Элементы линейной алгебры §1. Матрицы. Определитель матрицы

Элементы линейной алгебры
§1. Матрицы. Определитель матрицы
Матрицей называется прямоугольная
называются элементами матрицы, например,
 a11 a12
1 4 3 

B   0 5  7  , A   a21 a22
...
 3 11 9 
 ...


a
a
m2
 m1
Элементы a11 , a22 ,..., amm – элементы
таблица чисел, числа
a13 ...
a23 ...
... ...
am 2 ...
главной
a1n 
a2 n  ,
... 
amn 
диагонали,
более сокращенно A  aij  , где i  1, m; j  1, n , a ij – элемент i -ой
строки и j -го столбца.
Число строк и число столбцов определяют размерность
матрицы: пишут dim A  m  n; dim B  3  3 . Если число строк
равно числу столбцов, то матрицу называют квадратной (такогото порядка), например, матрица В– матрица 3-го порядка.
Для квадратных матриц вводится понятие определителя,
обозначают определитель матрицы А так: det A или заключают
матрицу А в прямые скобки.
Приведем определение определителя матрицы: пусть дана
матрица An порядка n. Обозначим через M ij определитель
матрицы порядка n-1, полученный из матрицы А вычеркиванием i ой строки и j -го столбца; M ij называют минором элемента a ij .
Тогда по определению считается
1
det An  (a11 (1)11 M 11  a12 (1)12 M 12  ...  a1n (1)1 n M 1n 
n
 a21  (1) 21 M 21  ...  ann  (1) nn M nn ), т.е.
det An 
1 n
 aij (1) i  j M ij
n i , j 1
(1)
(1) i  j M ij – алгебраическое дополнение элемента a ij , тогда
1
1 n
(2)
 aij  Aij
n i , j 1
Для вычисления определителя применяется разложение
определителя по строке или столбцу:
(3)
det An  ai1  Ai1  ai 2  Ai 2  ...  ain  Ain ,
(4)
det An  a1 j  A1 j  a2 j  A2 j  ...  anj  Anj .
Способ вычисления по (3) называется разложением по i -ой
строке, (4) – разложение определителя по j -му столбцу. Формулы
(3), (4) обоснуем позже.
В силу этих формул, имеем:
1) det A1  a11  a11 ,
det An 
2) det A2 
a11 a12
 a11a22  a12 a21 ,
a21 a22
3)
a11
det A3  a 21
a 31
a12
a 22
a 32
a13
a 23  a11
a 33
a 22
a 23
a 32
a33
a
 a12 21
a 31
a 23
a 33
a
 a13 21
a31
a 22
a32
.
Далее, вычислив определители второго порядка, получим
a12 a13
a11
a 21 a 22
a31 a32
a 23  a11a 22 a33  a12 a 23a31  a 21a32 a13 
a33
(5)
 a31a 22 a13  a 21a12 a33  a11a 23a32 .
Формулу (5) называют формулой Саррюса.
Если det An = 0, то матрицу An называют вырожденной, в
противном случае невырожденной.
§2. Линейные операции над матрицами
2
Задача. Найти сумму матриц A   1 2 3  и
 4 2 0
B   0 5 2  и произведение матрицы А на число  .
 1 7 0 
Решение: при сложении двух матриц к каждому элементу
первой матрицы требуется прибавить элемент второй матрицы из
той же строки и того же столбца, что и элемент первой матрицы.
Очевидно, что сумма матриц определяется лишь для матриц
одинаковой размерности.
Значит A  B  C   1 7 5  .
3 9 0
При умножении матрицы на  каждый её элемент
умножается на  , т.е.   A    2 3  .
 4 2 0 
Свойства (обосновать самостоятельно):
1) A  B  A  (1)  B ,
2) ( A  B)  C  A  ( B  C ) ,т.е. сложение матриц
ассоциативно,
3) A  B  B  A , т.е. сложение матриц коммутативно,
4)   ( A  B)    A    B ,
5)    A  A  A ,
6)  A   A
Пусть даны матрицы A  aij  , и B  a jk  , где i  1, m;
j  1, n; k  1, q . Тогда A  B  C , где C  cik  , причем
n
cik   aij  b jk
(1)
j 1
Заметим, что A  B определено лишь тогда, когда
количество столбцов матрицы А равно количеству строк
матрицы В.
3
В качестве примера найдем произведение
матрицы
4 6 0 
 1 4
A   3 1 0  на матрицу B    1 2  .
 1 1  1
 0 1




