Функции тангенса и котангенса, их свойства и графики

y  f (x) у
х
Функции y = tg x, y = ctg x,
их свойства и графики.
Работа устно:
Вычислите: tg

4
; tg

3
; tg 0; tg

2
; tg

6
Докажите, что число  является периодом для
функции y = sin2x.
sin2(x - ) = sin2x = sin2(x + )
Докажите, что функция является нечётной:
f(x) = x⁵ ∙ cos3x
у
Прочитайте
по графику
функцию:
Подсказка!
-2
0
-4
5
2
5
х
План прочтения графика:
1) D(f) – область определения функции.
2) Чётность или нечётность функции.
3) Промежутки возрастания, убывания
функции.
4) Ограниченность функции.
5) Наибольшие, наименьшие значения
функции.
6) Непрерывность функции.
7) E(f) – область значений функции.
Свойство 1.
Область определения функции y = tg x – множество
всех действительных чисел, за исключением чисел
вида x = /2 +k.
у
5

2
3

2



2
2
3
2
5 х
2
Свойство 2.
y = tg x – периодическая функция с
периодом  .
tg(x - ) = tg x = tg(x + )
Свойство 3.
y = tg x – нечётная функция.
tg(- x) = - tg x
(График функции симметричен относительно
начала координат).
х
0
0
tg x



6
4
3
3
3
1
3
y
1
0   
6 3 2
x
Свойство 4.
у
3

2

y = tg x


2
2
3
2
х
Функция возрастает на любом интервале вида:

 
 График функции y = tg x
   k ;  k 
называется тангенсоидой.
2
 2

Свойство 5.
Функция y = tg x не ограничена ни снизу, ни сверху.
Свойство 6.
У функции y = tg x нет ни наибольшего, ни
наименьшего значений.
Свойство 7.
Функция y = tg x непрерывна на любом интервале
вида

 

   k ;  k 
2
 2

Свойство 8.
E( f )   ;
Пример 1.
Решите уравнение tg x =  3
у
у = 3

3
2
Ответ: x 


3


2
32
 k .
3 х
2
Пример 2.
Построить график функции y = - tg (x + /2).
у

3
2

y = ctg x


2
2
3
2
х
Т.к. - tg (x + /2) = ctg x, то построен график функции
y = ctg x.
Опишите свойства функции y = ctgx.
1) D(f): множество всех действительных чисел, кроме чисел
вида x = k.
2) Периодическая с периодом .
3) Нечётная функция.
4) Функция убывает на любом интервале вида (k;  + k).
5) Функция не ограничена ни снизу, ни сверху.
6) Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего
значений.
7) Функция непрерывна на любом интервале вида (k;  + k).
8) E(f) = (- ; + ).