Логико-дидактический анализ темы «Многоугольники»

Логико-дидактический анализ темы «Многоугольники»
Анализ темы «Многоугольники» будет выполнен по учебнику А.В. Погорелова [113].
1. Цели образовательные и воспитательные изучения темы «Многоугольники».
1. Продолжить раскрытие содержания геометрии как дедуктивной системы знаний:
а) построить систему определений основных фигур темы на основе логической связи их
между собой;
б) раскрыть конструктивную природу определений многоугольника и угла с учетом нового подхода (как части плоскости);
в) раскрыть операционный состав единого математического приема неполной индукции,
используемого при доказательстве основных утверждений темы, и степень строгости проводимых доказательств.
2. Систематизировать и обобщить некоторые метрические свойства многоугольников, рассмотренные ранее для треугольников и четырехугольников и в связи с окружностью.
3. Типизировать математические задачи, раскрыть операционный состав поиска решений
задач определенных типов, показать практические приложения изучаемой в данной теме теории.
Непосредственными мотивами изучения этой темы могут быть следующие:
1) Весь понятийный аппарат темы составит основу понятийного аппарата темы «Многогранники» в курсе стереометрии.
2) Изучаемые свойства правильных многоугольников применяются при конструировании
различных деталей (гайки восьмиугольные и шестиугольные) и сооружений (можно решить задачи № 21. 22, 40).
3) Теория и практика паркетов построена на свойствах многоугольников и особенно правильных многоугольников (статья А. Н. Колмогорова «Паркеты и правильные многоугольники», [72]).
4) На основе свойств правильных многоугольников можно решать интересные задачи на разбиение фигур (см.: Квант.—1982.— № 12). Решение таких задач развивает логическое и конструктивное мышление учащихся.
2. Логико-математический анализ темы. Материал в теме организован на дедуктивной
основе, так как всем фигурам, вводимым в теме, даются определения. Можно проследить логическую цепочку в конструировании определений фигур.
Ломаная
Вершины
Ее звенья
Многоугольник
Вершины
Простая ломаная
Замкнутая ломаная
Длина
Плоский многоугольник
Выпуклый многоугольник
Стороны
Диагонали
Правильный многоугольник
Вписанный (описанный) многоугольник
Выстроенная цепочка позволяет решать вопросы раскрытия логического действия – конструирования определений объектов.
Математический анализ этой цепочки связанных понятий показывает, что наиболее
трудными для объяснения будут понятия плоского и выпуклого многоугольников, так как здесь
используются такие объекты, как часть плоскости и принадлежность прямой полуплоскости.
Названные понятия вводятся на основе иллюстраций, и этот факт накладывает определенные
требования на использование наглядности. Существенно новым и важным для данного курса
геометрии является вводимое здесь понятие плоского угла. Так как по современной программе
вопросы, связанные с длиной дуги и радианной мерой угла, изучаются в связи с изучением тригонометрических функций, то здесь данные понятия можно только актуализировать.
В теме доказывается четыре утверждения. Одно — о длине ломаной —фактически есть
обобщение неравенства треугольника. Второе — о сумме углов выпуклого многоугольника —
есть обобщение утверждения о сумме углов треугольника. Третье — конструктивная теорема
существования правильного многоугольника. И четвертое дает в определенной мере обоснование числа .
В основе доказательства первых двух утверждений лежит идея обобщения неравенства треугольника и суммы углов треугольника, она же используется и как прием доказательства. От
одного неравенства треугольника переходим к следующему звену и т. д. и индуктивно делаем
общий вывод. Аналогичный прием и в двух следующих теоремах. Поэтому необходимо раскрыть операционный состав приема и суть умозаключения по индукции, чтобы были усвоены и
действия, приводящие к обоснованию утверждения.
Значительные содержательные сложности скрыты в доказательстве теоремы об отношении
длины окружности к диаметру, так как здесь неявно используется понятие предела. Опять важно использование средств наглядности, особенно здесь хорошо использовать мультфильм.
Факты, связывающие длину стороны правильного многоугольника с радиусом окружности,
устанавливаются в значительной мере алгебраически.
