способов решения уравнений

Федеральное государственное казённое общеобразовательное учреждение
«Тверское суворовское военное училище
Министерства обороны Российской Федерации»
Научно-исследовательская работа
«О способах решения уравнений, основанных
на идее равносильности преобразований»
Автор: Волков Сергей Алексеевич, обучающийся 10
класса
Научный руководитель:
Жукова Людмила Павловна, преподаватель
математики
Объект исследования
Алгебраические и тригонометрические уравнения.
Предмет исследования
Способы решения уравнений, основанные на идее равносильности
преобразований.
Гипотеза
Способы решения уравнений, основанные на идее равносильности
преобразований, позволяют исключать потерю корней,
предупреждать появление посторонних корней, т.е. находить
верные решения уравнений.
Цель
Разработка рекомендаций для суворовцев 10-11 классов физикоматематического профиля по решению уравнений на основании
идеи равносильности преобразований.
Задачи
- провести исследование актуальности рассматриваемых в работе вопросов,
связанных с решением уравнений, для суворовцев 6 и 7 курсов физикоматематического профиля;
- изучить различные подходы к решению уравнений на основании идеи
равносильности;
- выяснить принципиальные вопросы:
1) как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным
преобразованием?
2) какие преобразования могут привести данное уравнение к уравнению –
следствию?
3) если мы в конечном итоге решили уравнение - следствие, то как сделать
проверку в случае, когда непосредственная подстановка найденных корней в
исходное уравнение сопряжена со значительными вычислительными трудностями?
4) в каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти
потеря корней и как этого не допустить?
- описать основные способы решения некоторых видов уравнений, сделать
анализ их достоинств и недостатков;
- рассмотреть вопрос о необходимости нахождения ОДЗ;
- подготовить рекомендации по решению уравнений.
Первый этап исследования
Исследование актуальности предлагаемых к рассмотрению вопросов.
Анкета
Вопрос 1. Знаете ли Вы, какие уравнения называются равносильными(да, нет)?
Вопрос 2. Знаете ли Вы, что такое уравнение-следствие (да, нет)?
Вопрос 3. Считаете ли Вы, что решение уравнения всегда нужно начинать с нахождения ОДЗ
(да, нет)?
Вопрос 4. Знаете ли Вы, когда в уравнении нужно делать проверку (да, нет)?
Вопрос 5. Знаете ли Вы, в результате каких преобразований могут появляться посторонние
корни (да, нет)?
Вопрос 6. Как Вы думаете, может ли найденное в результате решения уравнения значение
переменной входить в ОДЗ, но не являться корнем уравнения (да, нет)?
Вопрос 7. Хотели бы Вы знать ответы на приведенные выше вопросы (да, нет)?
Результаты анкетирования
да
77
нет
85
77
62
49
51
51
59
49
38
23
Вопрос №1
Вопрос №2
41
23
Вопрос №3
Вопрос №4
15
Вопрос №5
Вопрос №6
Замечание: данные приведены в процентах от числа испытуемых.
Вопрос №7
Второй этап исследования
Изучение теории равносильности уравнений:
-
определение равносильных уравнений;
определение уравнения - следствия;
определение ОДЗ;
теоремы о равносильности.
По утверждению А.Г. Мордковича, решение уравнения
осуществляется в три этапа:
Первый этап - технический. На этом этапе осуществляется
цепочка переходов от данного уравнения до последнего (самого
простого).
Второй этап – анализ решения. На этом этапе отвечают на
вопрос, все ли преобразования равносильные.
Третий этап – проверка. Если анализ показал, что некоторые
преобразования
приводят
к
уравнению-следствию,
то
обязательна проверка всех найденных корней.
Третий этап исследования
- исследование преобразований,
переводящих
уравнение в уравнениеследствие;
- исследование вопроса о
расширении области
определения уравнения;
- исследование вопроса о
потере корней уравнения.
