УРОК ОДНОЙ ЗАДАЧИ Решение стереометрических задач различными методами Цели: • Выработать умение рассматривать различные подходы к решению задач и проанализировать эффект от применения этих способов решения. • Выработать умение учащегося выбирать метод решения задачи в соответствии со своими математическими предпочтениями, базирующимися на более прочных знаниях и уверенных навыках. • Выработать умение составлять план последовательных этапов для достижения результата. • Выработать умение обосновать все предпринимаемые шаги и вычисления. • Повторить и закрепить различные темы и вопросы стереометрии и планиметрии, типовые стереометрические конструкции , связанные с решением задач. • Развивать пространственное мышление. Задачи: • Анализ различных методов решения задачи. • Сравнение преимуществ и недостатков каждого метода. • Повторение свойств правильной шестиугольной призмы. • Подготовка к сдаче ЕГЭ. • Развитие самостоятельности при принятии решения. Задача. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 сторона основания равна 2, боковое ребро равно 4. Точка N принадлежит АС, AN : NC = 1 : 3. Найти: 1) расстояние от точки В1 до N; 2) расстояние от точки N до прямой C1E1; 3) расстояние от точки N до плоскости B1E1D; 4) расстояние между прямыми B1N и F1D; 5) угол между скрещивающимися прямыми C1N и FE1; 6) угол между прямой F1N и плоскостью B1E1D; 7) угол между плоскостями A1 N B1 и BEC1 . 1. Расстояние между двумя точками Бовиков Бамба Пыль Юлиана Дано: 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 𝐸1 𝐹1 − правильная шестиугольная призма Ребро основания=2 Боковое ребро=4 N AC AN:NC=1:3 Найти: Расстояние от точки 𝐵1 до N Метод 1 <ABC= 180·(N-2)/N =><ABC=120 ° АВ = ВС = 2 По теореме косинусов 𝐴𝐶 2 =𝐴𝐵2 +𝐵𝐶 2 2AB*BC*cos<ABC АС=2√3 =>AN=2√3*1/4(т.к AN:NC=1:3)=√3/2 <ВАN=30°,АВ=2,АN=√3/2 𝐵𝑁 2 =4+3/4-√3*√3=7/4 BN=√7/2 𝐵1 𝑁= 𝑁𝐵2 + 𝐵1 𝐵2 = 16 + 7/4 = 71/2 Метод 2 N(-5/4;√3/4;0) 𝐵1 (-1;√3;4) |𝐵1 𝑁|= 5 4 (1 − )2 +( 3 − 28 16 + 16=√71/2 3 2 ) +(2 + 4 2)2 = Метод 3 2. Расстояние от точки до прямой Четырев Василий Бульдигирова Элла Дано: ABCDEFA₁B₁C₁D₁ E₁F₁ - правильная шестиугольная призма. AB = 2 AA₁ = 4 NϵAC, AN:NC=1:3 Найти: расстояние от N до C₁E₁. Решение: Через (·) N проведём прямую, перпендикулярную AD и BC. ] она пересекает их в точках H и K соответственно. Тогда ∆ANH и ∆CNB подобны, причём AN:NC=1:3. ] E1C1∩A1D1 = P. ] M ϵ PC1 и MP:PC1=1:3. Очевидно, что KHǁEC; ECǁE1C1 => KHǁE1C1. Также очевидно, что KH=PC1, и NH=1/4 BH=1/4 PC1=PM. Итак, NH=PM и NHǁPM. Значит, NHPM – параллелограмм => HPǁNM. E1C1 перпендикулярна (AA1D1) => E1C1 перпендикулярна HP, а т.к. HPǁNM, то E1C1 и NM – перпендикулярны, т.е. NM – искомое. NM = HP = . Найдём координаты точек H и P. 3 AD. 4 ] CE∩ AD=T, тогда OT=TD AT= ∆ANH и∆ACT подобны, причем 1 1 3 3 AN:AC=1:4.Тогда AH= 4 ∙AT= 4 ∙ 4 AD= 16 ∙AD. 5 5 5 1 3 HO=AO-AH= 2 ∙AD- ∙AD= 16 ∙AD=16 ∙4= 4 . 