Метод координат Антонида Хрипунова

Решение
стереометрических задач
методом координат.
Выполнила: учитель математики Хрипунова
А.М.
Цели:

Развитие интереса к предмету и возможности овладения им;

Развитие умений самостоятельно приобретать знания, дать
возможность ученикам проявить себя и добиться успеха;

Подготовка к ЕГЭ - выполнение 16 задания ЕГЭ.
Задачи:

Развивать пространственные представления и воображения
учащихся;

Познакомить учащихся с координатным методом решения
стереометрических задач и развивать навыки использования его;

Готовить выпускников к успешной сдаче ЕГЭ.
1. Нахождения расстояния между
точками.
Итак, пусть отрезок задан своими концами — точками A = (xa; ya;
za) и B = (xв; yв; zв). Тогда координаты середины отрезка —
обозначим ее точкой H — можно найти по формуле:
Длина вектора АВ пространстве –– это расстояние
между точками A и B.
Находится как корень квадратный из суммы
квадратов координат вектора.
А
В
АВ =
(ха − хв )2 +(уа − ув )2 + (zа − zв )2
2. Расстояние от точки до прямой.

Расстоянием от точки до прямой называется длина
перпендикуляра, проведенного к прямой из заданной
точки.
Задача: Основанием прямого параллелепипеда является ромб ,
сторона которого равна 4 3 , а угол ВАД равен 60. Найдите
расстояние от точки А до прямойС1 Д1 , если известно, что боковое
ребро данного параллелепипеда равно 8
Алгоритм решения задачи:
1.
Введем систему координат.
2.
Найдем координаты направляющих векторов прямых А
Д1 и С1 Д1 .
3.
Найдем косинус угла между прямыми А Д1 и С1 Д1 .
4. Найдем синус угла между прямыми А Д1 и С1 Д1 .
5. Найдем расстояние от точки А до прямой С1 Д1 .
Ответ: 10.
В правильной шестиугольной
призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все рёбра которой
равны 1, найдите расстояние от точки E до
прямой B1C1.
Поместим призму в прямоугольную систему координат, расположив
координатные оси, как показано на рисунке. СС1, СВ и СЕ попарно
перпендикулярны, поэтому можно направить вдоль них координатные оси.
Получаем координаты:С1 (0; 0; 1), Е ( 3; 0; 0), В1 (0;1;1).
Найдем координаты направляющих векторов для
прямых С1В1 0; 1; 0 и С1Е ( 3 ;0;−1
Найдем косинус угла между С1В1 и С1Е, используя
скалярное произведение векторов и :
cos β =
расстояние.
С1Е = 3 + 1 = 2.
= 0 => β = 90° => C1E – искомое
Задачи.
1. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, все ребра которой
равны 1, найдите расстояние от точки В до прямой C1F.
Ответ:
2. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все ребра которой равны 1, найдите
расстояние между прямыми AB и A1C.
Ответ:
3. Расстояние от точки до
плоскости.
Расстояние от точки до плоскости равно длине
перпендикуляра, опущенного из этой точки на
плоскость.
Расстояние от точки М (х0, у0, 𝑧0 )до плоскости
вычисляется по формуле:
Задача: В единичном кубе АВСДА1 В1 С1 Д1 .Найдите расстояние от
точки А до плоскости СВ1 Д1 .
Алгоритм решения задачи:
1. Введем систему координат.
2. Найдем координаты данной точки А и точек С, В1 , Д1 , которые
образуют плоскость.
3. Составим уравнение плоскости. Коэффициент dв уравнении
плоскости мы можем принять равным 1.
4. Подставим координаты точки А и значения коэффициентов в
формулу для расстояния.
Ответ:
2 3
3
Задачи:
1.В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD
проведено сечение через середины ребер AB и BC и вершину S . Найдите
расстояние от плоскости этого сечения до середины высоты пирамиды, если
все ребра пирамиды равны 8.
Ответ: 2
2. В основании прямой треугольной призмы ABCА1 В1 С1 лежит равнобедренный
прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB, равной2 10; высота призмы равна2 5 . Найдите расстояние от точки С1 до плоскости BCM, где M — середина ребра А1 С1 .
Ответ: 2
3. Дана правильная четырехугольная пирамида SABCD. Боковое ребро SA=
5, сторона основания равна2. Найдите расстояние от точки В до плоскости АДМ, где М — середина ребра SC.
Ответ: 1.
4. Нахождение угла между
скрещивающимися прямыми.

