Смагулов Ш., Численное исследование течения вязкой несжимаемой жидкости в каналах при заданных перепадах давления. – в сб. численные методы динамики вязкой жидкости, Новосибирск, 1983, с. 203207. 3. Захаров Ю.Н., Градиентные методы решения задач гидродинамики, Новосибирск, Наука, 2004, 239с. 4. Дорфман А.Л., Численное решение задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в разветвляющемся канале при задании перепадов давления между ответвлениями. – в сб. Численные методы механики сплошной среды, том 10, № 7, Новосибирск, 1979, с. 52. 5. Карякин В.Е., Карякин Ю. Е., Расчет течений вязкой жидкости в плоских каналах произвольной формы. – в сб. Численные методы механики сплошной среды, том 17, № 5, Новосибирск, 1986, с. 98.