П р а

Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное учреждение
высшего профессионального образования
Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики»
Отделение прикладной математики и информатики
факультета бизнес-информатики
Программа дисциплины
Дискретная математика
для направления 080500.6 «Бизнес – информатика»
подготовки бакалавра
Авторы: д.ф.-м.н., А.Г. Броневич
Д.А. Шварц
Рекомендована секцией УМС
Бизнес-информатика
Председатель
Одобрена на заседании кафедры
высшей математики
на факультете экономики
Зав. кафедрой
__________________ Г.А. Лёвочкина
___________________Ф.Т. Алескеров
«_____» __________________ 200 г.
«____»_____________________ 200 г
Утверждена УС факультета
бизнес-информатики
Ученый секретарь
________________________________
« ____» ___________________200 г.
Москва
Тематический план учебной дисциплины
№
Всего
часов
Название темы
Аудиторные часы
Лекции
Семинары
Самостоят.
работа
2 модуль
1.
Алгебра высказываний, предикаты и кванторы, логические и
булевы функции.
7
2
2
3
2.
Множества, соответствия, отношения
20
6
6
8
15
4
5
6
13
4
3
5
3 модуль
3.
4.
Комбинаторика
Математическая логика
(алгебраический подход)
4 модуль
5
Теория графов
31
10
10
11
6
Теория алгоритмов
23
6
6
11
110
32
32
44
Всего часов
Базовый учебник
Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. Спб: Лань, 2004.
2
Формы рубежного контроля
Формы контроля знаний студентов:
- текущий контроль: контрольные работы (КР);
- домашние задания (ДЗ);
- итоговый контроль: письменный экзамен (ЭКЗ).
Образцы задач для всех форм контроля приводятся после программы.
Формула расчета итогового балла: 0,25·КР-1 + 0,25·КР-2 + 0,5·ЭКЗ,
где КР-1,2 (контрольные работы) и ЗАЧ (экзамен) оцениваются в 10 баллов.
При выведении итоговой оценки может учитываться активность студента на семинарах.
Содержание программы
1. Алгебра высказываний, предикаты и кванторы, логические функции.
Понятие высказывания. Логические операции на высказываниях. Предикаты и кванторы. Булевы (логические) функции и способы их задания. Эквивалентные преобразования логических формул.
Основная литература:
1. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. Спб: Лань, 2004. (глава 3)
2. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории
алгоритмов. М.: Физматлит, 2001. (часть 2, пп.1-2.)
Дополнительная литература:
1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М. : Наука, 1975. (глава 1)
2. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. М., Наука, 1977.
(главы 1, 2)
2. Множества, соответствия, отношения.
Множества - основные понятия. Диаграммы Венна. Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение. Прямое произведение множеств. Соответствия и их свойства.
Взаимно-однозначные соответствия. Понятие функции. Обратные функции. Суперпозиции и
формулы. Способы задания функций.
Общее понятие отношения. Бинарные отношения и их свойства (рефлексивность, симметричность, транзитивность). Отношение эквивалентности и классы эквивалентности. Отношение толерантности. Отношение порядка. Диаграммы Хассе. Линейный порядок и частичный порядок. Квазипорядок. Рещетки.
Основная литература:
1. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. Спб: Лань, 2004.(глава 1)
2. Шрейдер Ю.А. Равенство, сходство, порядок. – М.: Наука, 1971. (главы 1-4)
2. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории
алгоритмов. М.: Физматлит, 2001. (часть 1, пп.1-3)
Дополнительная литература:
1. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные
решения. - М.: Издательский дом ГУВШЭ, 2006. (глава 3)
3. Комбинаторика.
Предмет комбинаторики. Правило суммы и правило произведения. Принцип включения и
исключения. Размещения, перестановки, сочетания без повторений и с повторениями. Бино3
миальные коэффициенты и соотношения для них. Задачи перечисления. Подсчет числа
функций с конечными областями определения. Задача Муавра.