4  4  6  2  0  1    2 28 
 4  1  6  (1)  0  0

A  B  3  1  1  (1)  0  0
4  3  1  2  0  1    2 14 

 
5 
1  1  1  (1)  (1)  0 1  4  1  2  (1)  1  0
Свойства:
A  ( B  C )  ( A  B)  C , т.е. произведение матриц
1)
ассоциативно,
2) A  ( B  C )  A  B  A  C – дистрибутивность умножения
матриц относительно сложения,
3) det A  B  det A  det B – определитель произведения
матриц n-го порядка равен произведению определителей этих
матриц.
Замена строк матрицы её столбцами называется
транспонированием матрицы, обозначают
At . Например,
 1 4
 1 1 0
.
B    1 2  , то B t  
 0 1
4 2 1 



Свойства:
t
t
1)   A    A t ,
2)  A  B   A t  B t ,
3)  A  B   B t  At ,
5) det An  det Ant .
t
 
4) At
t
 A,
 a11 0 0 ... 0 


 0 a 22 0 ... 0 
Квадратная матрица A  
, у которой
... ... ... ... ... 


 0

0
0
...
a
nn


все элементы, стоящие вне главной диагонали, равны нулю,
4
называется
диагональной.
Частным
случаем диагональной
 1 0 0 ... 0 


 0 1 0 ... 0 
матрицы является единичная матрица E  
.
... ... ... ... ...


 0 0 0 ... 1 


Используя определение матрицы, легко проверить, что
определитель диагональной матрицы равен произведению
элементов главной диагонали: det An  a11  a 22  a33  ...  a nn .
§3. Основные свойства определителей
Обоснуем основные свойства определителя для строк,
аналогично обосновываются подобные свойства и для столбцов.
1. При умножении строки (столбца) матрицы на
некоторое число определитель умножается на то же число.
Доказательство. Пусть
 a11

a
An   21
...

a
 n1
a12
a13 ... a1n 
a 22
a 23
...
...
a n2
...
a n3
...
...

a 2n 
.
... 

a nn 
 a11

a
An   21
...

a
 n1
a12
a 22
a13
a 23
...
a n2
...
a n3
... a1n 

... a 2 n 
и
... ... 

... a nn 
Тогда, разложив определители по
первой строке, имеем: det An  a11 A11  a12 A12  ...  a1n A1n ,
det An  a11 A11  a12 A12  ...  a1n A1n    det An .
2. Определитель матрицы, содержащий нулевую строку
(нулевой столбец) равен нулю.
3.Перестановка двух соседних строк (столбцов) матрицы
меняет знак её определителя на противоположный.
4.Определитель матрицы, содержащей две одинаковые
строки (столбца), равен нулю.
5
При вычислении определителя можно использовать такой
вид преобразования матрицы: к одной строке матрицы (столбцу)
прибавляется другая строка (столбец), умноженная на некоторое
число. Такое преобразование матрицы назовём строчечным
(столбцовым) преобразованием. С помощью строчечных и
столбцовых преобразований всякую невырожденную матрицу
можно привести к диагональному виду (этот факт приведем без
доказательства).
5. Строчечные (столбцовые) преобразования матрицы не
меняют значение определителя.
§4. Ранг матрицы
Рассмотрим матрицу А размерности m n :
 a11 a12 ... a1n 


A   a 21 a 22 ... a 2 n 
... ... ... 
 ...
a
a
... a mn 
m
1
m2

Обозначим строки матрицы А соответственно:

  
c1 , c2 , c3 , ..., cm .
Говорят, что строка c является линейной комбинацией





  
строк c1 , c2 , c3 , ..., cm если c  1c1  2 c 2  ...  m c m ,
(1) где
1 , 2 , ..., m - действительные числа.
Строку c  0,0, ...,0 называют нулевой, обозначают 0.
Система строк
c1 , c2 , ..., cm  линейно зависима, если
существуют числа 1 , 2 , ..., m , не равные нулю одновременно,




что имеет место 1c1  2 c2  ...  m cm  0 . В противном случае
 

система c1 , c2 , ..., cm  – линейно независима.
Рассмотрим некоторые свойства системы линейно
зависимых строк.
1. Система
(2)
c1 , c2 , ..., cm  ,
6

содержащая нуль вектор 0 линейно зависима.
Утверждение очевидно т.к.