Математические задачи, приведенные в учебнике, можно по соответствию теоретическим
сведениям объединить в пять групп:
первая группа задачи — № 1—7, вторая — № 8—18, третья № 19— 29, четвертая № 30—40,
пятая № 41—47.
В соответствии с. обязательными результатами решение «типичных» задач второй, третьей и
четвертой групп должно быть хорошо отработано в классе и со всеми учащимися.
Для определения «типичных» задач необходимо наборы групп задач учебника сравнить с
обязательными результатами и выделить их пересечение. В каждой из групп есть задачи, решая
которые можно формировать основные элементы математической деятельности на школьном
уровне. Из первой группы это задачи № 5, 7; из второй — № 9, 13, 14, 15, 16, 18; из третьей—№
23, 24, 25; из четвертой— № 38, 39.
Выделение основного («ядерного») материала темы, установление групп математических задач, соответствующих основному материалу, выделение «типичных» задач группы и задач,
позволяющих обучать математической деятельности, позволяют определить основные учебные
задачи и действия по их решению.
3. Учебные задачи и действия, им адекватные. Основной учебной задачей темы, как вытекает из целей обучения теме и анализа содержания учебного материала, может быть формирование нового понимания геометрической фигуры как части плоскости и раскрытие некоторых
ее конструктивных и метрических свойств на основе решения математических задач.
При решении этой учебной задачи можно решить следующие подзадачи:
а) Раскрыть логическую структуру взаимосвязи определений фигур темы от ломаной до правильного многоугольника. Результатом решения этой подзадачи будет «цепочка» взаимосвязанных определений и умения конструировать их, выделяя родовое свойство и видовые отличия. Материал темы позволяет (сконцентрировано в одном месте восемь взаимосвязанных объектов) действие конструирования определений фигур сделать актуально значимым.
б) Раскрыть структуру приема доказательства утверждений по индукции. Результат решения
– овладение последовательностью действий, составляющих прием доказательства по индукции.
в) Раскрыть соотношение между линейными и угловыми элементами правильных многоугольников и радиусами вписанной и описанной окружностей и конкретизировать его при решении математических задач. Результат решения — последовательность действий при применении формул к решению математических задач, так как эти действия в значительной мере однообразны во всех задачах. А именно эти задачи составляют основное содержание задач обязательных результатов обучения.
г) Раскрыть специфику получения формулы длины окружности (на основе интуитивного понимания понятия «близко» между периметрами вписанного и описанного правильных много-
угольников) и применить ее к нахождению длин окружностей и их частей. Результат решения
— понимание особого приема доказательства теоремы и последовательность операций по применению формулы в аналогичных задачах.
д) Овладеть приемами поиска решения математических задач путем использования общих
приемов решения задач на доказательство и конкретных эвристик, использующих выведенные
в теме свойства фигур. Результат решения — актуализированные общие приемы поиска решения задач на доказательство и специфические эвристики.
4. Средства и приемы обучения. Средства: модели плоских и неплоских ломаных; модели
и чертежи многоугольников (выпуклых, невыпуклых, правильных, вписанных и т. п.); магнитная доска, складной метр; динамическая модель описанного и вписанного многоугольников;
математические задачи как средство подведения под понятие фигуры и конкретизации теоретического факта; математические задачи как цель реализации математической деятельности на
школьном уровне.
П р и е м ы: использование графов для построения «родословной» понятия; составление пошагового доказательства теоремы 12.1 для создания возможностей переноса структуры доказательства на доказательство последующих теорем: 12.2 и 12.3; работа с учебником при доказательстве теорем 12.2 и 12.3; составление таблиц формул для аn и bnчерез R и r и представление
их в классе для постепенного, непроизвольного запоминания; набор эвристик при обучении поиску решения задач.
5. Формы контроля и оценки. Контролироваться и оцениваться при обучении данной теме
будет следующее: 1) знание основных («ядерных») фактов: определения правильного многоугольника;
теоремы существования правильного многоугольника (возможности вписания (описания) правильного многоугольника в окружность); формулы, выражающей зависимость а n от R и г, обоснования числа , плоского угла; 2) владение методом доказательства по индукции, приемом составления «родословной» взаимосвязанных определений фигур; приемом обоснования числа ;
общими приемами решения задач, конкретизирующих теоретические факты на уровне обязательных результатов обучения; общими приемами поиска решения нестандартных математических задач.