Основная литература:
1. Виленкин Н.Я., Виленкин А.Н., Виленкин П.А. Комбинаторика. М.: ФИМА, МНЦМО,
2006. (главы 1,2)
4. Математическая логика (алгебраический подход).
Алгебраический подход к логике. Функциональная полнота. Булева алгебра и ее законы.
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Алгебра Жегалкина. Линейные и монотонные функции. Теорема о функциональной полноте. Логические методы синтеза схем.
Логика предикатов. Предметная область и предметные переменные. Кванторы общности и
существования. Свободные и связанные переменные. Эквивалентные соотношения в логике
предикатов. Общезначимые и противоречивые формулы. Запись утверждений естественного
языка в логике предикатов.
Основная литература:
1. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. Спб: Лань, 2004. (глава 3)
2. Поспелов Д.А. Логические методы анализа и синтеза схем. М.: Энергия, 1974. (часть 1, главы
1 и 2)
3. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории
алгоритмов. М.: Физматлит, 2001. (часть 2, пп. 1, 2, 4)
Дополнительная литература:
1. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. М., Наука, 1977.
(главы 1 и 2)
2. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. – М. : Наука, 1975. (глава 1)
5. Теория графов.
Основные определения: неориентированные и ориентированные графы, мультиграфы и
кратные ребра. Смежность и инцидентность. Локальные степени вершин. Способы представления графов. Матрицы смежности и инцидентности. Графы и бинарные отношения. Изоморфизм графов. Части графов, суграфы и подграфы.
Пути, циклы, цепи, простые цепи в неориентированных графах. Связность и компоненты
связности. Шарниры мосты и блоки графа. Расстояния. Центр, радиус, диаметр графа.
Виды связности в ориентированных графах: сильная связность, односторонняя связность.
Задачи о цепях: эйлеровы циклы, гамильтоновы циклы.
Основные числа теории графов: цикломатическое число, хроматическое число. Бихроматические (двудольные) графы. Число внутренней устойчивости. Число внешней устойчивости.
Метод Магу для отыскания всех максимальных внутренне устойчивых множеств, а также
минимальных внешне устойчивых множеств. Метод Магу для нахождения хроматического
числа графа.
Деревья. Алгоритмы нахождения связных суграфов заданного графа с взвешенными ребрами
с минимальной стоимостью.
Плоские графы, формула Эйлера, необходимые и достаточные условия того, что граф является плоским (теорема Понтрягина-Куратовского).
Транспортные сети. Потоки в транспортных сетях. Алгоритм Форда-Фалкерсона для нахождения максимального потока. Теорема Форда-Фалкерсона.
Алгоритм Дейкстры поиска наикратчайшего пути на орграфе с взвешенными дугами.
Основная литература:
1. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. Спб: Лань, 2004. (глава 4)
2. Кофман А. Введение в прикладную комбинаторику. – М.: Наука, 1975. (глава 3)
4
3. Берж К. Теория графов и ее применения. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1964. (главы
1, 4-8. 11-12, 20-21).
Дополнительная литература:
1. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. - М.: Мир, 1978.
2. Алескеров Ф.Т., Хабина Э.Л., Шварц Д.А. Бинарные отношения, графы и коллективные
решения. - М.: Издательский дом ГУВШЭ, 2006. (глава 1)
3. Оре О. Теория графов. - М.: Наука, 1980. (главы 1-4, 13-14)
6. Теория алгоритмов.
Общее понятие алгоритма. Требования к алгоритмам. Понятие рекурсии. Рекурсивные функции. Тезис Черча. Машины Тьюринга. Нормальные алгоритмы Маркова. Алгоритмические
неразрешимости. Разрешимые и перечислимые множества. Иерархия неразрешимостей. Емкостная и вычислительная сложность алгоритмов. Конечные автоматы.