0  с1  0  с2  ...  0  сk 1  k  0  0  сk 1  ...  0  сm  0 , где
k  0.
 

2. Система c1 , c2 , ..., cm  , m  1 линейно зависима тогда и
только тогда, когда хотя бы одна из них является линейной
комбинацией остальных строк этой системы.
3. Если часть системы (подсистема) линейно зависима, то и
вся система (2) линейно зависима.
.
4. Если система (2) линейно независима, то любая ее
подсистема линейно независима.
Максимальное число линейно независимых строк матрицы
называется (строчечным) рангом матрицы, пишут rang A(или
rank A).
Для нахождения (строчечного, столбцового) ранга матрицы
применяют следующие элементарные преобразования:
- вычеркивание нулевой строки (столбца),
- прибавление к одной из строк (одному из столбцов)
другой строки (столбца), умноженной на любое число,
- умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля,
- перестановка столбцов (строк).
В силу перечисленных свойств 1-4, очевидно, что
элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.
Присоединение к матрице строки, полученной линейной
комбинацией строк не меняет ранг матрицы.
Теорема1.
Матрица
треугольного
вида
 а11 а12 а13 ... а1n 
 0 а 22 а 23 ... а 2 n 
А=  0
0 а 33 ... а 3n  имеет ранг, равный количеству
 .
.
. ... . 
0
0 аkk ... аkn 

элементов на главной диагонали.
7
Доказательство. Обозначим строки этой
 



 
c1 , c2 , ... , ck . Тогда 1c1  2 c2  ...  k ck  0 
матрицы:
1 а11  0
 а   а  0
2 22
 1 12
1 а13  2 а 23  3 а33  0

...

1 а1к   2 а 2 к  ...  к а к  0


...
Система
равносильна
условию:
1   2  3  ...  k  0. Таким образом, rang А = k.
Теорема2. Максимальное количество линейно независимых
строк
матрицы равно максимальному количеству линейнонезависимых столбцов матрицы, т.е. строчечный ранг матрицы
равен её столбцовому рангу и называется рангом матрицы .
Доказательство теоремы опирается на то, что при помощи
элементарных преобразований строк и столбцов любую матрицу
можно привести к матрице диагонального вида. Тогда
утверждение очевидно в силу теоремы 1.
Пример. Вычислить ранг матрицы:
 1 2 0 3


В =  1 2 5 3
8 4 1 7
 7 6 4 1


Решение: приведем матрицу В с помощью элементарных
преобразований к треугольному виду.
2
0
3 
 1 2 0 3 1
 1 2 5 3  0 4

5
6
 8 4  1 7  ~  0  12  1  17  ~
 7 6 4 1   0  8 4  20 

 

1
2
0
3
1
2
0
3

 

0 4 5 6   0 4 5 6
~  0 0 14 1  ~  0 0 14 1  .
 0 0 14  8   0 0 0 9 

 

8
Значит, ранг матрицы В равен 4.
§ 5. Обратная матрица
Матрицу называют невырожденной, если её определитель
не равен нулю. Напомним, что матрицу диагонального вида
называют единичной (обозначают буквой Е), если все элементы
главной диагонали равны единице, остальные – нули, например,
1 0 0
Е3 =  0 1 0  . Очевидно, что А∙Е = Е∙А
0 0 1


Для невырожденной матрицы А матрицу А -1 называют
обратной, если
А∙А-1 = Е
(1)
Докажем, что из (1) следует
А-1 ∙А = Е.
(2)
-1
-1
Пусть А∙А = Е и А = В, то есть А∙В = Е. Допустим, что
С∙А=Е, умножив на В, получим:
(С∙А) ∙В = Е∙В  С∙ (А∙В) = В  С∙Е = В  С = В, т.е.
А∙А-1 = А-1∙А
(3)
Приведем пример нахождения обратной матрицы с
применением элементарных строчечных преобразований для
матрицы
 2 2 3
А =  1 1 0 .
 1 2 1


Решение:
 2 2 3 1 0 0
1 1 0 0 1 0
 1 1 0 0 1 0 ~  0 1 1 0 1 1 ~
 1 2 1 0 0 1
 0 4 3 1  2 0




