1 - вгуэс
advertisement
Экономикоматематические методы и модели (учебная дисциплина) Составители доценты кафедры математики и моделирования ВГУЭС Волгина Ольга Алексеевна Шуман Галина Ивановна Нелинейные оптимизационные модели Список рекомендуемой литературы по (основная) Экономико-математические методы и прикладные модели: учебник для бакалавриата и магистратуры, 4-е изд. переработанное и дополненное/ В. В. Федосеев, А. Н. Гармаш и др.: Под ред. проф. В. В. Федосеева – М.: ЮРАЙТ, 2014.- 327с. О. А. Волгина, Н. Ю. Голодная, Н.Н. Одияко, Г. И. Шуман Математическое моделирование экономических процессов и систем: учебное пособие для бакалавриата, 3-е издание, стереотипное дополненное – М.: КНОРУС, 2014.- 200с. Список рекомендуемой литературы (основная) Чупрынов Б.П. Математика в экономике: математические методы и модели: Учебник для бакалавров / Под ред. М.С. Красс. - М.: Юрайт, 2013. - 541 c. Орлова И.В. Экономико-математические методы и прикладные модели: Учебник для бакалавров - М.: Юрайт, 2013. - 328 c. М.С. Красс, Б.П. Чупрынов. Математика для экономического бакалавриата : учебник по направлению «Экономика» – М. : ИНФРА-М, 2013.– 472 с. Список рекомендуемой литературы (основная) Орлова, И.В. Экономико-математические методы и модели: компьютерное моделирование: Учебное пособие / И.В. Орлова. - М.: Вузовский учебник, НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 389 c. Попов, А.М. Экономико-математические методы и модели: Учебник для бакалавров / А.М. Попов. - М.: Юрайт, 2013. - 479 c. Список дополнительной литературы Е. С. Кундышева Экономико-математическое моделирование: Учебник / под редакцией проф. Б.А. Суслакова – М.: «Дашков и К», 2008. – 424 с. В.А. Колемаев Экономико-математическое моделирование: моделирование макроэкономических процессов и систем: учебник - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 295с. Содержание (нелинейные оптимизационные модели) 1. Понятие модели и моделирования 2. Предельная величина. Примеры предельных величин в экономике 3. Эластичность функции 4. Моделирование поведения потребителя 5. Моделирование поведения производителя 6. Максимизация прибыли в условиях монопольного и конкурентного рынков 1.Понятие модели и моделирования Под моделью (от лат. modulus - мера, образец, норма) понимают материальный или мысленно представляемый объект или процесс, который в результате изучения замещает объект-оригинал, сохраняя некоторые важные для данного исследования типичные его черты. Процесс построения и использования модели называется моделированием. 1. Понятие модели и моделирования Экономико -математическая модель представляет собой упрошенное формальное описание на языке математики интересующих нас сторон экономического процесса или явления. Наиболее обширный класс моделей, применяющихся на практике оптимизационные 1. Понятие модели и моделирования Экономико-математические модели или задачи, цель которых состоит в нахождении наилучшего (оптимального) с точки зрения некоторого критерия или критериев варианта из множества возможных называют оптимизационными. 1. Понятие модели и моделирования Оптимизационная модель представляет собой модель, состоящую из целевой функции экстремум которой надо найти и ограничений в форме уравнений или неравенств , которые описывают взаимосвязи между переменными 1. Понятие модели и моделирования Из нелинейных оптимизационных моделей будем рассматривать модели выпуклого программирования. В моделях данного класса целевая функция и функции – ограничения являются выпуклыми (или вогнутыми) функциями. 1. Понятие модели и моделирования При данных условиях локальный максимум (или минимум) функции является также глобальным. При решении таких задач используется метод множителей Лагранжа, а также теорема Куна-Таккера. 1. Понятие модели и моделирования Оптимизационные модели используют при анализе поведения отдельных экономических агентов (потребителей, производителей и т.д.) для нахождения оптимальных величин. В этих моделях используются предельные показатели: предельная полезность, предельный продукт, предельный доход, предельные издержки и т.п. Данный анализ принято называть маржинализмом (от англ. margin). 2. Предельная величина Под предельной (маржинальной) величиной понимают прирост одной величины, вызванный приростом другой величины на единицу (при условии, что все остальные величины остаются неизменными). 2.