Основная литература:
1. Кузнецов О.П. Дискретная математика для инженера, изд. 3. Спб: Лань, 2004. ( глава 5)
2. Алферова З. В. Теория алгоритмов. - М.: Издательство статистика, 1973. (глава 1)
Дополнительная литература:
1. Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. М.: Физматлит, 2001. (часть 3, пп.1-3)
2. Ахо А., Хопкрофт Дж., Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. –
М.: Мир, 1979. (глава 1, глава 3)
Тематика практических занятий (семинаров)
Семинар 1.1. Алгебра высказываний. Основные логические связки и запись высказываний с
их помощью. Логические функции. Способы задания логических функций - таблицы и формулы. Вычисление функций, заданных формулами. Булева алгебра и ее законы. Методы перехода от таблиц к формулам и обратно. Доказательство равенства логических формул с помощью таблиц истинности и эквивалентных преобразований.
Семинары 1.2 - 1.4. Множества, функции, отношения.
Операции над множествами: объединение, пересечение, дополнение. Мощности множеств,
получаемых в результате этих операций. Диаграммы Венна. Векторы, их проекции. Прямое
произведение множеств. Мощность прямого произведения.
Соответствия и их свойства. Примеры соответствий с различными свойствами. Функции, их
области определения и области значений. Обратные функции. Иллюстрация этих понятий на
примерах нечисловых функций. Суперпозиции и формулы. Способы задания функций.
Бинарные отношения и их свойства (рефлексивность, симметричность, транзитивность и т.
д.). Примеры числовых и нечисловых отношений с различными свойствами. Операции над
отношениями. Матричное задание отношений. Отношение эквивалентности и разбиение на
классы. Отношение толерантности. Отношение порядка. Диаграммы Хассе. Линейный порядок и частичный порядок. Квазипорядок. Решетки.
Семинары 2.1 - 2.2. Комбинаторика.
Правило суммы и правило произведения. Связь этих правил с операциями над множествами.
Принцип включения и исключения. Примеры задач на этот принцип. Размещения, перестановки, сочетания без повторений и с повторениями. Биномиальные коэффициенты и соотношения для них. Подсчет числа функций, определенных на конечных множествах. Методы
перечисления комбинаторных объектов.
Семинары 2.3 - 2.4. Математическая логика (алгебраический подход).
5
Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Эквивалентные преобразования булевых формул. Алгебра Жегалкина. Функциональная полнота. Линейные и монотонные
функции. Теорема о функциональной полноте.
Логика предикатов. Предметная область и предметные переменные. Кванторы общности и
существования. Свободные и связанные переменные. Эквивалентные соотношения в логике
предикатов и их использование для преобразования формул логики предикатов. Запись математических утверждений и утверждений естественного языка в логике предикатов.
Семинары 3.1 - 3.5 Теория графов.
Способы представления графов и переход от одного представления к другому. Матрицы
смежности для неориентированных и ориентированных графов. Графы и бинарные отношения; свойства отношений в терминах свойств графов, представляющих эти отношения.
Пути, циклы, цепи, простые цепи в неориентированных графах. Связность и компоненты
связности. Расстояния. Центр, радиус, диаметр графа. Необходимые и достаточные условия
существования эйлерова обхода и алгоритм его построения. Гамильтоновы графы. Алгоритм
поиска гамильтонова цикла.
Построение примеров ориентированных графов с различными видами связности.
Алгоритм построения конденсации ориентированного графа.
Матрицы графов и операции над ними. Матричные методы анализа графов.
Основные числа теории графов – цикломатическое число, число внутренней устойчивости,
число внешней устойчивости, хроматическое число и алгоритмы их вычисления.
Деревья и их свойства. Приложения деревьев: иерархии, классификации. Обходы деревьев.
Алгоритм нахождения покрывающего дерева с минимальной стоимостью. Плоские графы.
Примеры плоских и неплоских графов.
Оптимизационные задачи на графах. Алгоритм Дейкстры нахождения кратчайших путей во
взвешенных ориентированных графах. Транспортные сети, алгоритм Форда-Фалкерсона для
нахождения максимального потока и минимального разреза транспортной сети.
Семинары 3.6 - 3.8. Теория алгоритмов.