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол
между двумя прямыми, параллельными им и проходящими
через произвольную точку. Градусная мера угла располагается
в диапазоне от 0˚ до 90˚.

Данный угол между двумя прямыми равен углу между их
направляющими векторами. Таким образом, если нам удастся
найти координаты направляющих векторов𝑎(х1 ,у1 ,𝑧1 ) и
𝑏(х2 ,у2 ,𝑧2 ), то сможем найти угол. Точнее, косинус угла по
формуле:
𝑐𝑜𝑠𝛼 =
𝑎∗𝑏
𝑎 ∗ 𝑏
=
𝑥1 ∗ 𝑥2 +𝑦1 ∗ 𝑦2 +𝑧1 ∗ 𝑧2
𝑥12 + 𝑦12 + 𝑧12 ∗ 𝑥22 + 𝑦22 + 𝑧22
Алгоритм решения задач на
нахождение угла между
скрещивающимися прямыми:
1. На рисунке изображаем указанные в задаче
прямые (которым придаем направление, т.е.
вектора).
2. Вписываем фигуру в систему координат.
3. Находим координаты концов векторов.
4. Подставляем в формулу "косинус угла между
векторами"
5. После чего (если требуется в задаче), зная
косинус, находим значение самого угла.
В правильной треугольной
призме ABCA1B1C1 все ребра равны a. Найти
угол между прямыми AB иA1C.
Координаты вершин призмы в прямоугольной системе при расположении призмы, как на
рисунке: A (0; 0; 0), B (
a;
; 0), A1(0; 0; a), C (0; a; 0).
Направляющие векторы прямых A1C и AB:
{0; a; -a} и
{
cos φ =
φ = arccos
a;
; 0} ;
;
.
В кубе ABCDA1B1C1D1 с ребром 1 точка О – центр
грани ABCD. Найти:
а) угол между прямыми A1D и BO;
б) расстояние от точки B до середины отрезка A1D.
Решение:
Поместим наш куб в прямоугольную систему координат
вершины A1 (1; 0; 1), D (1; 1; 0), B1 (0; 0; 1), O (½; ½; 0).
Направляющие векторы прямых A1D и B1O:
{0; 1; -1} и {½; ½; -1};
искомый угол φ между ними находим по формуле:
cos∠φ =
откуда∠φ = 30°.
Задачи:
1.
Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1, у
которого АВ=3, АD=2 и AA1=7. Точка E лежит на ребре АА1 и
делит его в отношении 5 : 2 считая от точки А. Найдите угол
22
между скрещивающимися прямыми ВЕ и А1С.Ответ: arccos
.
527
2.
В правильной шестиугольной пирамиде SABCDEF стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите
1
косинус угла между прямыми SB и AD. Ответ: .
4
3.
Сторона правильной треугольной призмы ABCA1B1C1 равна 8.
Высота этой призмы равна 6. Найти угол между прямыми CA1 и AB1.
4.
Ответ: 2arcsin
2 3
5
или arccos 0,04
На ребре СС1 куба АВСДА1 В1 С1 Д1 отмечена точка Е так, что СЕ
: ЕС1 = = 2 : 1. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС1 .
Ответ: arccos
2 30
15
5. Нахождение угла между прямой и
плоскостью
Углом между плоскостью и неперпендикулярной ей
прямой называется угол между этой прямой и её
проекцией на данную плоскость.
Итак, для того чтобы найти угол между прямой и
плоскостью методом координат нам понадобиться
формула:
Или:
Или:
Алгоритм решения задач на нахождение угла между
прямой и плоскостью:
1. На рисунке изображаем указанные в задаче прямую и плоскость
(прямой придаем направление, т.е. вектор)
2. Вписываем фигуру в систему координат
3. Находим координаты вектора.
4. Находим координаты вектора нормали к плоскости .
5. Подставляем в формулу "синус угла между прямой и
плоскостью"
6. После чего (если требуется в задаче), зная синус, находим
значение самого угла.
Решим задачу: В правильной четырехугольной
пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите
синус угла между прямой BD и плоскостью SBC.
Введем систему координат.Запишем уравнение плоскости SBC. Чтобы
найти координаты точки S сначала найдем координаты ее проекции на
плоскость основания, а затем ее координаты по оси OZ: В(0,0,0);
1 1 2
С(0,1,0); S( , , ). Так как плоскость SBC проходит через начало
2 2 2
координат,то d=0. Уравнение плоскости имеет вид:- 2x+z=0. Таким
образом, вектор нормали к плоскости SBC имеет координаты:
𝑛 − 2, 0,1 Найдем координаты направляющего вектора прямой BD. Для
этого найдем координаты точек B(0,0,0)и D(1,1,0), а затем
координатыВ𝐷 1,1,0 ,
Ответ:
3
3
Задачи:
1. В кубе ABCDA1B1C1D1– M и N середины ребер C1D1 и АА1 соответственно.
Найдите угол между прямой MN и плоскостью ABCD.
6
Ответ: arcsin 6
2. . В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 найдите угол между
плоскостью A1BCи прямой BC1, если AA1 = 8, AB = 6, BC = 15.
24
Ответ: arcsin85 .
4
3. Высота SOправильной треугольной пирамиды SABCсоставляет 5от высоты SM
боковой грани SABНайдите угол между плоскостью основания пирамиды и её
боковым ребром.
Ответ: arcsin
2 13
13
6. Нахождение угла между
плоскостями.

