Элементы комбинаторики в школьном курсе

Автор: Скрипина
Юлия Георгиевна,
учитель математики
МБОУ гимназия№2
«Квантор» г.о.Коломна
Цели урока:
Образовательные

выявить, обобщить и расширить математические знания в
области комбинаторики

ввести понятия: факториал, перестановки, сочетания,
размещения

формирование умений по применению знаний в решении
задач
Воспитательные

воспитывать усидчивость, инициативность
Развивающие


развивать логическое мышление, внимательность, память
Развивать умение рассуждать, обобщать, делать выводы
2
Комбинаторика – это раздел математики,
посвященный решению задач на перебор
различных вариантов, удовлетворяющих какимлибо правилам или условиям.
Блез Паскаль
Пьер Ферма
3
25.09.2010
Комбинаторика – ветвь математики , изучающая комбинации
перестановки предметов .Еще комбинаторику можно понимать как
перебор возможных вариантов.
Комбинаторика возникла в 17 веке. Комбинаторные навыки оказались
полезными в часы досуга. В таких играх как нарды, карты, шашки,
шахматы приходилось рассматривать различные сочетания фигур и
выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные
комбинации и умел избегать проигрышные.
Еще с давних пор дипломаты стремясь к тайне переписке, изобретали
сложные шифры, а секретные службы пытались эти шифры
разгадать.
Методы комбинаторики находят широкое применение в физике, химии,
биологии, экономике и др. областях.
В науке и практике часто встречаются задачи, решая которые приходится
составлять различные комбинации из конечного числа элементов и
подсчитывать число комбинаций. Такие задачи получили название
комбинаторных задач.
1 задача
17
71
Сколько двузначных
чисел можно составить
из цифр: 1 и 7?
(цифры не повторяются)
2 задача
КВС
КСВ
ВСК
ВКС
СКВ
СВК
Скольким способами
можно положить на
хлеб колбасу, ветчину
и сыр?
3 задача
В вашем классе в среду четыре
урока: русский язык, геометрия,
биология, технология.
Сколько вариантов расписания
можно составить?
РРРРРРГ Г Г Г Г Г ББББББТТТТТТ
Г Г ББТТББТТРРТТРРГ Г РРГ Г ББ
БТГ ТБГ ТРБРТБРГ ТГ РТБГ БРГ Р
ТБТГ Г БРТРББТГ РГ ТТРГ БРБРГ
24 ВАРИАНТА
4 задача
Летом мама покупает сыну много
ягод. Она купила клубнику, малину,
смородину, ежевику и алычу.
Найдите число возможных
вариантов съедания ягод.
120 вариантов!
В частности, одним из видов комбинаторных задач
являются задачи на соединения
Виды соединений
перестановки
размещения
сочетания
В задачах по комбинаторике часто применяется
такое понятие как факториал (в переводе с
английского « factor» – множитель)
n! = 1· 2· 3· …· (n -1)n
Дерево возможностей
Задача
В кафе предлагают два первых блюда: борщ и рассольник, а
также четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски,
пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может
заказать посетитель.
обеды
борщ
гуляш
котлеты
сосиски
рассольник
пельмени
гуляш
котлеты
сосиски
пельмени
11
Дерево возможностей помогает решать разнообразные задачи,
касающиеся перебора вариантов происходящих событий.
Перестановки.
Опр. Перестановкой из n элементов называется
последовательность,
состоящая из всех
элементов
некоторого
n-элементного
множества,
причем число элементов этой
последовательности равно n.
Формула
Рn  n!
Задача: В расписании сессии 3 экзамена (история,
геометрия, алгебра). Сколько может быть вариантов
расписаний?
Решение:
Основное множество:{история, геометрия, алгебра}
 n=3
Соединение – вариант расписания сессии
Проверим, важен ли порядок:
{история, геометрия, алгебра} и {геометрия, история,
алгебра} – варианты расписания сессии для разных групп
 порядок важен  это последовательность  это
перестановка из трех элементов.
Р3  3!  6
Ответ: 6 вариантов
Задача
Туристическая фирма
планирует посещение
туристами в Италии
трех городов:
Венеции, Рима и
Флоренции. Сколько
существует вариантов
такого маршрута?
Решение
*
В
Ф
Р
Р
Ф
Ф
В
Р
В
Ф
Р
В
Ф
В
Р
ВРФ ВФР РФВ РВФ ФРВ ФВР
Задачи, в которых дается какоето количество элементов и
требуется посчитать число
всевозможных из перестановок,
называются задачами на
перестановки
Задача
Человек, пришедший в гости, забыл код,
открывающий дверь подъезда, но помнил, что
он составлен из нулей и единиц и содержит
четыре цифры. Сколько вариантов кода в
худшем случае ему придется перебрать, чтобы
открыть дверь?
Решение
0001 0010 0100 1000
4 варианта
0011 0101 0110 1001 1010 1100 6 вариантов
0111 1011 1101 1110
4 варианта
Всего 14 попыток!
Дела давно минувших
дней
Азартные игры
Шифры и апаграммы
Комбинаторика в
биологии
Комбинаторика эпохи
компьютеров
Размещения
Опр. Размещением из n элементов по m ( m ≤ n) называется
последовательность, состоящая из m различных элементов некоторого n
элементного множества.
Формула (число размещений «из эн по эм»):
n!
A 
( n  m )!
m
n
Задача: Сколько существует двузначных чисел, в которых цифра десятков и
цифра единиц различны и нечетны?
Решение (обратить внимание на его оформление!)
Основное множество: {1, 3, 5, 7, 9} – нечетные цифры 
Соединение – двузначное число 
m2
n5
Проверим, важен ли порядок:
13  31 -разные двузначные числа 
-порядок важен  это последовательность  это размещение «из пяти по два».
A52 
24
5!
 4  5  20
( 5  2 )!
Ответ: 20 чисел.
двузначных чисел
Кошехабльский район
25.09.2010
Сочетания
Опр. Сочетанием из n элементов по m ( m ≤ n) называется m- элементное
подмножество некоторого n элементного множества.
Формула (число размещений «из эн по эм»):
Cnm 
n!
( n  m )! m!
Задача: Сколькими способами можно составить букет из 3 цветов, если в
вашем распоряжении 5 цветов: мак, роза, тюльпан, лилия, гвоздика?
Решение. (обратить внимание на его оформление!)
Основное множество: {мак, роза, тюльпан, лилия, гвоздика} 
n5
Соединение – букет из трех цветков 
m3
Проверим, важен ли порядок:
{тюльпан, лилия, гвоздика} и {лилия, тюльпан, гвоздика} – один и тот же букет 
порядок неважен  это подмножество  это сочетание «из пяти по три».
C53 
25
5!
45