На основе логико-дидактического анализа темы, который возможно выполнять с разной степенью детализации и конкретизации. можно далее решать различные методические задачи.
В частности, на первых практических занятиях, после того как будут усвоены общие подходы выполнения логико-дидактического анализа тем, необходимо решить методическую задачу:
«Составить таблицу — развернутый тематический план изучения темы «Многоугольники»
(табл. 17)».
Дадим комментарий к каждой графе.
1. Количество уроков взять пока такое же, как в программе, так как нет учета работы реального класса и конкретного учителя (см.: Математика в шк.— 1985.—№ 6).
2. Темы уроков сформулировать на основе логико-дидактического анализа темы, но каждый„урок должен иметь свою тему.
3. Цели уроков детерминированы только содержанием материала и получат корректировку в
реальном классе. Сформулированные ранее учебные задачи и подзадачи существенно помогают
постановке целей урока.
4—5. Распределение математических задач по урокам и на домашние и классные детерминируется целями урока и обязательными результатами обучения (см.: Математика в шк.—1985.—
№ 3).
6. Самостоятельные работы зависят от реализуемых целей и вида деятельности учащихся на
уроке. Их содержание приведено в журнале «Математика в школе».— 1985.— № 1. В этой графе важно предусмотреть степень самостоятельности выполнения учащимися каждой самостоятельной работы: работа проводится с указанием общих рекомендаций о ее выполнении, с использованием учебников и тетрадей, с использованием консультаций учителей или товарищей,
полностью самостоятельно без какой-либо помощи и т. п.
7. В графе «ТСО и наглядность» можно использовать результаты анализа темы и конкретные
изготовленные наглядные пособия, а также диафильмы и диапозитивы.
8. Повторение необходимо спланировать с учетом целей обучения.
9. Материал, способствующий созданию положительной мотивации, можно найти в книгах
для внеклассной работы.
Составленное примерное методическое планирование темы не является обязательным и
предметом обсуждения на занятиях.
Достоинствами предложенного планирования можно считать объединение в один урок всего
понятийного аппарата правильных многоугольников, объединение в один урок доказательства
двух теорем, так как метод доказательства их одинаков, концентрацию на небольшом числе
уроков изучения теории с целью выделения большего времени для решения различных задач, а
не только задач из группы, принадлежащей изучаемой теории, и т. п.
На материале этого планирования можно поставить следующие методические задачи:
Задача 1. Разработайте план урока по введению всего понятийного аппарата темы. Предложите систему наглядности и набор вопросов, помогающих установить существенные свойства
объектов и логические связи между определениями объектов темы.
Задача 2. Проанализируйте группу математических задач с № 19 по 29. Расположите их по
степени нарастания сложности. Предложите методику решения «типичной» задачи группы. Как
«типичная» задача связана с обязательными результатами обучения и как это учтено в методике
ее обучения?
Задача 3. Разработайте методику использования исторического материала при изучении данной темы. Предложите приемы вовлечения учащихся в ознакомление с историческим материалом.
Задача 4. Разработайте таблицу, в которой были бы представлены в обобщенном виде (вариант опорного конспекта) основные факты темы. Такую же таблицу можно составить по методам, используемым в теме, и по приемам поиска решения математических задач.
Задача 5. Предложите формы контроля и критерии оценки сформированности учебных и математических действий и операций по итогам изучения темы «Многоугольники».
Логико-дидактический анализ темы «Неравенства»
1. Обучение теме можно начать с создания положительных мотивов ее изучения. Широким
познавательным мотивом здесь могут выступать изучение свойств числовых неравенств, методы решения линейных неравенств с одной переменной и их систем. Учебно-познавательным
мотивом может быть интерес к анализу доказываемых неравенств, получению выводов. Примером мотивации может служить разбор «доказательства» софизма «Положительное число меньше нуля».