Примеры построения машин Тьюринга, реализующих простые алгоритмы, и протоколов их
функционирования. RAM-машины и другие современные модели, эквивалентные машине
Тьюринга. Примеры разрешимых и перечислимых множеств. Доказательство неразрешимости. Доказательство вычислимости. Иерархия неразрешимостей.
Образцы задач контрольных работ и примерные задачи
для домашнего задания
1. Привести логическую формулу к безынверсному виду и упростить:
( x  y  z) & z   x  y   y .
2. Доказать равенство множеств методом взаимного включения и методом эквивалентных
преобразований: ( A  B ) $  A  C   A  ( B  C )   A  B  C  .
3. Доказать равенство множества пустому множеству методом от противного и методом эквивалентных преобразований: ( B \ A)  A   .
4. Доказать равенство: X  (Y  Z )  X  Y  X  Z .
5. Доказать, что композиция инъективных соответствий инъективна.
6. Пусть  - отношение, доказать, что для образов множеств при данном отношении выполняется равенство:  ( A  B )   ( A)   ( B ) .
7. Показать, что объединение отношений эквивалентности в общем случае не является отношением эквивалентности.
8. Пусть X множество, состоящее из n элементов. Найти число пар ( A, B ) , таких, что
 A B  X .
6
9. Посчитать количество покрывающих деревьев полного неориентированного графа на 4
вершинах.
10. Построить неориентированный граф G с заданными локальными степенями вершин.
а) Проверить является ли он эйлеров; если нет, то добавить минимальное число ребер, превращающий его в эйлеров граф и найти эйлеров цикл.
б) Проверить является ли он эйлеров и найти максимальную простую цепь.
в) Найти центры графа G , радиус, диаметр, диаметральные и радиальные цепи.
г) Построить частичные подграфы графа G , содержащие мост, шарнир.
11. Для заданного ориентированного графа найти сильные компоненты связности и построить граф конденсации.
12. Для заданного ориентированного графа
а) найти все максимальные внутренне устойчивые множества методом Магу и число внутренней устойчивости;
б) найти все минимальные внешне устойчивые множества методом Магу и число внешней
устойчивости;
в) найти все ядра графа G ;
г) найти минимальную раскраску и хроматическое число графа G методом Магу.
13. Для заданной транспортной сети найти величину максимального потока и минимальный
разрез методом Форда-Фалкерсона. Для этой же сети найти наикратчайший путь, соединяющий вход и выход транспортной сети.
13. Показать работу машины Тьюринга, заданной таблично.
15. Построить машину Тьюринга, реализующую вычисление чисел Фибоначчи.
Вопросы для оценки качества освоения дисциплины
1. Может ли отношение эквивалентности быть одновременно и отношением порядка?
2. Каковы свойства графов, представляющих отношения эквивалентности.
3. Что такое диаграммы Хассе и к какому виду относятся их графы?
4. Каково число различных функций типа АВ3С, если А= 3, В= 4, С= 2?
5. Какова мощность множества логических функций 5 переменных, которые принимают значение 1 только на тех наборах значений переменных (но необязательно на всех), которые содержат ровно 2 единицы?
6. Как связано понятие функциональной полноты с реализацией логических функций логическими схемами?
7. Может ли радиус графа равняться его диаметру?
8. Пусть все локальные степени вершин неориентированного графа равны 2. В каком случае
этот граф будет эйлеровым?
9. Может ли содержать мост: а) эйлеров граф; б) гамильтонов граф?
10. Каким будет цикломатическое число, число внутренней устойчивости, число внешней
устойчивости а) для голого графа на 5 вершинах б) для полного графа на 5 вершинах?
11. Какие виды связности возможны в ориентированных деревьях?
12. Можно ли представить неориентированное дерево в виде двудольного графа?
13. Может ли разрешимое множество не быть перечислимым?
Авторы программы: _____________________________/ Броневич А.Г. /
_____________________________/ Шварц Д.А. /
7