ПРОГРАММА КУРСА "ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА" ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ Цель курса - освоение студентами фундаментальных знаний в области линейной алгебры и аналитической геометрии, изучение способов решения задач методами линейной алгебры и аналитической геометрии. Задачами данного курса являются: формирование базовых знаний в области линейной алгебры и аналитической геометрии как дисциплины, интегрирующей общематематическую подготовку прикладных математиков и физиков и обеспечивающей технологические основы современных инновационных сфер деятельности; обучение студентов принципам применения основных понятий линейной алгебры; Содержание дисциплины № п/п 1 2 3 4 5 6 Разделы и темы лекционных занятий Аналитическая геометрия и векторная алгебра Матрицы и системы линейных уравнений Линейные пространства Содержание Основные понятия линейной алгебры и аналитической геометрии. Система координат, координатное пространство Матрицы и векторы. Сложение и умножение на число, свойства линейных операций. Линейная зависимость матриц. Умножение матриц, его свойства. Матричная запись системы линейных уравнений. Линейные подпространства, примеры и свойства. Пересечение и сумма подпространств, их свойства. Прямая сумма подпространств. Теорема о размерности суммы двух подпространств. Линейные Линейные операторы, определение и свойства. Ядро и образ. отображения Ядро и образ оператора. Матрица оператора, ее изменение при линейных замене базисов. Изоморфизм линейных пространств. Линейные пространств. операции над отображениями, композиция (произведение) операторов. Линейные операторы, действующие в одном пространстве. Характеристический многочлен. Характеристическое уравнение, собственные числа и собственные векторы. Условия приведения матрицы оператора к диагональному виду. Аннулирующие многочлены. Теорема Гамильтона--Кэли. Евклидовы и Евклидовы пространства. Определение и примеры. Неравенства унитарные Коши--Буняковского и треугольника. Ортонормированные пространства базисы. Ортогонализация Грама--Шмидта. Подпространства и ортогональные дополнения. Изоморфизм евклидовых пространств. Матрица Грама. Объём $n$-мерного параллелепипеда. Унитарные пространства. Билинейные, полуторалинейные и эрмитовы формы. Эрмитово скалярное произведение. Подпространства и ортогональныедополнения. Операторы в Сопряженный оператор и его свойства. Самосопряжённые евклидовых и операторы. Собственные значения и собственные векторы унитарных пространствах 7 8 9 10 самосопряжённых операторов. Приведение матрицы самосопряжённого оператора к диагональному виду. Ортогональные и унитарные преобразования. Собственные значения и собственные векторы ортогональных и унитарных преобразований. Канонический вид матриц ортогональных и унитарных преобразований. Билинейные и Билинейные и квадратичные формы. Симметричные, полуторалинейн кососимметричные и эрмитовы формы. Ортогональность в ые формы смысле форм. Ядро и невырожденность (косо)симметричной формы. Разложение пространства в прямую сумму подпространств, ортогональных в смысле форм. Метод Лагранжа приведения к сумме квадратов. Теорема Якоби. Положительно и отрицательно определенные формы. Критерий Сильвестра. Билинейные и Билинейные и квадратичные формы в евклидовых полуторалиней- пространствах. Приведение к каноническому и нормальному ные формы в видам пары форм, одна из которых знакоопределённа. евклидовых Главные оси и собственные числа. пространствах. Кривые второго Квадратичная форма кривой второго порядка. Приведение порядка на формы к каноническому виду. Классификация кривых второго плоскости. порядка. Эллиптический, гиперболический и параболический случаи. Поверхности второго порядка в пространстве Квадратичная форма поверхности второго порядка. Приведение формы к каноническому виду. Классификация поверхностей второго порядка. Контрольная работа № 1 Контрольная работа № 2 Контрольные вопросы к зачетам и экзаменам Основная литература. 1. Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Физматлит, 2005. 2. Беклемишева Л. А., Петрович А. Ю., Чубаров И. А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. – М.: Физматлит, Изд.3, стереотип. 2008. 3. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Аналитическая геометрия. – М.: Наука, 1981. 4. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. – М.: Наука, 1984. Дополнительная литература. 1. Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. – М.: Наука, 1979. 2. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры. – М.: Наука, 1983.