Пусть а и b – произвольные положительные числа, удовлетворяющие неравенству
a>b
(1)
Умножим (1) на b – a:
a(b – a) > (b – a)b, ab – a2 > b2 – ab,
0 > a2 – 2ab – b2,
(2)
0 > (a – b)2.
2
Однако (a – b) , где a  b, есть число положительное, так как квадрат числа, отличного от 0,
положителен.
Соотношение (2) позволяет утверждать, что положительное число меньше 0.
Или другой пример мотивации:
Какое из выражений принимает большее значение при всех значениях переменной:
6m(m – 2) + 4(m + 3) или (3m + 2) (2m – 4)?
Как сравнить два выражения? Укажите основные операции сравнения.
Третий пример: Укажите значения площади боковой поверхности прямоугольного параллелепипеда, если его линейные измерения найдены в границах
1,5  а  1,6;
2,3  b  2,4;
4,1 c  4,2.
В технике используются понятие «допуски», допускаемые отклонения числовой характеристики каких-либо параметров (например, в деталях машин и механизмов) от их расчетного значения в соответствии с заданным классом точности. Допуски широко используются в машиностроении, строительстве и многих других областях. Вычисление допусков требует знания действий с числовыми неравенствами, которые выполняются на основании свойств числовых неравенств.
Кроме указанных познавательных мотивов, очень важны для учащихся этого возраста узкие
социальные мотивы, в частности, может быть использован мотив овладения способом налаживания сотрудничества в учебном труде.
2. Известно, что неравенства, как условные, так и безусловные, широко используются в трудовой деятельности человека, а также в самой математике. Исходя из этого перед учащимися
ставится у ч е б н а я з а д а ч а: сформировать общие и специфические учебные действия доказательства безусловных неравенств, решения линейных неравенств и их систем для получения
общего способа выяснения интервалов знакопостоянства, возрастания и убывания изучаемых
функций.
Эту задачу можно считать решенной, если будут решены такие учебные подзадачи:
- выяснить способ доказательства безусловных неравенств, выделив специфические учебные действия;
- раскрыть характеристики оценки результатов действий над переменными, значения которых находятся в заданных границах;
- определить компоненты учебного действия «перевод задания числового промежутка с одного «языка» на другой»;
- раскрыть алгоритм решения линейного неравенства с одной переменной;
- выявить алгоритм решения системы линейных неравенств с одной переменной;
- сформировать предписание, которое позволяло бы устанавливать промежутки знакопостоянства, возрастания, убывания функций определенного вида.
3. Решение названных подзадач будет осуществляться в ходе выполнения учащимися соответствующих учебных действий, общих и специфических.
Такими специфическими действиями, характерными для сформулированных задач, будут:
— составление разности выражений, стоящих в левой и правой частях неравенств;
— выполнение тождественных преобразований;
— установление знака разности выражений;
— подведение под понятия «больше», «меньше»;
— изображение промежутка, заданного его концами, на координатной прямой и запись промежутка на «языке» неравенств;
— алгоритм решения линейного неравенства с одной переменной;
— алгоритм решения системы линейных неравенств с одной переменной;
— определение границ выражения, если переменные заданы своими границами.
Операционный состав этого действия может быть фиксирован в такой последовательности:
а) установить границы каждой переменной, входящей в выражение;
б) выяснить, с помощью каких действий над переменными и числами получено выражение;
в) определить порядок действий;
г) вычислить последовательно границы результата каждого действия, используя свойства
неравенств;
д) записать, в каких границах находится данное выражение;
— установление характера изменения функции при заданных значениях аргумента.
Операционный состав этого действия следующий:
а) выбрать два произвольных значения аргумента из указанного промежутка;
б) сравнить значения х1 и х2 (*);
в) найти значения f(х1) и f (х2) (**);
г) сравнить соответствующие значения функции (**);
д) выяснить одинаковость смысла числовых неравенств (*) и (**);
е) получить вывод о характере изменения функции на указанном промежутке;
— найти промежутки знакопостоянства.
Здесь отмечены только специфические учебные действия, однако при решении подзадач будут использоваться и такие учебно-познавательные действия, как, например, распознавание,
выведение следствий, сравнение и сопоставление, конкретизация общего способа решения для
данной задачи и др.
