ГМО 05.11.14. Бауэр Н.А., лицей № 23

ГМО 05.11.14.
Бауэр Н.А., лицей № 23
Часть 1
О решении задач типа № 19 ЕГЭ
№ 19.
31 декабря 2013 г. Сергей взял в банке 9 930 000 р.
в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита
следующая: 31 декабря каждого следующего года
банк начисляет проценты на оставшуюся сумму
долга (т.е. увеличивает долг на 10%), затем Сергей
переводит в банк определённую сумму ежегодного
платежа. Какой должна быть сумма ежегодного
платежа, чтобы Сергей выплатил долг тремя
равными ежегодными платежами?
Решение:
х – ежегодный платёж, а = 9930000 - кредит
после первого платежа: 1,1а - х
после второго платежа:
1,1  (1,1а – х) – х = 1,121  а – 2,1х
после третьего платежа:
1,1  (1,121  а – 2,1х) – х = 1,331а – 3,31х = 0
1,331а – 3,31х = 0
1,331  9930000 1331  993000
х


3,31
331
 1331  3000  3993000
Ответ: 3993000
Задача для самостоятельного решения
31 декабря 2014 г. Степан взял в банке 4004000 р.
в кредит под 20% годовых. Схема выплаты
кредита следующая: 31 декабря каждого
следующего года банк начисляет проценты на
оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг
на 20%), затем Степан переводит в банк платеж.
Весь долг Степан выплатил за 3 равных платежа.
На сколько рублей меньше он бы отдал банку,
если бы смог выплатить долг за 2 равных
платежа?
Ответ: 460800
Задача для самостоятельного решения:
31 декабря 2014 г Сергей взял в банке
некоторую сумму в кредит под 12% годовых.
Схема выплаты кредита следующая: 31
декабря каждого следующего года банк
начисляет проценты на оставшуюся сумму
долга (т.е. увеличивает долг на 12%), затем
Сергей переводит в банк 3512320 р. Какую
сумму Сергей взял в банке, если он выплатил
долг тремя равными платежами (т.е. за три
года)?
Ответ: 8436000
Похожая задача, но в чём отличие?
31 декабря 2014 г. Борис взял в банке 1 млн р. в
кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31
декабря каждого следующего года банк начисляет
проценты на оставшуюся сумму долга (т.е.
увеличивает долг на определённое количество %),
затем Борис переводит очередной транш. Борис
выплатил кредит в два транша, переведя в первый
раз 560 тыс. р, во второй – 644,1 тыс. р. Под какой
процент банк выдал кредит Борису?
Решение:
а – кредит в тыс. р., х – увеличение долга
после первого транша:
ах  560
после второго транша:
х  (ах  560)  644,1
х  (ах  560)  644,1  0
1000 х 2  560 х  644,1  0
D
2
2
 280  1000  644,1  100  28  100  6441 
4
 100  (784  6441)  100  7225  850 2
280  850
х
 1,13
1000
Ответ: 13
Задача для самостоятельного решения:
31 декабря 2014 г. Арсений взял в банке 1 млн
рублей в кредит. Схема выплаты кредита
следующая: 31 декабря каждого следующего
года банк начисляет проценты на оставшуюся
сумму долга (т.е. увеличивает долг на
определённое количество %), затем Арсений
переводит очередной транш. Арсений
выплатил кредит в два транша, переведя в
первый раз 550 тыс. р, во второй – 638,4 тыс. р.
Под какой процент банк выдал кредит
Арсению?
Ответ: 12
Ларин, в 81, № 19
За время хранения вклада в банке проценты по
нему начислялись ежемесячно сначала в размере
1
5%, затем 12%, потом 11 % и, наконец, 12,5% в
9
месяц. Известно, что под действием каждой новой
процентной ставки вклад находился целое число
месяцев, а по истечении срока хранения
1
первоначальная сумма вклада увеличилась на 104 %
6
Определите срок хранения вклада.
Решение:
1 21 7  3
1)105%  1,05  1 
 2
20 20 2  5
3 28 7  2
2)112%  1,12  1 
 2
25 25
5
1
1000 10 2  5
3)111 % 

 2
9
900
9
3
2
1125 45 9 3
4)112,5% 

  3
1000 40 8 2
1
1225 49
72
5) 204 % 

 3
6
600 24 2  3
2
Пусть х, у, n, p – число месяцев в течение
которых длилась % ставка, а – первоначальный
вклад, тогда:
х
 7 3   7  2
a   2    2
 2 5   5
7
х у
5
 х2 у  п
1
2
3
 7 5 3  2
2
0



у
р
2


7
 25  3
  2    3   а  3
2 3
 3  2 
х2п 2 р
3
п
2
2
2 х  2 у  п 3 р

имеем систему:
х  у  2

 х  2 у  п  0

 х  2п  2 р  1

 2 х  2 у  п  3 р  3
из первого уравнения х = у = 1
не может быть, что х =2, у = 0 или наоборот,
т.к. из третьего р не будет целым.
и так:  х  у  1

п  3

 р  2
тогда: 1+ 1 + 2 + 3 = 7
Ответ: 7
Ларин, в 82, № 19.
В начале года 56 некоторой суммы денег
вложили в банк А, а то, что осталось – в банк
Б. Если вклад находится в банке с начала года,
то к концу года он возрастает на определённый
процент, величина которого зависит от банка.
Известно, что к концу первого года сумма
вкладов стала равна 670 у.е., к концу
следующего года – 749 у.е. Если первоначально
5 суммы было бы вложено в банк Б, а
6
оставшуюся сумму вложили бы в банк А, то по
истечении одного года сумма выросла бы до
710 у.е. Определите сумму вкладов по
истечение второго года в этом случае.
Решение:
Пусть всего денег первоначально 6х
(чтобы избежать дробей), у –
коэффициент увеличения вклада в
банке А, z – коэффициент увеличения
вклада в банке Б.
1-ый год
2-ой год
1-ый год
2-ой год
А
Б
5х  у
5x  y2
ху
x  y2
хz
х  z2
5х  z
5х  z2
= 670
= 749
= 710
?
5 ху  хz  670

 2
2
5 xy  xz  749

 xy  5 xz  710
1)  3) : 6 ху  6 хz  1380
xy  xz  230
 xy  xz  230

5 xy  xz  670

5 xy 2  xz 2  749
 xy  110

 xz  120

550 y  120 z  749
 у 11
 у  11а, z  12a
 z  12


x  10a



 xz  120
550 11a  120 12a  749

550 y  120 z  749

х  1

а  0,1   у  1,1  xy 2  5 xz 2  841

 z  1,2
Ответ: 841