1 1 0 0 1 0
1 0 0 1  4  3
~  0 1 1 0 1 1  ~  0 1 0 1  5  3  ~
 0 0 1 1  6 4
 0 0 1 1  6  4
9
~
 1  4  3


 А =  1  5  3 .
 1 6
4 

невырожденная матрица имеет
 1 0 0 1  4  3
 0 1 0 1  5  3
0 0 1 1 6
4 

-1
Теорема. Всякая
обратную матрицу.
Приведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка.
Пусть
 а11 а12 а13 
А =  а 21 а 22 а 23  , где det А  0.
 а31 а32 а33 


Составим матрицу из алгебраических дополнений:
 А11 А21 А31 
 А12 А22 А32  , найдем произведение матрицы А
=
А
 А13 А23 А33 


на А :
А∙
 а11 А11  а12 А12  а13 А13 ... а11 А31  а12 А32  а13 А33 
А =  а 21 А11  а 22 А12  а 23 А13 ... а 21 А31  а 22 А32  а 23 А33  =
 а 31 А11  а 32 А12  а 33 А13 ... а 31 А31  а 32 А32  а 33 А33 
0
0 
 det A
1 0 0
= 0
det A
0  = det A ∙  0 1 0  = (det A)∙E .
 0
0 0 1
0
det A 



A
Значит, А ∙ А = (det A)∙E т.е. A∙
=E.
det A
 А11 А21 А31 
1
Окончательно: A-1 =
∙  А12 А22 А32  .
det A  А13 А23 А33 


Аналогично обосновывается утверждение для
невырожденной матрицы произвольной размерности n.
Свойства:
 
1) A 1
1
 A;
2)  A  B   B 1  A 1 ;
1
10
 
1
 
t
 A 1 ;
1
4) det A 1 
.
det A
3) At
Невырожденная (квадратная) матрица А называется
ортогональной, если A 1  At . Значит At  A  A1  A  E , поэтому
матрица А – ортогональна тогда и только тогда, когда
At  A  E  A  At . Это равенство накладывает следующее условие
на столбцы матрицы А:
1) сумма квадратов элементов каждого столбца равна 1,
2) сумма произведений соответствующих элементов двух
столбцов равна 0.
 cos  sin  
 выполнены
Например для матрицы A  
sin


cos



условия 1 и 2, значит А – ортогональная матрица.
Очевидно, что для всякой ортогональной матрицы:
а) det A  1
б) матрицы A 1 и A t - ортогональные.
§ 6. Система линейных уравнений.
Метод Гаусса
Системой m линейных (алгебраических) уравнений с n
неизвестными называется система вида:
а11х1  а12 х 2  ...  а1n х n  b1
а х  а х  ...  а х  b
 21 1
22 2
2n n
2
(1)

..........
..........
..........
..........
....

а m1 x1  a m 2 x 2  ...  a m n x n  bm
где числа а i j ( i  1, m ; j = 1, n , m,n – конечные натуральные числа)
называются коэффициентами системы, bi - свободные члены.
Решением системы (1) называется упорядоченный набор
чисел  1,  2, …,  n, таких,что при подстановке вместо х1
числа  1, вместо х2 числа  2 и т.д. все уравнения системы
обратятся в тождества. Система уравнений называется
11
совместной, если она имеет хотя бы одно решение,
несовместной, если она не имеет (ни одного) решения.
и
Система линейных уравнений может:
1) не иметь решения,
2) иметь более одного решения (система неопределенная),
3) иметь одно решение (система определенная).
Каждое решение неопределенной системы называется
частным решением этой системы. Совокупность всех частных
решений называется её общим решением.
Решить систему – это значит выяснить, совместна она или
несовместна. Если система совместна, то требуется найти её общее
решение.
При решении системы линейных уравнений применяют к
системе следующие элементарные преобразования:
-удаление уравнения вида 0  х1  0  х 2  ...  0  х n  0 ,
-прибавление к какому-либо уравнению другого уравнения,
умноженного на любое число.
Две системы называют равносильными, если каждое
решение первой системы является решением второй системы, и
обратно, каждое решение второй системы является решением
первой. В записи равносильных систем используют знак «  ».
Совершая элементарные преобразования, получаем
систему, равносильную исходной.
Критерий совместности системы линейных уравнений
выражает теорема Кронекера – Капелли:
Теорема. Система линейных уравнений (1) совместна
тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен
рангу расширенной матрицы системы, т.е. rang A = rang A ,
где
 а11 а12
 а 21 а 22
A 
... ...
 аm1 am 2