Предельная величина Производную первого порядка непрерывной функции y = f(x) называют предельной величиной, которая показывает на сколько единиц изменится функция при изменении аргумента на дополнительную единицу ( малую единицу, заданную в единицах измерения) и обозначают 2.Предельная величина 2. Примеры предельных величин в экономике Производную функции выпуска продукции Q(L), где L – затраты труда, называют предельным выпуском по труду (или предельной производительностью труда, или предельным продуктом труда) MQ(L), который показывает на сколько единиц изменился выпуск продукции при изменении затрат труда на дополнительную единицу. 2. Примеры предельных величин в экономике Производную функции спроса D(p), где p – цена продукции, называют предельным спросом относительно цены MD(p), который показывает на сколько единиц изменился спрос при изменении цены на дополнительную единицу. 3. Эластичность функции Если существует предел отношения относительного приращения функции к относительному приращению аргумента при , то его называют эластичностью (или относительной производной) функции в точке и обозначают или 3. Эластичность функции Так как - средняя величина, то Эластичность функции в точке равна отношению предельной и средней величины. 3. Эластичность функции Эластичность функции приблизительно показывает на сколько процентов изменится функция, если аргумент изменится на один процент. 3. Эластичность функции Замечание. При расчете эластичности, значение аргумента задаётся, поэтому эластичность функции в точке , называют точечной или предельной. 3. Эластичность функции Пример. Рассчитать эластичность функции , если . Это значит, что при увеличении (уменьшении) аргумента на 1% от его значения , функция уменьшится (увеличится) на 0,5% . Эластичность функции 1. показывает на сколько процентов увеличится (уменьшится) функция, если аргумент увеличится (уменьшится ) на один процент. В этом случае функция и аргумент изменяются в одном направлении. 3. Эластичность функции 2. показывает на сколько процентов увеличится (уменьшится) функция, если аргумент уменьшится (увеличится) на один процент. В этом случае функция и аргумент изменяются в противоположных направлениях. 3. Эластичность функции 3. Если , то функцию называют неэластичной в точке . Это значит, что при изменении аргумента на один процент, функция изменится меньше чем на один процент. В этом случае аргумент меняется быстрее, чем функция 3. Эластичность функции 4. Если , то функцию называют эластичной в точке . Это значит, что при изменении аргумента на один процент, функция изменится больше чем на один процент. В этом случае аргумент меняется медленнее, чем функция 3. Эластичность функции 5. Если , то функцию называют нейтральной в точке или функцией с единичной эластичностью. Это значит, что при изменении аргумента на один процент, функция изменится на один процент. В этом случае функция и аргумент меняется одинаковыми темпами. 3. Эластичность функции 6. Если , то функцию называют совершенно неэластичной в точке . Это значит, что при изменении аргумента на один процент, функция не изменится. 3. Эластичность функции 7. Если , то функцию называют совершенно эластичной в точке . Это значит, что при изменении аргумента на один процент, функция изменяется на неограниченную величину. Например, если , то это значит, что при увеличении цены на 1% покупатели полностью отказываются от товара. 3. Дуговая эластичность функции Пусть дана функция . Формула дуговой эластичности имеет вид: или , где 3. Дуговая эластичность функции Дуговая эластичность показывает на сколько процентов в среднем изменится функция при изменении аргумента на один процент на отрезке его изменения. 3. Дуговая эластичность функции Пример. Функция спроса на товар имеет вид . Найти коэффициент дуговой эластичности, если цена товара изменилась с д.е., до д.е. Подставим в формулу значения , , , , . Если цена на товар увеличится на 1% на промежутке ее изменения от 2д.е. до 4д.е., то спрос в среднем снизится на 1,5%. 3. Эластичность функции нескольких переменных Функция имеет частную эластичность по : , которая показывает на сколько процентов изменится функция при изменении аргумента на один процент и неизменном аргументе . 3. Эластичность функции нескольких переменных Функция имеет частную эластичность по : , которая показывает на сколько процентов изменится функция при изменении аргумента на один процент и неизменном аргументе . 3. Прямая и перекрестная эластичность Рассмотрим функцию спроса где - цена собственного товара, альтернативного товара. , - цена Эластичность спроса на товар относительно собственной цены называют прямой эластичностью , которая показывает на сколько процентов изменится спрос на товар, если собственная цена товара изменилась на 1%, при неизменной цене альтернативного товара. 