4. Логический анализ темы «Неравенства» дает основание сделать вывод, что тема организована дедуктивно-индуктивно, так как дано определение понятий «больше», «меньше»; свойства числовых неравенств сформулированы в виде теорем, которые доказаны;
сформулированные теоремы равносильности (названные свойствами) не доказываются. Алгоритмы доказательства безусловных неравенств, решения линейных неравенств с одной переменной и решения систем линейных неравенств введены индуктивно на конкретных примерах,
анализ решения которых и позволяет учителю, сделав обобщение, сформулировать алгоритмы.
Структура вводимых определений (решения неравенств, равносильных неравенств, решения
системы неравенств) одинакова, а следовательно, их изучение может осуществляться по одному
плану, т. е. на уровне теоретического обобщения. Теоремы о свойствах неравенств имеют одну
и ту же структуру: А /\ В ==> С, а это позволяет осуществить перенос знаний, так как с теоремами такой структуры учащиеся работали уже в предыдущем классе.
Вводятся понятия нестрогого и строгого неравенств, линейного неравенства, системы неравенств.
5. «Ядерным» материалом темы являются:
— понятия «больше», «меньше», неравенства, решения неравенства, решения системы неравенств, равносильных неравенств;
— свойства числовых неравенств, равносильных неравенств;
— операции над числовыми неравенствами;
— алгоритмы решения неравенств с одной переменной и решения системы неравенств;
— прием доказательства безусловных неравенств и прием использования неравенства для
выяснения возрастания, убывания функции.
Изложение материала опирается на алгебраические операции, тождественные преобразования, понятие координатной прямой, законы арифметических действий.
При доказательстве свойств числовых неравенств используются логические правила вывода,
определения «больше», «меньше».
При изучении темы могут быть информационно-словесный, репродуктивный методы, а в
некоторых случаях – метод проблемного изложения (например, решения системы неравенств с
одной переменной).
6. К средствам обучения математике можно отнести все, что будет способствовать реализации целей обучения данной теме, в первую очередь серии задач (вопросов). (Здесь задачи могут
выступать и как средство обучения, и как цель изучения) Так, учебная подзадача «Выяснить
способ доказательства безусловных неравенств, выделив специфические учебные действия»
может быть решена обобщением решения типичной конкретно-практической задачи. Учащимся
предлагается типичная задача:
«Докажите неравенство a2 +(a – 3)2 > 3a(a – 2) – 2a2».
Учащиеся знают, что сравнить выражения возможно, составив разность и определив знак
этой разности, что для этого следует упростить полученную разность, выполнив тождественные
преобразования.
В данном случае разность тождественно равна выражению а2 + 9, значение которого при
всех значения а положительно.
Значит, при любых значения а верно данное неравенство, т.е.
а2 +(a – 3)2 > 3a(a – 2)+ 2a2.
Анализ решения задач дает возможность установить операции и их последовательность.
Решение одной задачи не позволяет говорить о сформированности умения доказывать неравенства; поэтому учащимся предлагается серия задач, которая может быть, например, такой:
а) (3 + b) (2 – b) + (a2 – b)  2a (a – b);
б) (6a – 1) (a + 2) < (3a + 4) (2a + 1);
в) a2 + b2 + 2  2 (a + b);
г) (x + 1)2 < 4x.
Предложенный набор задач охватывает все возможные случаи а следовательно, можно
утверждать, что позволяет сформировав учебное действие «доказывать неравенства».
При решении учебных подзадач «Определить компоненты учебного действия ,,перевод задания числового промежутка с одного языка на другой" и «Выявить алгоритм решения системы
линейных неравенств с одной переменной» может быть использован, магнитная координатная
прямая с двумя-тремя прозрачными цветными полосками (целлофан, лавсан, полиэтилен).
Естественно, что решения можно показать, пользуясь только доской и мелом, но магнитная
координатная прямая имеет ряд; преимуществ: не надо вычерчивать координатную прямую, не
над( заштриховывать. переход к новому заданию не занимает много времени (не надо стирать с
доски и вычерчивать новый чертеж). Кроме того, яркий зрительный образ позволяет повысить
активность и внимательность.