 10
( 5  3 )! 3!
2
Ответ: 10 букетов
Кошехабльский район
25.09.2010
Существенные признаки понятия
26
Перестановки
Размещения
Сочетания
1. Задано некоторое
множество из n
элементов.
2. Составляется
последовательность
из всех элементов
этого множества.
3. Эта
последовательность
содержит n
элементов.
1. Задано некоторое
множество из n
элементов.
2. Выделена
последовательность
элементов из этого
множества.
3. Эта
последовательность
содержит m
элементов.
4. Эти элементы
различны.
1. Заданы два
множества.
2. Одно из множеств
являетс
подмножеством
другого.
3. Основное множество
содержит n
элементов.
4. Подмножество
содержит m
элементов.
Кошехабльский район
25.09.2010
Перестановки
Размещения
Сходства - это последовательности элементов n- элементного
подмножества. В них имеет значение порядок следования
элементов последовательности.
Различия - в размещении могут участвовать не все элементы
исходного множества. В перестановке участвуют все
элементы исходного множества.
Сочетания
Размещения
Различия - сочетание – это подмножество, содержащее m элементов
из n. Размещение – это последовательность,
содержащая m элементов из n.
При формировании последовательности важен порядок следования
Элементов, а при формировании подмножества порядок не важен.
27
Кошехабльский район
25.09.2010
Решение задач
1. Пять мальчиков и четыре девочки хотят сесть на девятиместную
скамейку так, чтобы каждая девочка сидела между двумя
мальчиками. Сколькими способами они могут это сделать?
2. В библиотеке читателю предложили на выбор из новых поступлений
10 книг и 4 журнала. Сколькими способами он может выбрать из них
3 книги и 2 журнала?
3. Сколько существует семизначных телефонных номеров, в которых все
цифры различные и первая цифра отлична от нуля?
4. Сколько различных трехзначных чисел (без повторения цифр) можно
составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5, таких, которые являются: а) четными;
б) кратными 5 ?
28
Кошехабльский район
25.09.2010
• Что мы сегодня усвоили на уроке?
• Что такое комбинаторика?
• Что называют размещением?
Запишите формулу.
• Что называют сочетанием ?
Запишите формулу.
• Что называют перестановкой?
Запишите формулу.
• В чем различие между перестановками,
размещениями, сочетаниями?
29
Кошехабльский район
25.09.2010


Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра. 9 кл.: Учеб. для шк.
и кл. с углубл. изуч. математики. – М.: Мнемозина,
2010. – 439с.
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: Элементы
статистики и теории вероятностей: Учеб. пособие
для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. учреждений /
Под. ред. С.А.Теляковского. – М.: Просвещение,
2003. – 78с.
Алгебра и начала математического анализа:
учебник для 10 кл. общеораз. учреждений базовый
и профильный уровни/С.М. Никольский и др. М:
Просвещение, 2008 - 430с.
Кошехабльский район