3. Прямая и перекрестная эластичность Эластичность спроса на товар относительно цены альтернативного товара называют перекрестной эластичностью , которая показывает на сколько процентов изменится спрос на товар, если цена альтернативного товара изменилась на 1%, при неизменной цене собственного товара. 4. Понятие модели поведения потребителя Модель поведения потребителя заключается в том, что каждый потребитель, осуществляя выбор различных наборов благ, при заданных ценах и имеющемся доходе, стремится максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей. 4. Понятие модели поведения потребителя Степень удовлетворения той или иной потребности потребителя называют полезностью. Чаще всего полезность используется для описания предпочтений при ранжировании наборов потребительских благ и услуг. 4. Понятие модели поведения потребителя Любой набор благ можно представить в виде вектора, координаты которого равны количеству i – го блага 4.Понятие функции полезности Итак: уровень удовлетворения потребностей потребителя можно выразить функцией полезности, то есть каждому набору потребительских благ ставится в соответствие некоторое число, называемое функцией полезности. 4. Понятие функции полезности Функцию полезности, определённую на потребительском наборе благ , можно записать в виде . Функция полезности не является однозначной. Каждый потребитель имеет свою функцию полезности. 4. Предельная полезность благ Пусть дана функция полезности Частную производную первого порядка по называют предельной полезностью первого блага, обозначают и которая показывает, на сколько единиц изменится функция полезности при изменении количество первого блага на единицу и неизменном количестве второго блага. 4. Предельная полезность благ Частную производную первого порядка по называют предельной полезностью второго блага, обозначают и которая показывает, на сколько единиц изменится функция полезности при изменении количество второго блага на единицу и неизменном количестве первого блага. 4. Предельная полезность благ Предельные полезностные оценки характеризуют потребительскую стоимость благ. Если спрос равен предложению, то цена равновесия будет равна потребительской стоимости т предельные полезностные оценки будут им пропорциональны. 4. Свойства функции полезности Рассмотрим функцию полезности 1.С ростом потребления одного из благ и неизменном потреблении другого блага, функция полезности возрастает, а значит, предельные полезности благ , 2. Предельная полезность каждого блага уменьшается, если растет объем его потребления . Это значит, что каждая дополнительная единица приобретенного блага используется менее эффективно, что приводит к замедлению роста функции полезности . Это свойство называют законом убывающей предельной полезности. 4. Свойства функции полезности В этом случае частные производные второго порядка функции полезности отрицательные , . 3. Предельная полезность блага увеличивается, если растет объем потребления другого блага. В этом случае смешанные частные производные второго порядка функции полезности положительные , . 4. Кривые безразличия Определение. Линией уровня функции называют геометрическое место точек плоскости, в которых функция принимает одно и тоже постоянное значение , где Пример. Построить линии уровня для функции , где , , Надо построить функции вида: или или или 4. Кривые безразличия Карта линейных линий уровня X2 9 8 7 6 5 x2 = 4 - x1 4 x2 = 6 - x1 3 x2 = 8 - x1 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X1 4. Кривые безразличия Линию уровня функции полезности называют кривой безразличия. Определение. Кривой безразличия это такая совокупность наборов благ, при которой функция полезности принимает одно и тоже значение, и потребителю безразлично какой из наборов благ выбирать. Каждая кривая безразличия представляет собой наборы благ, которые потребитель оценивает одинаково. 4.Виды кривых безразличия Вид кривой безразличия зависит от вида функции полезности. 1.Линейная функция полезности имеет линейные кривые безразличия . Блага в этом случае являются совершенными заменителями. 