Здесь же может быть использована подвижная модель координатной прямой с двумя цветными полосками. Такая модель индивидуального пользования может быть изготовлена самими
учащимися и использована на уроке при фронтальной работе.
Смена средств обучения способствует активизации деятельности учащихся, что в свою очередь позволяет улучшить усвоение материала.
При решении учебных задач «Установление характера изменения функции при заданных
значениях аргумента», «Нахождение промежутков знакопостоянства» целесообразно использовать рабочие таблицы с подвижной координатной осью. Такие таблицы позволяют активизировать внимание учащихся, улучшить запоминание. Применение таких таблиц способствует интенсификации обучения, так как учитель не тратит время на вычерчивание графиков, а сразу
приступает к работе с классом. Аналогом таблицы может служить кодопозитив, на котором
изображена кривая, а координатная плоскость, выполненная на оргстекле, накладывается на
изображение кривой. Такое пособие дает возможность предлагать учащимся серию задач (вариации получаются за счет перемещения координатной плоскости).
При изучении этой темы целесообразно использовать диафильм «Числовые неравенства и их
свойства» (07-3-094), который является важным средством обучения, так как дает возможность
иллюстрировать объяснение учителя, организовывать учебную деятельность учащихся, проверку их знаний, уровня сформированности умений.
7. При изучении темы «Неравенства» можно использовать различные приемы организации
учебной деятельности учащихся. Укажем некоторые из них.
(А) Прием заполнения пустых мест таблицы (табл. 18).
Таблица 18
№
п/п
Неравенство
1
3<x<6
2
–2  x  4
3
7 < x  10
4
…x<5
Изображение решения на координатной прямой
0 1
x
0 1
x
(3; 6)
…; 10 ]
x
0 1


0 1
[–3; …
x
[4; )
5
x
0 1
6
Запись решения
–4 < x …3


x
0 1
(Б) Сравнение решения задачи с помощью алгоритма и без него. Этот прием дает возможность воспитывать творческий подход, показывать важность анализа условия задачи.
Например, доказать неравенство
(3х + 4)2 – 8 < 9х2 + 24х + 11.
Решение
(3х + 4)2 – 8 < (3х + 4)2 – 5, или 9х2 + 24х + 8 <.9х2 + 24х + 11.
(В) Прием составления серии задач с нарастающей сложностью преобразований. Этот прием
может быть использован при формировании умения решать линейные неравенства.
Например, можно предложить учащимся такую серию задач:
5(х – 2) > 2; 2у – 3(у – 1) < –2; (t – 3)2 + 1  t (t – 5); (4x – 1)  (x + 5)  (2x – 1) (2x + 1);
(2u + 0,3) (0,3u – 1) + 2,7  (u = 3) (0,6u – 0,5)–1,3.
(Г) Прием поиска ошибки в данном «решении» позволяет воспитывать критичность мышления, более глубоко осознавать теоретический материал.
Например, найти ошибку в «решении» и сформулировать правила или свойства неравенств,
на которые допущены ошибки:
0,7х – 3(0,2х – 1)  0,5х + 1;
0,7х – 0,6х – 3  0,5х + 1;
0,7х – 0,6х – 0,5х  1 + 3, –0,4х  4, х  –10.

–10
x
(Д) Прием, который позволяет сформировать потребности самоконтроля, объяснить, почему
данные решения неверны.
Например:
а) (х – 5)2 + х – 1 > 0, х  3;
б) 3х + 5 < 11, x  2;
в) (х – 1) (ч + 1) > х2, х <1.
Решения отвергаются обоснованно, учащиеся должны аргументировать свои ответы.
(Е) Могут быть использованы задания с выборочными ответами, а также прием работы с
книгой, прием построения алгоритма решения определенного класса задач. В нашем случае это
алгоритмы решения неравенств и системы неравенств с одной переменной.
Остановимся на приеме построения алгоритма как результата теоретического обобщения
решения задач. Здесь эффективно может быть использована групповая форма работы на первом
этапе построения алгоритма.