16 5 =>H(O; - 4 ; 0). (·)P (0; 1; 4), тогда 2 337 9 2 HP 0 4 4 4 1)Рассмотрим ∆C₁D₁E₁: 3 2 2 C₁E₁= C D sin 120 1 1 sin 30 0,5 2 3 2)N(- 54 ; 43 ;0); С₁(1; 3 ;4); E₁(1;- 3 ;4). 2 3 91 5 2 NC1 1 3 4 0 . 4 2 4 2 2 3 103 5 2 NE1 1 3 4 0 . 4 2 4 2 b 2 Рассмотрим ∆NC₁E₁: NC₁= 91 ;NE₁= 103 ;C₁E₁= 2 2 ; 91 103 2 2 4 a b 4 2 3 12 4 3a a 2 Приравняем правые части: 9 a= 4 3 Подставим значение «a» в 91 2 2 b a => 4 b= 337 4 3. Расстояние от точки до плоскости Манджиев Павел Педерова Анжелика Задача В правильной шестиугольной призме сторона основания равна 2, а боковые ребра равны 4, точка N принадлежит AC, AN:NC=1:3. Найдите расстояние от точки N до плоскости В1Е1D. Существуют два метода решения этой задачи: 1) Геометрический 2) Координатный Решить задачу геометрически проблемно, так как сложно определить куда упадет перпендикуляр из точки N на данную плоскость. Поэтому решим задачу координатным методом. С1 D1 В1 Е1 А1 F1 C D B N A E F C1 D1 z B1 E1 А1 y F1 x C D B N A E O F Дано: АВСDEFA1B1C1D1E1F1-правильная шестиугольная призма. АВ=2; АА1=4; NϵAC; AN:NC=1:3. Найти: d(N;B1E1D) Решение: 1) Введем систему координат как показано на рисунке. 2)Определим координаты точек : B1(-1; 3;4) E1(1;− 3;4) D(2;0;0) 5 N(− 4 ; 3 ;0) 4 3)Пусть уравнение плоскости (B1E1D) имеет вид: Ax+By+Cz+D=0. Точки B1,E1,D принадлежат данной плоскости. Значит, эти точки удовлетворяют уравнению плоскости. Составим систему уравнений: −𝐴 + 3B + 4C + D = 0 A − 3B + 4C + D = 0 2A + D = 0 3𝐷 + 2 𝐷 − 2 3B + 4C = 0 3B + 4C = 0 A=− 𝐷 2 𝐷 3 6 𝐷 −4 𝐷 −2 B=− C= A= 𝐷 𝐷 3 𝐷 12 x− 𝑦 − 𝑧 + 𝐷 = 0| ∗ − 2 6 4 𝐷 Получим уравнение плоскости : 6𝑥 + 2 3𝑦 + 3𝑧 − 12 + 0 4) Используем формулу нахождения расстояния от точки до плоскости : |𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶𝑧0 + 𝐷| 𝑑= , где 2 2 2 𝐴 +𝐵 +𝐶 𝑥0, 𝑦0,𝑧0 − координаты точки N. 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐷 − коэфициенты уравнения плоскости Подставим данные значения в формулу: 5 3 |6 • − 4 + 2 3 • 4 + 0 − 12| | − 18| 6 57 𝑑= = = 19 36 + 12 + 9 57 − Ответ: 6 57 19 4. Расстояние между прямыми Бабаков Вадим Сангаева Гиляна Лиджиева Ольга Задача. В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1 найти расстояние между B1N и DF1, где N 𝜖 AC, AN/NC = 1/3. Сторона основания призмы = 2, высота призмы = 4. 𝑫𝟏 𝑬𝟏 𝑪𝟏 𝐅𝟏 𝑩𝟏 𝑨𝟏 𝐃 𝐂 𝐅 𝑵 𝐁 𝐄 𝑨 𝐁(−𝟏; 𝟑; 𝟎) 𝒚 𝟓 𝟑 𝑵(− ; ; 𝟎) 𝟒 𝟒 𝐀(−𝟐; 𝟎; 𝟎) 𝐅(−𝟏; − 𝟑; 𝟎) 𝐂 (𝟏; 𝟑; 𝟎) 𝐃(𝟐; 𝟎; 𝟎) 𝒙 𝐄(𝟏; − 𝟑; 𝟎) Метод 1 Каноническое пространстве уравнение прямой где 𝑥2 - 𝑥1 =𝑎1 , 𝑦2 - 𝑦1 =𝑎2 ,𝑧2 - 𝑧1 =𝑎3 , а вектор {𝑎1 ; 𝑎2 ; 𝑎3 } – направляющий вектор этой прямой в Метод 1 Тогда расстояние между скрещивающимися прямыми d: d= |(𝐴0 𝐴1 ∗𝑎∗𝑏)| |𝑎 × 𝑏| То есть, в числителе смешанное произведениетрёх векторов, а в знаменателе – векторное произведение направляющих векторов скрещивающихся прямых Метод 1 Метод 2 𝑖 𝑁𝐵1 x 𝐹1 𝐷= 1/4 3 3 =−6 3 i + 13 j − 2 𝑗 𝑘 3/4 4 = 3 −4 3k −1/4 𝑁𝐵1 ∗ 𝐹1 𝐷 ∗ 𝐹1 𝑁 = 1/4 3 Тогда искомое d=26 3/17 5 3/4 −4 3 3/4 4 = 26 