4. Виды кривых безразличия Линейные кривые безразличия с полным взаимозамещением благ X2 9 8 7 6 5 x2 = 4 - x1 4 x2 = 6 - x1 3 x2 = 8 - x1 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 X1 4. Виды кривых безразличия 2. Кривые безразличия степенной функции полезности , , , , представляют собой семейство гипербол, расположенных в первой координатной четверти . Блага в этом случае называют близкими заменителями . Увеличение потребления одного из них сопровождается незначительным снижением потребления другого и наоборот. 4. Виды кривых безразличия Кривые безразличия степенной функции (блага - близкие заменители) X2 14 12 10 8 X2 = 4/X1 X2 =8/X1 6 X2=12/X1 4 2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4. Виды кривых безразличия 3. Функции полезности с фиксированными пропорциями имеет кривые безразличия в виде точки на пересечении двух прямых . В этом случае блага называют совершенными дополнителями. Это блага (товары и услуги), которые потребляются всегда в строго определенных пропорциях. 4. Виды кривых безразличия X2 Кривые безразличия с полным взаимодополнением благ 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 12 X1 4. Виды кривых безразличия 4. Функция полезности для нейтральных благ имеет вид: или . Функция полезности с нейтральным благом имеет вид и ее кривые безразличия параллельны оси 4. Виды кривых безразличия Кривые безразличия c нейтральным благом x1 X2 3.5 3 2.5 2 X2 = 1 1.5 X2 = 2 X2 = 3 1 0.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 X1 Виды кривых безразличия Функция полезности с нейтральным благом имеет вид и ее кривые безразличия параллельны оси 4. Виды кривых безразличия Кривые безразличия с нейтральным благом x2 X2 12 10 8 6 X1 = 1 X1 = 2 4 X1 = 3 2 0 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 X1 4. Свойства кривых безразличия 1. Кривая безразличия, лежащая выше и правее другой кривой, представляет собой более предпочтительные наборы благ, обеспечивающих потребителю больший уровень удовлетворения потребностей. 4. Свойства кривых безразличия 2. Кривые безразличия, принадлежащие одной карте предпочтений, никогда не пересекаются, так как каждая из них показывает различный уровень удовлетворения потребностей потребителя, отличный от других. 4. Свойства кривые безразличия 3.Кривые безразличия для обычных благ имеют отрицательный наклон, так как сокращение количества одного блага должно быть компенсировано или заменено увеличением количества другого блага, чтобы была сохранена общая полезность набора. 4. Свойства кривые безразличия Кривые безразличия для обычных благ имеют отрицательный наклон. Таким образом любая кривая безразличия является убывающей функцией, т.е. . 4. Свойства кривые безразличия Наклон кривой безразличия равен обратному соотношению предельных полезностей благ, взятых со знаком минус: , где - предельная полезность первого блага, - предельная полезность второго блага. 4. Свойства кривые безразличия 4. Стандартные кривые безразличия выгнуты в сторону начала координат (выпуклы) и при движении по кривой вправо, абсолютное значение ее наклона уменьшается , кривая становится все более пологой. 4. Предельная норма замещения благ Выражение вида называют предельной нормой замещения благ, которая показывает на сколько единиц надо увеличить (уменьшить) потребление второго блага при увеличении (уменьшении) первого блага на единицу при неизменной функции полезности. 4. Бюджетная линия Для того, чтобы иметь полное представление о модели поведения потребителя надо знать еще информацию о рыночных ценах и доходах потребителей. 4. Бюджетная линия Эта информация задается бюджетной линией или линией цен. Уровень бюджетной линии отражает ограничение в доходе, а её наклон – соотношение цен. Определение. Бюджетной линией называют такую комбинацию материальных благ, стоимость которых равна определенной сумме. Для функции полезности и при постоянных ценах на блага, бюджетная линия удовлетворяет следующим свойствам: 4. Свойства бюджетной линии 1. Это прямая линия , где - блага, - цены благ, -доход (бюджет) потребителя. 2. Бюджетная линия имеет отрицательный наклон, то есть является убывающей функцией. Действительно, бюджетную линию можно записать , тогда . 4. Свойства бюджетной линии Итак, наклон бюджетной линии равен обратному соотношению цен благ, взятому со знаком минус или отношение небольшого прироста благ равно обратному соотношению цен этих благ со знаком минус 4. Задача о максимальном выборе потребителя При заданных ценах и имеющемся доходе потребитель стремится максимизировать уровень удовлетворения своих потребностей, то есть максимизировать свою функцию полезности. Ограниченность возможного выбора потребителя выражается с помощью бюджетного ограничения (бюджетной линии) Итак, требуется найти при ограничении . 