Класс разделить на четыре группы, каждой группе дать одно из заданий:
а) x (x + 1) + 2 (x2 + 3x)+ 6 > x (3x + 5) – x + 9;
б) 7t (2t – 3) – 18  (14t + 3) (t + 2);
в) 3х (2х – 5) + 4  х (6х – 9) – 2 (3х + 3);
г) (2у + 1)2 + 2 < 2y (2y + 5) – 6y + 5.
1-й шаг—упростить выражение каждой части неравенства (воспользоваться сопоставлением
решения уравнения и неравенства).
2-й шаг — перенести члены неравенства, содержащие переменную, в одну часть, числа — в
другую с изменением знака на противоположный (используются свойства равносильности неравенств).
3-й шаг — привести подобные члены.
После третьего шага работа ведется фронтально.
4-й шаг — разделить (если возможно) обе части неравенства на коэффициент при переменной (используются свойства равносильности неравенств), получить простейшие неравенства:
6
а) х >1;
б) t   ;
в) нет решений;
г) у — любое число.
13
5-й шаг — отметить решения на координатной прямой. При разборе решения выделяются
существенные и несущественные связи с уже изученным материалом. Анализ решения позволяет записать алгоритм решения линейного неравенства:
— раскрыть скобки в обеих частях неравенства;
— перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну часть, а не содержащие — в другую;
— привести подобные члены в каждой части;
— разделить обе части неравенства на коэффициент при переменной (с учетом свойств равносильности при а  0);
— записать ответ в виде простейшего неравенства;
— отметить соответствующие промежутки на координатной прямой;
— записать числовой промежуток.
Алгоритм решения неравенства вида ах > b, который является составной частью приведенного выше алгоритма, записывается в виде схемы (рис. 1).
В результате аналогичной работы учащиеся под руководством учителя составляют алгоритм
решения системы линейных неравенств с одной переменной:
— решение каждого неравенства системы (по алгоритму решения линейного неравенства);
— нанесение на координатную прямую числового промежутка, являющегося решением каждого неравенства;
— выделение промежутка, который удовлетворяет одновременно всем неравенствам системы;
— запись общего промежутка.
8. При изучении темы «Неравенства» могут быть использованы
Начало
да
да
х
b
a
а>0
нет
а0
да
нет
х
b
a
b<0
х – любое
число
нет
Решений
нет
Конец
различные формы организации учебной деятельности учащихся.
О групповой форме организации учебной деятельности уже упоминалось. Здесь отметим,
что такая форма весьма эффективна, так как, во-первых, воспитывает потребность в общении и
взаимопомощи; во-вторых, формирует умение аргументировать свои действия, что способствует осознанности и прочности усвоения изучаемого материала.
Одной из разновидностей групповой формы является работа учащихся парами. Например,
каждый учащийся выполняет задание партнера, а затем они вместе обсуждают решения, оценивают друг друга.
Индивидуальная форма работы реализуется при самостоятельном изучении теоретического
материала о свойствах равносильных неравенств с одной переменной. В этом случае закрепляется общеучебное действие — чтение учебного материала, выделение главной мысли, установление связи с ранее изученным материалом.
Учащиеся должны ответить на вопросы:
1) Какие из пар неравенств равносильны и почему:
а) 2 – 3х >11
б) –0,02х > –1,5,
в) 5х – 2 > 7х,
х < –3;
2х < 150;
2х > 2 ?
2) Какие из неравенств х >5, –х < –5, х > –5 равносильны неравенству Зх – 6 > 2х – 1? Почему?
3) Какой вид имеет неравенство, равносильное неравенству Зх – 2 < 3 – х ?
Усвоение материала проверяется фронтально, учитель по изученному материалу и выполненным заданиям проводит беседу с учащимися.
9. Контроль знаний учащихся проводится в различных формах. В частности, при изучении
темы «Неравенства» могут быть использованы такие формы контроля:
1) Устная контрольная работа. Она дает возможность учителю установить, сформировано ли
учебное действие «доказательство неравенства» и усвоены ли знания свойств числовых неравенств. Такую работу лучше проводить в начале урока с последующим разбором. Задания
оформляются на кодопленке в двух вариантах.