Две пересекающиеся плоскости образуют две пары
равных между собой двугранных углов:

Величина двугранного угла измеряется величиной
соответствующего линейного угла.

Чтобы построить линейный угол двугранного угла, нужно
взять на линии пересечения плоскостей произвольную
точку, и в каждой плоскости провести к этой точке луч
перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Угол,
образованный этими лучами и есть линейный угол.
двугранного угла.
Угол между двумя плоскостями в пространстве равен модулю угла между
нормалями к этим плоскостям.
Таким образом, если мы найдем координаты вектора нормали, то мы
воспользовавшись ранее известной формулой косинуса угла между
векторами найдем искомый угол.
Нормаль — это прямая, перпендикулярная касательному пространству.
Так же нужно понять, что вектор нормали к плоскости, заданной уравнением
aх+bу+сz+d=0 имеет координаты 𝑛 𝑎, 𝑏, 𝑐 .
После того, как мы нашли координаты векторов нормалей двух плоскостей,
угол между двумя пересекающимися плоскостями можно вычислить как угол
между нормалями по формуле: Cos (𝛼, 𝛽) =
форме:Cos (𝛼, 𝛽) =
а1 ∗а2 +𝑏1 ∗𝑏2 +𝑐1 ∗𝑐2
𝑎12 +𝑏12 +𝑐12
𝑎22 +𝑏22 +𝑐22
𝑛1 ∗𝑛2
𝑛1 ∗ 𝑛2
. Или в координатной
,где
𝑛1 а1 , 𝑏1 , 𝑐1 вектор нормали для плоскости α, 𝑛2 а2 , 𝑏2 , 𝑐2 вектор нормали
для плоскости𝛽.
В правильной четырехугольной призме АВСDА1 В1 С1 𝐷1 стороны
основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена
точка Е так, что АЕ:ЕА1 =2:3. Найдите угол между плоскостями АВС и
ВЕ𝐷1 .
Решение.
Задачи.
1. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка S — вершина. Точка M — середина ребра SA, точка K — середина ребра SC.
Найдите угол между плоскостями BMK и ABC, если AB = 10, SC = 8.
Ответ: arccos
10
.
107
2. Основание прямой четырехугольной призмы ABCDA1B1C1D1— прямоугольник , в котором АВ=12, АD =5. Найдите угол между плоскостью основания призмы и плоскостью, проходящей через середину
ребра АDперпендикулярно прямой ВD1 ,если расстояние между
прямыми АС и B1D1равно 13.
Ответ:45°.
3.
Список литературы:
1.
Атанасян Л.С.,Бутузов С.Б. Геометрия, 10 – 11:
Учебник для общеобразовательных учреждений.
2.
Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. «
Метод координат», МЦНМО 2009 г.
3.
Мельникова Н. Б., Литвиненко В. Н., Безрукова Г. К.
«Геометрия: векторы и координаты в пространстве» Просвещение 2007 г.
4.
Вольфсон Б. И., Резницкий Л. И. «Подготовка к ЕГЭ и
ГИА-9: учимся решать задачи» - Легион 2011 г.
5.
Семенов А. Л., Ященко И. В. «ЕГЭ. Математика – 2013
г. Типовые экзаменационные варианты».
6.
Смоляков А. Н., Сидельников В. И. «ЕГЭ по
математике: задания группы С» - Москва -2013 г.
7.
reshuege.ru
Успехов в решении задач.