4. Задача о максимальном выборе потребителя Таким образом, задача о максимальном выборе потребителя сводится к обычной задаче отыскания условного экстремума функции полезности. Решение задачи на отыскание условного экстремума находят с помощью метода множителей Лагранжа. Построим функцию Лагранжа : -множитель Лагранжа. 4. Задача о максимальном выборе потребителя Для нахождения максимума функции Лагранжа найдем её частные производные первого порядка и приравняем их к нулю: 4. Задача о максимальном выборе потребителя или (1). Решив систему уравнений (1), получим оптимальный набор благ , максимум функции полезности потребителя. Оптимальный множитель Лагранжа называют предельной полезностью денег. 4. Задача о максимальном выборе потребителя Предельная полезность денег показывает на сколько увеличится уровень удовлетворения потребностей потребителя, то есть его функция полезности, при расходовании дополнительной единицы денег на приобретение благ. Предельная полезность денег или эффективность использования денежной единицы изменяется с изменением дохода потребителя. 4. Задача о максимальном выборе потребителя При увеличении дохода уменьшается, а при уменьшении дохода увеличивается, то есть каждая дополнительная единица денег приобретает большую ценность и используется более эффективно. 4. Задача о максимальном выборе потребителя Итак, из системы уравнений (1) следует, что для того чтобы получить максимум функции полезности должно выполняться условие: , - предельные полезности благ пропорциональны ценам этих благ или - отношение предельных полезностей благ равно отношению цен этих благ. 4. Геометрический смысл задачи о максимальном выборе потребителя Максимум функции полезности достигается в точке касания самой высокой кривой безразличия и бюджетной линии. Эта точка называется точкой равновесия и только в ней выполняется условие: . Замечание. В результате решения задачи о максимальном выборе потребителя находим оптимальную функцию спроса . 4. Пример задачи о максимальном выборе потребителя Пример. Найти максимум функции полезности вида , при бюджетном ограничении . Решение. Для того чтобы получить максимум функции полезности должно выполняться условие: , или Найдем , , тогда (2) . Подставим (2) в бюджетное ограничение 4. Пример задачи о максимальном выборе потребителя и . Получили оптимальную функцию спроса , которая максимизирует функцию полезности и имеет естественный вид: количество приобретаемых благ пропорционально доходу потребителя и обратно пропорционально цене благ. 5. Понятие модели поведения производителя Модель поведения производителя заключается в том, что производитель при заданных ценах на ресурсы (факторы производства) и имеющиеся финансовые средства для их приобретения, стремится максимизировать объем выпускаемой продукции. 5. Понятие модели поведения производителя Зависимость между объемом выпускаемой продукции и ресурсами (факторами производства) выражается производственной функцией ( ПФ ) вида: , где - ресурсы (факторы производства), -выпуск продукции. Будем рассматривать двухфакторную ПФ вида . 5. Понятие модели поведения производителя Среди многообразия ПФ, с учетом изучаемой зависимости и задач исследования, выделяют следующие виды производственных функций: - линейные ПФ; - степенные ПФ, где - статистически определяемые параметры. Параметр определяет размерность и зависит от выбранной единицы измерений затрат и выпуска. 5. Предельная производительность ресурсов Определение. Предельной производительностью i – го ресурса или предельным выпуском по i – му ресурсу , i=1,2, называют частную производную первого порядка ПФ , которая показывает эффективность использования дополнительной единицы i – го ресурса, при неизменных остальных ресурсах. 5. Эластичность выпуска продукции Эластичность выпуска по i – му ресурсу Показывает на сколько процентов изменится выпуск продукции при изменении i – го ресурса на один процент, при неизменных остальных ресурсах. 5. Ценовая эластичность ресурсов Ценовая эластичность характеризует процентное изменение спроса на i- й ресурс при изменении цены этого ресурса на один процент , где ресурса, i= 1,2. - цена i- го 5. Свойства ПФ 1. С ростом затрат одного из ресурсов ( при неизменных затратах другого ресурса) выпуск продукции растет. ПФ является возрастающей функцией, а значит предельные производительности ресурсов положительны: , . 2. Предельная производительность ресурса уменьшается, с ростом его затрат. 