Модуль числа

Модуль числа
Модулем (абсолютной величиной) числа х (обозначается |x|) называется
расстояние от начала отсчета до точки, изображающей число х.
Модуль положительного числа равен самому числу. Например, |3|=3.
Модуль отрицательного числа равен противоположному ему числу.
Например, | - 2|=2.
Модуль нуля равен нулю: |0|=0.
Модуль числа х можно записать формулой:
𝑥,
если 𝑥 ≥ 0,
|𝑥| = {
−𝑥,
если 𝑥 < 0.
Геометрический смысл модуля
Геометрически |a| есть расстояние от точки 0 до точки а.
Так, |3|=3 есть расстояние от точки 0 до точки 3, | - 2|=2 есть расстояние
от точки 0 до точки – 2.
Свойства модуля
Свойство 1. Абсолютная величина произведения двух чисел равна
произведению абсолютных величин этих чисел:
|ab|=|a|·|b|.
Свойство 2. Абсолютная величина частного двух чисел равна частному
абсолютных величин этих чисел:
𝑎
|𝑎|
| |=
(𝑏 ≠ 0)
𝑏
|𝑏|
Свойство 3. Абсолютная величина суммы двух чисел не больше суммы
абсолютных величин этих чисел:
|a+b||a|+|b|.
Доказательство: Если a и b оба неотрицательны, то a+b=+(|a|+|b|); если
же оба неположительны, то a+b= - (|a|+|b|). Тогда |a+b|=|(|a|+|b|)|=|a|+|b|.
Если a и b разных знаков и |a||b|, то a+b=+(|a| - |b|), если а положительно
и a+b= - (|a| - |b|), если а отрицательно. Тогда |a+b|=|(|a| - |b|)|=|a| - |b||a|+|b|,
потому что - |b||b|.
Свойство 4. Абсолютная величина разности двух чисел не больше суммы
абсолютных величин этих чисел:
|a - b||a|+|b|.
Доказательство: |a – b|=|a+( - b)||a|+| - b|=|a|+|b|.
𝑎 − 𝑏, если 𝑎 ≥ 𝑏,
Следствие. |𝑎 − 𝑏| = {
𝑏 − 𝑎, если 𝑎 < 𝑏.
Свойство 5. |𝑎 − 𝑏| ≥ ||𝑎| − |𝑏||
Свойство 6. |a|=| - a|
Свойство 7. |a|0
Свойство 8. √𝑎2 = |𝑎|
Свойство 9. |a|a
Свойство 10. |a|2=a2
Упражнения
1. Найдите модуль числа:
1) |−3 − 1|
2) |1 − 3|
3) |5 + 3|
4) |2 − 7|
5) |−5 + 2|
6) |5 − 8|
7) |1 − 3|
8)|4 + 4|
9) |5 + 1|
10) |2 + 1|
3) |23 − 32 |
4) |2 − √5|
7) |𝑥 − 3|
8)|𝑥 + 4|
2. Раскройте модуль в выражении:
1) |−3,1|
2) |𝜋 2 − 10|
5) |3 − √10|
6) | + − |
9) |5 − 𝑥|
10) |2𝑥 − 1|
1
1
1
3
6
2
Построение графиков функций, содержащих знак модуля
Если известен график функции f, то не составит труда построить график
функции |f|.
|𝑓| = {
𝑓(𝑥), если 𝑓(𝑥) ≥ 0,
.
−𝑓(𝑥), если 𝑓(𝑥) < 0
Поэтому достаточно построить график функции f, после чего часть
полученного графика, лежащую ниже оси абсцисс, симметрично отразить
относительно этой оси.
График функции f(|x|) строится следующим образом: строится график
функции f при х0 и отображают его относительно оси ординат.
Пример 1. Построить график функции y=|x2 – 4x|.
Решение: строим график функции x2 – 4x:
Затем часть графика, лежащую ниже оси Ох отображаем симметрично
этой оси:
Полученная линия и является графиком функции |x2 – 4x|.
Пример 2. Построить график функции y=(|x| - 2)2.
Решение: строим график функции (х - 2)2:
Затем левую часть графика (при х<0) убираем, а правую часть графика
(при х>0) отображаем симметрично относительно оси Оу:
Полученная линия и является графиком функции (|x| - 2)2.
Пример 3. Построить график функции y=|x+2|+|x - 2|.
Решение: обозначим на оси корни линейных функций, стоящих под
знаком модуля: х1= - 2, х2=2. На каждом из трех получившихся промежутков
числовой оси знаки этих линейных функций постоянны и можно избавиться от
знака модуля:
если x< - 2, то у= - (х+2) – (х – 2)= - 2х;
если - 2x2, то у=(х+2) – (х – 2)=4;
если x>2, то у=(х+2)+(х – 2)=2х.
При построении графика надо провести две вертикальные прямые х= - 2 и
х=2, которые разобьют плоскость на три части. В левой части надо провести
прямую у= - 2х, в центральной у=4 и в правой у=2х:
Упражнения
1. Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты
которых удовлетворяют следующему условию:
1) |𝑥| = 1
2) |𝑥 + 3| < 2
3) |𝑦| = 2
4) |𝑦 + 2| ≤ 1
5) |𝑥 + 2| ≤ 2
6) |𝑥| ≤ 1
7) |3𝑥 − 2| > 6
8) |𝑦| ≤ 1
9) |3 − 2𝑥| > 4
10) |𝑥 − 2| < 1
2. Постройте график функции:
1) |x2 – 4x+3|
6) x2 – 4|x|+3
2) |x2+2x|+1
7) ||x- 1| - 2x|
3) |x+2|+|x – 4|
8) |
𝑥+3
𝑥−1
|
|𝑥|+2
4) |𝑥|+1
|𝑥|−3
9) |𝑥|−2
5)
|𝑥|+2
𝑥+1
𝑥−3
10) |𝑥|−2
3. Постройте множество точек M(х; у), для которых:
1) x+|x|=y+|y|
2) x+|x|=y - |y|
3) |x|=|y|
4)
5)
6) x - |x|=y - |y|
7) x - |x|=y+|y|
8)
9)
10)
4. Найдите множество таких точек M(х; у), что:
1) |y|=x2 – 4x+3
2) |𝑦| =
|𝑥|−3
|𝑥|−2
3)
4)
5)
6) |𝑦| =
𝑥−3
𝑥−2
7) |𝑦| = |
𝑥−3
𝑥−2
|
8)
9)
5. На рисунке изображен график функции f(x):
график функции:
10)
. Постройте
1) 𝑓(|𝑥|)
2) |𝑓(|𝑥|)|
3) 𝑓(−|𝑥|)
4) |𝑓(−|𝑥|)|
5) −𝑓(𝑥)
6) |𝑓(𝑥)|
7) −|𝑓(𝑥)|
8) −𝑓(−|𝑥|)
9) −|𝑓(−|𝑥|)|
10) 𝑓(−𝑥)
6. Постройте график функции:
1) 𝑦 = |𝑥 + 2|
2) 𝑦 = |1 − 2𝑥|
3) 𝑦 = |𝑥 − 1| − |𝑥 + 3|
4) 𝑦 = |𝑥 2 − 9| + 𝑥 2
5) 𝑦 = 3|𝑥 − 2|
6) 𝑦 = |𝑥 − 2| − 𝑥
7) 𝑦 = ||𝑥| − 1|
8)𝑦 = 1 − |𝑥 + 4|
9) 𝑦 = |𝑥| + |𝑥 − 3|
10) 𝑦 = 2|𝑥 − 1| + |𝑥 + 1|