12
... а1n 
 а11 а12
... а 2 n  ; A   а 21 а 22
 ... ...
... ... 
 аm1 am 2
... amn 

... а1nb1 
... а 2 nb 2 
... ... 
... amnbm 
Для доказательства запишем систему линейных уравнений
в матричном виде: A  X  B , где
 b1 
 x1 
 
 
 b2 
x 
B   ; -столбец свободных членов, X   2  - столбец


 
 
b 
x 
 m
 m
неизвестных. Тогда система запишется в эквивалентной форме:
 a 21 
 a1n 
 b1 
 a11 




 


 a12 
 a 22 
 a2n 
 b2 
х

х

...

х

1
2
n
  
  
   (2)
  




 


a 
a 
b 
a 
 2m 
 mn 
 m
 1m 
 
 
Обозначив столбцы A соответственно с1 , с2 ,..., сn , b
равенство (2) запишем в виде линейной комбинации столбцов




с1 х1  с2 х2  ...  сn хn  b .
Тогда, если система (1) (совместна) имеет решение

1 , 2 ,..., n  , то столбец b является линейной комбинацией
столбцов матрицы А, т.е.




1с1  2 с2  ...  n сn  b  rangA  rangA

Обратно, если rang A = rang A , то b является линейной
 

комбинацией системы с1 , с2 ,..., сn . Значит, существует набор
1 , 2 ,..., n  удовлетворяющий (2), что является решением
системы (1), т.е. она совместна.
Метод Гаусса: процесс решения системы линейных
уравнения по методу Гаусса состоит из двух этапов. На первом
этапе с помощью элементарных преобразований
приводят
расширенную матрицу системы к треугольному виду. Второй этап
заключается в решении системы линейных уравнений
треугольного вида.
Рассмотрим этот метод на конкретном примере. Требуется
решить систему линейных уравнений
13
2 х1  7 х 2  3х3  х 4  6,

3х1  5 х 2  2 х3  2 х 4  4,
9 х1  4 х 2  х3  7 х 4  2.

Очевидно, что элементарные преобразования системы
соответствуют элементарным преобразованиям расширенной
матрицы A системы:
3 1 6 
 2 7 3 1 6
2 7
A =  3 5 2 2 4  ~  3 5
2 2 4 ~
 9 4 1 7 2
 0  11  5 1  10 




3 1 6 
3 1 6  2 7
2 7
 0  11  5 1  10  ~  0  11  5 1  10 
 0  11  5 1  10   0 0
0 0 0 

 
Ранг расширенной матрицы A равен рангу основной
2 7 3 1
3 1 ,
матрицы, т.к. А =  3 5 2 2  ~  2 7
0

11

5 1
9 4 1 7




т.е. rang A = rang A =2. Получили следующую
(треугольную) систему линейных уравнений:
 2 х1  7 х2  3х3  х 4  6

11х2  5х3  х 4  10.

Получим общее решение. Пусть х3 и х4 - свободные
переменные, то х1 и х2 - главные. Выразим главные переменные
через свободные:
1
9
2

 х1  11 х3  11 х 4  11
- общее решение.

5
1
10
 х 2   х3  х 4 
11
11
11

Если положить, например, х3  11 , х4  11, то найдем одно
из частных решений системы
90
34
х1   ; х 2   ; х3  11 ; х4  11 .
11
11
14
Таким образом, для всякой совместной системы линейных
уравнений:
1) если ранг расширенной матрицы меньше числа
неизвестных, т.е. rang A = r  n , то существует n-r свободных
переменных и система имеет более одного решения.
2) если ранг расширенной матрицы равен числу
неизвестных, т.е. r  n , то система имеет единственное решение.
Если в процессе решения получится противоречивое
уравнение 0  х1  0  х2  ...  0  хn  b , где b  0 , т.е. строка вида
0 0 ... 0 b , то система несовместна.
§ 7. Правило Крамера. Матричный способ
решения системы линейных уравнений
Пусть дана система n линейных уравнений с
неизвестными, у которой основная матрица невырожденная:
а11 х1  а12 х 2  ...  а1nxn  b1
а 21 х1  а 22 х 2  ...  а 2 nxn  b 2
...........................................
аn1 x1  an 2 x 2  ...  annxn  bn

n
(1)
Систему (1) можно записать в матричном виде:
А∙Х = В ,
(2)
 а11 а12

 а 21 а 22
где А = 
... ...

