Презентация Теста ЕГЭ

Часть 1
В1. Минута мобильной связи стоит 2 руб. 30 коп.
Какое наибольшее целое число минут можно
разговаривать по телефону, если на счету у
абонента осталось 20 рублей?
Ответ: 8
Решение: 20 : 2,3 ~ 8,7 (мин.) => 8 минут
В2. Клиент взял в банке кредит 3000 руб. на год под 12 %.
Он должен погашать кредит, внося в банк ежемесячно
одинаковую сумму денег, с тем чтобы через год
выплатить всю сумму, взятую в кредит, вместе с
процентами.
Сколько он должен вносить в банк ежемесячно?
Ответ: 280
Решение: (3000 + 0,12 ∙ 3000) : 12 = 280 (руб.)
В3. На графике, изображенном на рисунке, представлено
изменение биржевой стоимости акций горнодобывающей
компании в первой половине сентября. 7 сентября
бизнесмен купил пакет акций, а 13 сентября продал его.
В результате этих операций прибыль бизнесмена
составила 3600 рублей. Сколько акций было в пакете?
Ответ: 12
Решение: пусть количество акций равно п,
тогда 600п – 300п = 3600
=> п = 12
В4. Для транспортировки 36 тонн груза на 500 км можно
использовать одного из трех перевозчиков. Причем, у
каждого из них своя грузоподъемность используемых
автомобилей. Сколько рублей придется заплатить за
самую дешевую перевозку за один рейс?
Перевозчик
Стоимость перевозки одним
автомобилем (р. на 100 км)
Грузоподъемность
автомобилей (тонн)
А
3200 р.
3,5
Б
4100 р.
5
В
9500 р.
12
Ответ: 142500
Решение:
3200 ∙ 5 ∙ 11 = 176000 (руб.)
4100 ∙ 5 ∙ 8 = 164000 (руб.)
9500 ∙ 5 ∙ 3 = 142500 (руб.)
В5. Найдите площадь закрашенной фигуры на
координатной плоскости.
Ответ: 32
Решение:
S = ½ ∙10∙ 10 – ½ ∙ 6 ∙ 6 = 32
В6. Имеются 20 карточек, на которых записаны числа от
1 до 20. Из них наугад выбирают одну карточку.
Какова вероятность того, что на выбранной карточке
будет число 20 или любое нечётное число?
Ответ: 0,55
Решение: А – событие «выбрана карточка с числом 20»,
В – событие «выбрана карточка с нечётным числом».
События А и В несовместны.
Р(А) = 1/20, Р(В) = 1/2.
Значит, Р(АUВ) = 1/20 + 1/2 = 0,55.
В7. Найдите корень уравнения
log4(5-x) = 2
.
Ответ: – 11
Решение:
5 - x = 16,
x = 5 – 16
x = -11
х<5
B8. Периметр четырёхугольника, описанного около
окружности , равен 56, две его стороны равны 12 и 20.
Найдите большую из оставшихся сторон.
Ответ: 16
Решение:
20
х
х + у + 12 + 20 = 56 по определению периметра
х + 12 = у + 20
по свойству описанного четырёхугольника
Значит, решая совместно уравнения
12
х + у = 24 и х – у = 8, получим х = 16, у = 8
т.е. большая сторона равна 16
у
В9. На рисунке изображен график функции у = f(х),
определённой на интервале (-4;7).
Определите количество целых точек, в которых
производная функции положительна.
a
b c d
Ответ: 4
Решение: f '(х) > 0 => функция у= f(х) возрастает.
Функция возрастает от a до b и от c до d.
На первом промежутке 4 точки. На втором
таких точек нет. В точках с абсциссами a, d,
c, d f '(х) = 0.
В10. Найдите площадь поверхности прямой призмы, в
основании которой лежит ромб с диагоналями, равными
6 и 8, и боковым ребром, равным 10.
Ответ: 248
Решение:
Значит,
S = 2Sосн. + Sбок.
Sосн.= ½ ∙ 6 ∙ 8 = 24, сторона ромба равна 5
Sбок. = 4 ∙ 5 ∙ 10 = 200
S = 2 ∙ 24 + 200 = 48 + 200 = 248.
Часть 2
В11. Найдите значение выражения
Ответ: -12
Решение:
В12. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для
нагревательного элемента некоторого прибора была получена
экспериментально. На исследуемом интервале температур
вычисляется по формуле T(t) = T0 + bt + at², где t – время в
минутах, T0 = 680К, а = -16К/мин², b = 224К/мин. Известно, что
при температуре нагревателя свыше 1400К прибор может
испортиться, поэтому его нужно отключить.
Определите, через какое наибольшее время после начала работы
нужно отключить прибор. Ответ выразите в минутах.
Ответ: 5
Решение:
1400K
t1
t2
680 + 224t -16t2 = 1400
-16t2 + 224t – 720 = 0
t2 - 14 t + 45 = 0,
t1 = 9, t2 = 5
Значит, чтобы прибор не
испортился, его нужно
выключить не позже чем через 5
минут после начала работы .
В13. Цилиндр и конус имеют общее основание и общую
высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем
конуса равен 11.