5. Свойства ПФ Это значит, что каждая дополнительная единица этого ресурса используется менее эффективно, что приводит к замедлению роста выпускаемой продукции. В этом случае , . Это свойство ПФ называют законом убывающей эффективности или законом убывающей предельной производительности. 5. Свойства ПФ 3. Предельная производительность ресурса увеличивается , если растут затраты другого ресурса. Это значит, что каждая дополнительная единица ресурса, количество которого фиксировано, приобретает большую ценность и используется более эффективно. В этом случае , . 5. Свойства ПФ 4. Отдача от расширения масштабов производства. Характеризует ПФ с точки зрения изменения выпуска при пропорциональном изменении затрат. а) ПФ характеризуется постоянной отдачей от расширения масштабов производства, если выпуск растет в той же пропорции, что и затраты. 5. Свойства ПФ б) ПФ характеризуется возрастающей отдачей от расширения масштабов производства, если выпуск растет в большей степени, чем затраты. в) ПФ характеризуется убывающей отдачей от расширения масштабов производства если выпуск растет в меньшей степени, чем затраты. 5. ПФ Кобба - Дугласа ПФ Кобба – Дугласа используется для моделирования зависимости “затраты -выпуск” и имеет вид: , где - затраты труда, - затраты капитала, коэффициент эластичности по труду, - коэффициент эластичности по капиталу. 5. ПФ Кобба - Дугласа ПФ Кобба – Дугласа имеет постоянную отдачу от расширения масштабов производства, то есть . Тогда ПФ Кобба –Дугласа можно записать в виде: . Например. ПФ , - коэффициент эластичности по труду, - коэффициент эластичности по капиталу. 5.Изокванты Линию уровня функции ПФ называют производственной кривой безразличия или изоквантой. Определение. Изокванта - это такая комбинация ресурсов (производственных факторов), которая обеспечивает один и тот же уровень выпуска продукции. Это означает, что одно и то же количество продукции может быть получено при разных сочетаниях ресурсов. 5. Свойства изокванты 1.Изокванта, лежащая выше и правее другой изокванты , соответствует наиболее предпочтительному набору ресурсов, обеспечивающих больший выпуск продукции. 2. Изокванты никогда не пересекаются, так как каждая из них показывает один и тот же объем выпускаемой продукции, отличный от других. 5. Свойства изокванты 3. Изокванты выгнуты в сторону начала координат и при движении вправо, абсолютное значение ее наклона уменьшается, изокванта становится все более пологой. 4. Изокванты имеют отрицательный наклон. Таким образом, любая изокванта является убывающей функцией, то есть . 5. Свойства изокванты Наклон изокванты равен обратному соотношению предельных производительностей ресурсов, взятых со знаком минус или где - предельная производительность первого ресурса, - предельная производительность второго ресурса. , 5. Предельная норма замещения ресурсов Выражение вида называют предельной нормой замещения ресурсов, которая равна обратному соотношению предельных производительностей ресурсов со знаком минус. 5. Предельная норма замещения ресурсов Предельная норма замещения ресурсов показывает на сколько единиц увеличится (уменьшится) количество второго ресурса при уменьшении (увеличении) первого ресурса на единицу и неизменном выпуске продукции. 5. Линия цен-издержек (изокоста) Для того, чтобы иметь полное представление о модели поведения производителя надо знать еще информацию о рыночных ценах на ресурсы и наличии финансовых средств для их приобретения. 5. Линия цен-издержек (изокоста) Эта информация задается линией цен-издержек или изокостой Уровень изокосты отражает ограничение в финансовых средствах для приобретения ресурсов, а её наклон – соотношение цен ресурсов. 5. Линия цен-издержек (изокоста) Определение. Изокостой называют такую комбинацию ресурсов, стоимость которых равна определенной сумме. Или изокостой называют такую комбинацию ресурсов, для которых издержки производства постоянны. 5. Линия цен-издержек (изокоста) Для двухфакторной ПФ при постоянных ценах на ресурсы, изокоста удовлетворяет следующим свойствам: 1. Она является прямой линией , где .. – финансовые средства (затраты) на приобретение ресурсов по ценам . 5. Линия цен-издержек (изокоста) 2. Изокоста – убывающая функция, имеющая отрицательный наклон, равный обратному соотношению цен ресурсов со знаком “-” Это означает, что для увеличения использования одного фактора производства необходимо сократить использование другого. 5. Задача о максимальном выборе производителя При заданных ценах на ресурсы (факторы производства) и наличии финансовых средств для их приобретения производитель стремится максимизировать объем выпускаемой продукции. Итак, требуется найти при ограничении . 