 аn1 an 2
... а1n 

... а 2 n 
; Х=
... ... 

... ann 
 х1 
 х2 
  ; В=
 хn 
 
 b1 
 b2 

 bn 
 
Умножив слева обе части равенства (2) на обратную
матрицу А-1 , получим: А1  А  Х  А1  В . Поскольку А1  А  Е и
Е  Х  Х , то
Х = А-1∙В .
(3)
15
Отыскание решения системы по формуле (3) называют
матричным способом решения системы. Матричное решение (3)
запишем в виде
 х1 
 А11 А21  Аn1   b1 
 х2 
1  А12 А22  Аn 2   b 2 
   =           , где   0  хn    А1n A2 n  Ann   bn 

  
 
определитель основной матрицы системы (1). Откуда
 А11b1  А21b2  ...  Аn1bn 





х
1
 
А
b

А
b

...

А
b
12
1
22
2
n
2
n


 х2 
 т.е.
 =


 хn  
  
  
А b  А22 b2  ...  Аn 2 bn 
 12 1




А b  А21b2  ...  Аn1bn
х1  11 1
,

А b  А22 b2  ...  Аn 2 bn ,
x 2  12 1


А b  А22 b2  ...  Аn 2 bn
х 3  12 1
.

Заметим, что А11b1  А21b2  ... Аn1bn есть разложение
определителя
b1 а12  а1n
b2 а 22  a 2 n
.
1 
   
bn аn 2  ann
Определитель  1 получен из определителя  заменой
первого столбца столбцом из свободных членов, аналогично  2 определитель, полученный из  заменой второго столбца
столбцом свободных членов и т.д.
Таким образом, система (1) равносильна системе:
16
  х1   1
  х  

2
2
(4) , т.е.



  х n   n

x i  i , где i  1, n
(5)

Формулы (4), (5) называют формулами Крамера, решение
системы рассмотренным способом (4), (5) называют правилом
Крамера.
§ 8. Система линейных однородных уравнений
Систему линейных уравнений называют системой
линейных однородных уравнений, если все свободные члены
равны нулю:
a11 x1  а12 х2    а1n xn  0
а21 х1  а22 х2    а2 n xn  0
(1)

а x  a x    a x  0
m2 2
mn n
 m1 1
Однородная система всегда совместна, т.к. набор
x1  x2  ...  xn  0 является решением системы. Это решение
называется нулевым.
Когда однородная система линейных уравнений имеет не
только нулевое решение?
Теорема. Для того, чтобы система однородных уравнений
имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг r
её основной матрицы был меньше числа n неизвестных.
Необходимость. Пусть r  n , т.к r не может быть больше
n . Тогда, решая систему методом Гаусса, получаем единственное
решение, т.к. система определенная (нет свободных переменных).
Значит, найденное решение нулевое. Поэтому, если есть ненулевое
решение, то r  n .
17
Достаточность. Пусть r  n , то система совместна и
является неопределенной. Значит, она имеет более одного
решения, в том числе и нулевое решение.
Пример. Решить систему линейных однородных уравнений.
 х1  3х 2  х3  0
 х1  2 х 2  3х3  0

Решение:
 х1  3х 2   х3 , n=3 – число неизвестных.
 х1  2 х 2  3х3

А  1  3 1  ~  1 3  1 , rang А= 2 < n, значит,
1 2  3   0  5 4 
система имеет бесчисленное множество решений.
  1  3  5  0 , 1   х3  3  7 х3 ;  2  1  х3  4 х3 ,
1 2
3х3 2
1 3х3
1 7
2 4
х1   х 3 , х 2 
 х3
имеем:
 5
 5
7

 х1  5 х 3
Общее решение: 
4
 х 2  х3
5

Заметим, что х1 : х 2 : х3   3 1 : 1 1 : 1  3  7 : 4 : 5 .
2 3 3 1 1 2
18