Ответ: 33
Решение:
Vk =
∙ πR2h, Vk = 11
Значит, πR2h= 33, т.е. Vц = 33
В14. Чтобы приготовить молочный коктейль, в миксер
положили 200г мороженого жирностью 10% и добавили
300г молока 6% - ой жирности.
Определите жирность полученного коктейля (в процентах).
Ответ: 7,6
Решение:
200г
300г
500г
10%
6%
?
0,1 ∙ 200 = 20 г
0,06 ∙ 300 = 18 г
38г
38/500 ∙ 100% = 7,6 %
В15. Найдите точку максимума функции
у = (х - 5)2ех + 8
Ответ: 3
Решение:
у = (х - 5)2ех + 8
у' = 2(х - 5)ех + 8 + (х - 5)2ех + 8
у' = 0 , 2х – 10 + (х – 5)2 = 0
значит, 2х – 10 + х2 -10х + 25 = 0
х2 -8х + 15 = 0
х=3их=5
+
3
+
5
Хmax = 3
Часть 3
С1. Решите уравнение:
а)
б) Найдите все корни уравнения , принадлежащие
промежутку [π; 5π/2]
Ответ: a) π/3 + πк, к ϵ Z
б) 4π/3; 7π/3
Решение:
2sinx(cosx - 2) - 2√3cosx(cosx - 2) = 0
(cosx - 2)(2sinx - 2√3cosx) = 0
cosx – 2 = 0 или sinx - √3cosx = 0
корней нет
х = π/3 + πк, кϵZ
C2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD
с вершиной S известны рёбра: АВ = 1, SD = 2. Точка
М – середина ребра SC. Найдите площадь сечения этой
пирамиды, проходящего через точки M, A, D.
Ответ: 3√23
16
Решение:
S
M 2
K
h
В
А
1
H D
С
MK // AD, ADMK искомая трапеция
S = ½ ∙ (AD + KM) h
AD = 1, MK = ½ (ср.линия)
Δ DCM: DM – медиана, значит,
DM = 1/2
DM = √6/2
Δ MHD: HD = 1/4, MH =
MH = √23/ 4
S = 1/2 ∙ (1 + 1/2) √23 / 4 = 3 √23
16
C3. Решите систему неравенств:
Ответ: (5/4; 3/2)
Решение:
Решение (продолжение С3):
С4. Расстояния от точки М, расположенной внутри угла, до
сторон угла равны 3 и 6. Через точку М проведена прямая,
отсекающая от угла треугольник, площадь которого равна 48.
Найдите длину отрезка этой прямой, заключённой внутри угла.
Ответ: 4√13 или 4√37
Решение:
Пусть ОА = х, ОВ = у. Тогда SAOB = (1/2) xy = 48
С другой стороны:
SAOB = SAOM + SBOM = (1/2) x ∙ 3 + (1/2)y ∙ 6 =
= (3/2) x + 3y = 48
значит,
По теореме Пифагора АВ = 4√13
или
или
АВ = 4√37
С5. При каких значениях параметра а уравнение
ах² + /х – 1/ = о имеет три решения.
Решение: ах²= - / х - 1/. График функции у = - /х – 1/ - «уголок» с
вершиной в точке (1; 0), ветви которого направлены вниз. Функция у = ах² задаёт
семейство парабол с вершиной (0; 0) при а ≠ 0 и прямую у = 0 при а = 0. Изменение
параметра а влияет на направление ветвей параболы.
Если а = 0, то прямая у = 0 и график функции у = - /х - 1/
имеют одну общую точку, а следовательно данное
уравнение - один корень. Значение а = 0 не удовлетворяет
условию задачи.
Если а > 0, то ветви параболы направлены вверх,
и графики не имеют общих точек.
Пусть а < 0, тогда ветви параболы будут направлены
вниз. В этом случае парабола и прямая у = х – 1 имеют
две общие точки. Ещё одна общая точка будет, когда прямая у = - х + 1 является
касательной к графику функции у = ах². Пусть х ̥ абсцисса точки касания прямой
у = -х + 1 с параболой у = ах² .
Ответ: а = -1/4
С6. Дана последовательность натуральных чисел, причём
каждый следующий член отличается от предыдущего либо
на 10, либо в 6 раз. Сумма всех членов последовательности
равна 257. а) Какое наименьшее число может быть в этой
последовательности . б) Какое наибольшее количество
членов может быть в этой последовательности?
Решение: а) Последовательность не может состоять из двух
членов, т.к уравнения х + (х + 10) = 257, х + 6х = 257 неразрешимы в
целых числах. Последовательность может состоять из трёх членов,
Например, 19 + 114 + 124 = 257
б) Сумма двух соседних чисел равна как минимум 7, поскольку
257 = 36 ∙ 7 + 5, будет самое большее 36 пар и ещё одно число. Но сумма
может быть равна 7 только для пары 1+ 6, а если все пары такие, то
добавить к ним число 5 нельзя. А для остальных пар сумма равна как
минимум 12. Поэтому на самом деле 73 числа обеспечить нельзя, а 72
числа можно, например в ситуации 1,6,1,6,1,6,…,1, 6,1,11 (пара 1,6
повторяется 35 раз)
Ответ: а) 3; б) 72