Тема: Решение задач с помощью квадратных уравнений. Цели и задачи: Учиться быстрому и рациональному способу решению квадратных уравнений и задач . Познакомиться с историей возникновения квадратных уравнений. а) x2 – 4x – 5 = 0 a = 1, b = -4, c = -5 D = b2 – 4ac = 16 + 20 =36 > 0, х1 = - 1; х2 = 5. Ответ: -1; 5. 2 корня; а) x2 – 4x – 5 = 0 a = 1, k = -2, c = -5 D1 = k2 – ac = 4 + 5 = 9 > 0, х1 = - 1; х2 = 5. Ответ: -1; 5. 2 корня; б) 2х2 – 5х + 3 = 0 Ответ: в) -7х2 + 13х – 6 = 0 Ответ: г) 3х2 - 8х + 5 = 0 Ответ: Если в квадратном уравнении aх2 + bх + c = 0 a + b + c = 0, то . Доказательство. b = - (a + c) D = b2 – 4ac = (a + c)2 – 4ac= a2+2ac+c2 -4ac = a2-2ac+c2= (a – c)2 ; = Например, х2 + 1999х – 2000 = 0 Ответ: 5х2 + 31х – 36 = 0 Ответ: Чтобы спорилось нужное дело, Чтобы в жизни не знать неудач, Мы в поход отправляемся смело В мир загадок и сложных задач. Не беда, что идти далеко, Не боимся, что путь будет труден. Достижения крупные людям Никогда не давались легко. Неполные квадратные уравнения и частные виды полных квадратных уравнений умели решать вавилоняни около 2000 лет до нашей эры. Об этом свидетельствуют найденные клинописные тексты задач с решениями (в виде рецептов). Правило решения этих уравнений по существу совпадает с современным, однако, неизвестно каким образом люди дошли до этого правила. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствует понятие отрицательного числа и общие методы решения уравнений. Задача на глиняной дощечке (около 1950 год до н.э) Площади двух своих квадратов я сложил и получил 97. Сторона второго квадрата равна стороне первого и ещё 5. Задачи на квадратные уравнения встречаются в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком Ариабхаттой. Другой индийскиий учёный – Брахмагупта (VII в.) изложил общее правило решения квадратных уравнений. Правило Брахмагупты по существу совпадает с современным. В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звёзды, так учёный человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары. Обезьянок резвых стая Всласть поевши, развлекалась. Их в квадрате часть восьмая На поляне забавлялась, А двенадцать по лианам Стали прыгать, повисая… Сколько ж было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае? В трактате «Кетаб аль–джебр валь- мукабала» хорезмский математик альХорезми разъясняет приемы решения уравнений вида ax2 = bx, ax2 = c, ax2+c = bx (буквами a,b и с обозначены лишь положительные числа, так как отрицательных чисел тогда не признавали ). Формы решения квадратных уравнений по образцу аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абаха», написаной в 1202г. Итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Многие задачи из его «Книги абаха» переходили почти во все европейские учебники. Общее правило решения квадратных уравнений вида x2+bx=c было сформировано в 1544 г. М.Штифелем. Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Отрицательные корни среди первых стали учитывать итальянские учёные Тарталья, Кардано, Бомбелли. После трудов нидерландского математика А.Жирара, а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид. а) x2 – 4x – 5 = 0 a = 1, b = -4, c = -5 a – b + c = 0 или b = a + c х1 = - 1; х2 = 5. Ответ: -1; 5.