2) Самостоятельные работы учащихся (2—3 человека). Решение оформляется на кодопленке
для самопроверки правильности выполнения работы каждым учащимся.
3) Самостоятельная работа для всего класса в нескольких вариантах. Таких работ должно
быть несколько для выяснения знания «ядерного» материала и умений применять изученные
алгоритмы. Например, самостоятельная работа может быть предложена для выяснения уровня
сформированности умения «решать системы линейных неравенств с одной переменной». В эту
работу включаются задания с учетом обязательных результатов обучения.
Учитель может использовать самостоятельные работы № 47—55 (см. [79]).
В теме «Неравенства» тематическим планированием предусматривается три контрольные
работы, в содержание которых уже заложены обязательные результаты обучения.
При изучении материала, при проведении самостоятельных и контрольных работ учитель
может ознакомиться со статьей Л. В. Кузнецовой и С. С. Минаевой «Об организации учебного
процесса с учетом обязательных результатов обучения» (см.: Математика в шк.— 1986.—
№ 4).
Рассмотрим один из вариантов типизации задач по теме «Неравенства» по учебнику [7]
(табл. 19).
Таблица 19
№ пункта учебника
26
27
28
29
30
31
32
33
Основное понятие
а больше b
а меньше b
Тип задачи
Сравнение значений выражений при заданных значениях
переменной (№ 617-621)
Доказательство безусловных неравенств (№ 622-629)
Cвойства числовых Использование свойств неравенств (№ 635-643)
неравенств
Оценка значений выражений (№ 645-648)
a<b, b<c, то a<c;
a<b и c, то a+c<b+c;
1 1
0<a<b, то 
а b
Сложение и умноже- Задачи как средство обучения действиям над неравенствами
ние числовых нера- (№ 651-653)
венств
Задачи как цель математической деятельности по вычислению границ выражения (№ 654-660)
Числовые промежут- Задачи как средство обучения:
ки, двойное неравен- а) переводу с «языка промежутка» на «язык» геометричество
ский (№ 667-669);
б) осмыслению неравенства, двойного неравенства (№ 664666, 671);
в) изображению простейших неравенств (№ 670) и принадлежности числа промежутку (№ 672-678)
Равносильность нера- Задачи как средство обучения:
венств, свойства рав- а) свойствам равносильности (№683-685);
носильности,
алго- б) понятию решения неравенства (№ 686-687);
ритм решения линей- в) сравнению двух выражений (№ 690-691)
ного неравенства
Задачи как цель математической деятельности:
а) по решению неравенств (№ 688, 692-693, 695-696, 698700);
б) по решению текстовых задач на составление неравенств
(№ 707-710)
Решение системы не- Задачи как средство обучения:
равенств,
алгоритм а) понятию решения системы (№ 715-716);
решения системы не- б) понятию двойного неравенства (№ 722, 730, 731)
равенств
Задачи как цель математической деятельности по формированию алгоритма (№ 717-721, 723-730, 734-736)
Нули функции, ин- Задачи как средство обучения:
тервалы знакопосто- а) на сравнение значений функции (№ 722-724);
янства
б) на нахождение значений функции (№ 741, 745-746);
в) на нахождение интервалов знакопостоянства по графику
(№ 747-749) и по аналитическому заданию функции
Возрастание, убыва- Задачи как средство обучения:
ние функции, харак- а) на осмысление понятия возрастания (убывания) функции
тер изменения линей- (№ 759-763);
ной функции
б) на применение теоретического материала о характере
изменения линейной функции (№ 764-766, 767)
По данному материалу могут быть решены следующие методические задачи:
Задача 1. Разработайте методическое планирование темы, аналогичное приведенному в § 8
настоящей главы.
Задача 2. Составьте обучающую программу для использования ЭВМ по вопросу решения
линейных неравенств.
Задача 3. На основе анализа темы выделите возможные исследовательские действия и разработайте методику их формирования.
Задача 4. Подберите систему практических задач, на основе решения которых возможно показать применение систем линейных неравенств для решения задачи оптимизации.
Задача 5. Разработайте конспект урока, на котором будет формироваться алгоритм решения
системы линейных неравенств.