Подготовка к ЕГЭ по математике: общая формула для решения задач № 19

Подготовка
к ЕГЭ по математике:
общая формула
для решения задач № 19
Зубков Владимир Алексеевич,
учитель математики высшей
квалификационной категории
МАОУ «Лицей»
31 декабря 2014 года Некто взял в банке S
рублей в кредит под а % годовых. Схема
выплаты
кредита
следующая
-31
декабря
каждого следующего года банк
начисляет проценты на оставшуюся сумму
долга (то есть увеличивает долг на а%), затем
Некто переводит в банк Х рублей.
А) Какой должна быть сумма Х, чтобы Некто выплатил
долг за K лет? (S – известна, a%- известна, K- известна)
Б) На какое минимальное количество лет может Некто
взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более Х рублей?
(S – известна, a%- известна, Х – известна, K- неизвестна)
В) Какую сумму Некто взял в банке, если он
выплатил долг K равными платежами? (S – неизвестна)
Г) Под какой процент банк взял кредит Некто?( a%- неизвестна)
Решение
Пусть сумма кредита S, а годовые составляют a%-,
тогда 31 декабря каждого года сумма долга умножается
на коэффициент в = 1 + 0,01а
После 1-й выплаты сумма долга составит
S1  S b  x
После 2-й выплаты сумма долга составит
S 2  S1b  x  ( Sb  x)b  x  Sb 2  xb  x  Sb 2  (1  b) x
После 3-й выплаты сумма долга составит
S3  S 2b  x  ( Sb 2  (1  b) x)b  x 
Sb  (1  b) xb  x  Sb  (b  b  1) x
3
3
2
S 4  S3b  x  ( Sb  (b  b  1) x)b  x 
3
Sb  (b  b  b  1) x
4
3
2
2
Продолжая эти выкладки далее, имеем:
Sк  S b  (b
к
к 1
b
к 2
 ...  b  1) x 
к
b
1
к
 Sb 
x
b 1
Но на к- м этапе
Sк  0 
к
b
1
к
Sb 
x 0
b 1
к
b
1
к
Sb 
x
b 1
к
b
1
к
Имеем формулу Sb 
x
b 1
(1)
Формула, связывающая все параметры задачи
• Приведём примеры.
• Решим некоторые задачи из сборника для
подготовки к ЕГЭ, 2015г.
• Задача 1.
• 31 декабря 2014 года Дмитрий взял в банке
4 290 000 рублей в кредит под 14,5 % годовых.
Схема выплаты кредита следующая - 31
декабря каждого следующего года банк
начисляет проценты на оставшуюся сумму
долга (то есть увеличивает долг на 14,5%),
затем Дмитрий переводит в банк Х рублей.
Какой должна быть сумма Х, чтобы Дмитрий
выплатил долг двумя равными платежами (т.
е. за 2 года)?
• Задача 2.
• Степан хочет взять в кредит 1,2 млн. рублей.
Погашение кредита происходит раз в год
равными суммами (кроме, может быть
последней) после начисления процентов.
Ставка процента 10% годовых. На какое
минимальное количество лет может Степан
взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были
не более 290 тыс. рублей?
• Задача 3.
• 31 декабря 2014 года Андрей взял в банке
некоторую сумму в кредит под 12,5 % годовых.
Схема выплаты кредита следующая - 31
декабря каждого следующего года банк
начисляет проценты на оставшуюся сумму
долга (то есть увеличивает долг на 12,5%),
затем Андрей переводит в банк 2 733 750
рублей. Какую сумму взял Андрей в банке,
если он выплатил долг тремя равными
платежами (т. е. за 3 года)?
• Задача 4.
• 31 декабря 2014 года Виктор взял в банке 1
млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита
следующая: 31 декабря каждого следующего
года банк начисляет проценты на оставшуюся
сумму долга (то есть увеличивает долг на
определенное количество процентов), затем
Виктор переводит очередной транш. Виктор
выплатил кредит за два транша, переводя
каждый раз по 600 тыс. рублей. Под какой
процент банк выдал кредит Виктору?