5. Задача о максимальном выборе производителя Таким образом, задача о максимальном выборе производителя сводится к обычной задаче отыскания условного экстремума ПФ. Решение задачи на отыскание условного экстремума находят с помощью метода множителей Лагранжа. 5. Задача о максимальном выборе производителя В результате решения задачи получим выполнение условий, при которых достигается максимальный выпуск продукции: , предельные производительности ресурсов пропорциональны ценам этих ресурсов или . 5. Задача о максимальном выборе производителя Пример. Дана ПФ , где - затраты труда, - затраты капитала (основные фонды). Определить максимальный выпуск продукции, если на аренду фондов и оплату труда выделено д.е., ставка заработной платы составляет д.е. , стоимость аренды единицы фондов (услуг капитала) д.е. 5. Задача о максимальном выборе производителя Решение. Максимальный выпуск продукции достигается если: - это означает, что объем используемого капитала должен быть принят на том уровне, когда предельная производительность капитала равна норме банковского процента, дальнейшее увеличение капитала приведет к снижению его эффективности; 5. Задача о максимальном выборе производителя - количество занятых должно быть таким, когда предельная производительность труда равна ставке заработной платы. Дальнейшее увеличение занятых приведет к убыткам. найдем Для ПФ , тогда , . , 5. Задача о максимальном выборе производителя Подставим получим в , , тогда и - оптимальная комбинация ресурсов ( или оптимальная функция спроса на ресурсы), обеспечивающая максимальный выпуск продукции 5. Геометрический смысл задачи о максимальном выборе производителя Задача производителя состоит в том, чтобы выбрать такую комбинацию производственных факторов, которая обеспечила бы максимальный объем выпуска продукции с наименьшими издержками. 5. Геометрический смысл задачи о максимальном выборе производителя Поскольку наклон изокосты показывает соотношение цен факторов производства при данном уровне издержек (наличии финансовых средств для приобретения факторов производства), а наклон изокванты указывает на соотношение предельных продуктов факторов производства, минимальные издержки для данного объема производства достигаются при равенстве наклона изокосты и изокванты, то есть в точке их касания. 5. Геометрический смысл задачи о максимальном выборе производителя Итак, максимальный объем выпускаемой продукции достигается в точке касания самой высокой изокосты и изокванты. Эта точка называется точкой равновесия и только в ней выполняется условие: - отношение предельных производительностей ресурсов равно отношению цен этих ресурсов. 6. Максимизация прибыли производителя Максимизация прибыли и определение объема выпуска в условиях монопольного рынка. Производитель, располагая сведениями о рыночном спросе и своих издержках, принимает решение об объемах производства и продажах, обеспечивающих ему максимальную прибыль. Пусть Q –объем выпускаемой продукции P(Q) – цена выпускаемой продукции, соответствующая функции рыночного спроса C(Q) – издержки производства фирмы 6. Максимизация прибыли производителя - выручка от реализации продукции, тогда прибыль фирмы . Требуется определить объем производства Q , при котором прибыль будет максимальна. 1. Необходимое условие максимизации прибыли: или , откуда следует или - предельная выручка равна предельным издержкам. 6. Максимизация прибыли производителя 2. Достаточное условие максимизации прибыли: скорость изменения предельной выручки меньше скорости изменения предельных издержек, то есть темп роста выручки больше темпа роста издержек. 6. Максимизация прибыли производителя Общая выручка будет превышать общие издержки на величину, достаточную, чтобы монополист держался на рынке. Итак, для монополиста условие максимизации прибыли: 1) ; 2) . 6.Максимизация прибыли производителя Максимизация прибыли и определение объема выпуска в условиях конкурентного рынка. В условиях совершенной конкуренции устойчивые продажи возможны по преобладающей рыночной цене . Тогда суммарный доход равен , предельный доход . Необходимое условие максимизации прибыли , но для конкурентной фирмы , тогда 6.Максимизация прибыли производителя условие максимизации прибыли для конкурентной фирмы . Конкурентная фирма максимизирует прибыль при такой величине выпуска продукции, при которой предельные издержки равны рыночной цене продукции.