3 3 −4 Метод 1 Смешанное произведение трёх векторов – определитель третьего порядка, где в первой строке матрицы координаты первого вектора из произведения, во второй – второго, в третьей – третьего. Векторное произведение двух векторов – вектор, координаты которого определяются определителем третьего порядка, где в первой строке матрицы единичные векторы i, j, k, во второй – координаты первого вектора, в третьей – третьего. Метод 2 Пусть P(𝑥0 ;𝑦0 ;𝑧0 ), Q(𝑥1 ;𝑦1 ;𝑧1 ). P лежит на 𝐵1 𝑁, Q – на 𝐹1 𝐷 . Вектор PM перпендикулярен 𝐵1 𝑁 и 𝐹1 𝐷 , то есть его длина – искомое расстояние между прямыми. Выражаем вектор PM через 𝐵1 𝑁и 𝐹1 𝐷, его произведения к двум векторам скрещивающихся прямых равны 0. Откуда можно найти его длину Метод 2 𝑫𝟏 𝑬𝟏 𝑪𝟏 𝐅𝟏 𝑩𝟏 𝐐 𝐃 𝑨𝟏 𝐏 𝐂 𝐅 𝑵 𝐁 𝐄 𝑨 Метод 2 • 𝐵1 𝑃 = 𝜆 5 3 − ;− 𝜆; −4 4 4 ; 𝐹1 𝑄 = 3𝜁; 3𝜁; −4𝜁 ; • 𝜆 3 4 P(-1- ;- 𝜆 4 4 + 3; −4𝜆 + 4);Q(3𝜁 − 1; 3𝜁 − 3; 4 − 4𝜁) • 𝑃𝑄 ∗ 𝐹1 𝐴 = 0 𝑃𝑄 ∗ 𝐵1 𝑁 = 0 Метод 2 Этот метод крайне нерационален, потому что приходится выражать вектор PM через 2 переменные, после чего находить эти переменные. Метод 3 Через одну из скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную второй. Построим плоскость, параллельную 𝑁𝐵1 через 𝐹1 𝐷. Для этого проведём из точки 𝐷 отрезок 𝐷Q, равный и параллельный𝑁𝐵1 . Метод 3 𝑸 𝑫𝟏 𝑬𝟏 𝑪𝟏 𝐅𝟏 𝑩𝟏 𝑨𝟏 𝐃 𝐂 𝐅 𝑵 𝐁 𝐄 𝑨 Метод 3 Плоскость𝐷𝑄𝐸1 параллельна прямой 𝑁𝐵1 . То есть нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми свелось к нахождению расстояния между параллельными прямой и плоскостью. Используя уравнение плоскости 𝐷𝑄𝐸1 и координаты точки 𝐵1 , находим это расстояние по формуле d= |𝐴∗𝑥0 +𝐵∗𝑦0 +𝐶∗𝑧0 | 𝐴2 +𝐵2 +𝐶 2 . Метод 3 Уравнение плоскости (𝑄𝐷𝐹1 ): 21𝑥 − 13 3𝑦 + 6𝑧 + 36 = 0 То есть расстояние d = 27 246 5. Угол между скрещивающимися прямыми Болаева Альмина Семенов Галсан Мусова Виктория Задача: В правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1 E1F1 сторона основания равна 2, боковое ребро 4. Точка N принадлежит ребру AC так, что AN:NC = 1:3. Найти угол между прямыми C1N и FE1. Введём призму в декартовую систему координат с центром в точке О ВИД СВЕРХУ: 1) => => 2) 3) => Решение: М 6. Угол между прямой и плоскостью Бюрчиев Эренцен Первенов Эдуард Сухурова Виктория Задача. • Вправильной шестиугольной призме ABCDEF𝐴1 𝐵1 𝐶1 𝐷1 𝐸1 𝐹1 сторона основания равна 2, а боковые рёбра – 4. N принадлежит AC, AN:NC=1:3. Найти угол между прямой 𝐹1 N и плоскостью (𝐵1 𝐸1 𝐷). Метод 1 • 𝐵1 (1; 3;4), 𝐸1 (1; − 3;4); D(2;0;0) Составим уравнение плоскости: 2 3x+2y+ 3z-4 3=0; • Пусть 𝑛 - нормаль-вектор к (𝐵1 𝐸1 D), тогда 𝑛={2 3;2; 3} • Построим прямую𝐸1 𝑁1 , параллельную стороне𝐹1 N, тогда координаты 𝑁1 (1;- 3;4) n 19 83 E1 N1 2 n E1 N1 2 3 2 3 COS SIN ARCSIN 1577 1577 n E1 N1 Метод 2 • Достроим сечение (𝐵1 𝐸1 D) до параллелограмма 𝐵1 𝐸1 DK. Точка 𝐸1 сечению, следовательно нужно найти основание перпендикуляра на плоскость. Но этот метод нерационален, поэтому его лучше не использовать.