25.09.2010
Литература
30
Задача 2
31
У Васи в тетради нарисован прямоугольник,
разделенный на три равные части. Он должен
закрасить каждую из этих частей в один из трех
цветов: красный, желтый, зеленый. Нельзя
окрашивать разные части одинаковым цветом.
Сколько вариантов рисунка может получить Вася?
Октысюк У. С. 2007
Решение
32
*
К
З
Ж
Ж
З
К
З
К
Ж
З
Ж
З
К
Ж
К
КЖЗ КЗЖ ЖКЗ ЖЗК ЗКЖ ЗЖК
Октысюк У. С. 2007
Задача 1
33
Государственные флаги некоторых стран состоят
из трех горизонтальных полос разного цвета.
Сколько существует различных вариантов
флагов с белой, синей и красной полосой?
Проверь себя!
Октысюк У. С. 2007
Задача 2
34
Витя, Толя и Игорь купили вместе интересную книгу
и решили ее читать по очереди. Выпишите все
варианты такой очереди. Сколько есть вариантов,
в которых Игорь на первом месте? Витя не на
последнем месте?
Проверь себя!
Октысюк У. С. 2007
Задача 3
35
Поэт-модернист написал стихотворение, в
котором первая строчка – «Хочу пойти гулять
куда-нибудь», а остальные строки все разные и
получены из первой перестановкой слов. Какое
наибольшее количество строк может быть в
этом стихотворении?
Указание: В строке 4 разных слова, закодируйте их
цифрами.
Проверь себя!
Октысюк У. С. 2007
Задача 4
36
Трое господ при входе в ресторан отдали
швейцару свои шляпы, а при выходе получили
обратно. Сколько существует вариантов, при
которых каждый из них получит чужую шляпу?
Проверь себя!
Октысюк У. С. 2007
Задача 5
37
Человек забыл код, открывающий замок на его
чемодане, но вспомнил, что код состоит их трех
разных цифр, каждая из которых не больше
трех. Кроме того, в код точно не входит
сочетание 13. Сколько вариантов кода в худшем
случае ему придется перебрать, чтобы открыть
свой чемодан?
Проверь себя!
Октысюк У. С. 2007
Задача 6
38
В классе три человека хорошо поют, двое других
играют на гитаре, а еще один умеет показывать
фокусы. Сколькими способами можно составить
концертную бригаду из певца, гитариста и
фокусника?
Проверь себя!
Октысюк У. С. 2007
Задача 7
39
Имеется ткань двух цветов: голубая и зеленая – и
требуется обить диван, кресло и стул. Сколько
существует различных вариантов обивки этой
мебели?
Проверь себя!
Октысюк У. С. 2007
Ответьте на вопросы
40




Какие обозначения удобно вводить при
решении комбинаторных задач?
В чем состоит особенность задач на
перестановки?
Как решаются задачи на перестановки?
Сколько можно составить перестановок из трех
элементов?
Октысюк У. С. 2007
П. 9.1
41
№ 866 Составьте все множества, равные
множеству {1; 2; 3}.
№ 872 Два курьера фирмы должны забрать почту
из четырех филиалов, причем каждый успеет
съездить только в два филиала из четырех.
Сколькими способами они смогут распределить
между собой поездки?
Октысюк У. С. 2007
Решение
42
Октысюк У. С. 2007
Решение
43
*
В
И
Т
Т
И
В
И
В
Т
И
Т
И
В
Т
В
ВТИ ВИТ ТВИ ТИВ ИВТ ИТВ
Октысюк У. С. 2007
Решение
Хочу пойти куда-нибудь гулять
Гулять хочу пойти куда-нибудь
Хочу гулять пойти куда-нибудь
Гулять хочу куда-нибудь пойти
Хочу гулять куда-нибудь пойти
Гулять пойти хочу куда-нибудь
Хочу куда-нибудь пойти гулять
Гулять пойти куда-нибудь хочу
Хочу куда-нибудь гулять пойти
Гулять куда-нибудь хочу пойти
Пойти хочу гулять куда-нибудь
Гулять куда-нибудь пойти хочу
Пойти хочу куда-нибудь гулять
Куда-нибудь хочу пойти гулять
Пойти гулять хочу куда-нибудь
Куда-нибудь хочу гулять пойти
Пойти гулять куда-нибудь хочу
Куда-нибудь пойти хочу гулять
Пойти куда-нибудь хочу гулять
Куда-нибудь пойти гулять хочу
Пойти куда-нибудь гулять хочу
Куда-нибудь гулять хочу пойти
Куда-нибудь гулять пойти хочу
Октысюк У. С. 2007
44
Решение
45
123 132 213 231 312 321
Октысюк У. С. 2007
Решение
46
123 124 132 134 142 143 213 214 231 234 243 241
312 314 321 324 341 342 412 413 421 423 431 432
20 кодов!
Октысюк У. С. 2007
Решение
47
П1 Г1 П1 Г2 П2 Г1
П2 Г2 П3 Г1 П3 Г2
Октысюк У. С. 2007
Решение
Диван
Кресло
Г
Г
Г
Г
Г
З
З
З
З
Г
З
З
З
З
Г
Г
Стул
Г
З
Г
З
З
Г
З
Г
8 вариантов!
Октысюк У. С. 2007
48