Причины перехода от уравнения к уравнениюследствию:
- умножение обеих частей уравнения на одно и то же
выражение (имеющее смысл в области определения уравнения);
𝑥 − 1 = 3, корень 4,
𝑥 − 1 𝑥 − 2 = 3(𝑥 − 2) , корни 2 и 4,
2 – посторонний;
- расширение области определения
а) освобождение от знаменателя
𝑥 2 −16
𝑥−4
= 8, 𝑥 ≠ 4;
𝑥 + 4 = 8, 𝑥 –любое действительное число.
б) освобождение от знаков логарифма;
в) использование формулы ( 𝑛 (𝑓(𝑥))𝑛 для чётного n.
( 𝑓 𝑥 )2 , 𝑓 𝑥 ≥ 0,
если же заменить( 𝑓(𝑥))2 на 𝑓(𝑥) область определения
расширяется.
Причины потери корней:
а) деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение
ℎ 𝑥 , в случае, когда оно может принимать значение, равное 0;
𝑓 𝑥 ∙ℎ 𝑥 =𝑔 𝑥 ∙ℎ 𝑥
ℎ 𝑥 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 = 0 ( а не 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 ).
б) сужение ОДЗ в процессе решения уравнения
𝑠𝑖𝑛𝑥 − 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1,
𝑥- любое действит. число
Замена: 𝑠𝑖𝑛𝑥 =
О т в е т:
𝜋
2
𝑥
2
𝑥
1+𝑡𝑔2 2
2𝑡𝑔2
; 𝑐𝑜𝑠𝑥 =
+2𝜋𝑛, n∈ 𝒁,
𝑥
2
𝑥
1+𝑡𝑔2 2
1−𝑡𝑔2
, 𝑥 ≠ 𝜋 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝒁,
𝜋 + 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝒁 .
Существуют и другие случаи потери корней.
Четвертый этап исследования
Исследование вопроса: можно ли на основе
положения о равносильности уравнений создать
полное представление о методах их решения?
Рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Решить уравнение
𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 𝑥 2 − 3𝑥 + 2.
Задача решения этого уравнения сводится к решению
неравенства 𝑥 2 − 3𝑥 + 2 ≥ 0.
Пример 2. Решить уравнение
𝑥 2 − 2𝑥 − 3 + 9 − 𝑥 2 =0
Решение уравнения сводится к решению равносильной системы
уравнений
𝑥 2 − 2𝑥 − 3 = 0;
9 − 𝑥 2 = 0.
Пример 3. Решить уравнение
𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 − 3𝑐𝑜𝑠𝑥 + 2 = 0
исходное уравнение равносильно совокупности уравнений
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2,
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1.
ВЫВОД:
идея равносильности является основной при
решении таких задач. Однако, как мы видели, она не
сводится только к равносильности уравнений. Эта идея
равносильных переходов (преобразований) должна
включать в себя понятие равносильности уравнений,
неравенств, их систем и совокупностей, уравнений и
неравенств с несколькими переменными. Очевидно,
что, чтобы правильно решать уравнения, нужно
владеть этими понятиями.
Вопросы равносильности уравнений и неравенств,
равносильности уравнений и систем уравнений и
неравенств рассматриваются в работах
С.М. Никольского, М.К. Потапова,
Н.Н. Решетникова.
Пятый этап
Исследование способов решения
уравнений на основании равносильности
преобразований
Изучение понятий:
- равносильность уравнений
на множестве;
- о равносильности уравнения и
неравенства;
- о равносильности уравнения и
системы уравнений.
Рассмотрим уравнения нескольких видов:
а) 𝒇 𝒙 = 𝒈 𝒙 , возведем уравнение в
квадрат, 𝑓(х) = g2(𝑥);
б) 𝒇 𝒙 + 𝝋 𝒙 = 𝒈 𝒙 + 𝝋 𝒙 , приведем
подобные члены, т.е. заменим разность
𝜑(𝑥) − 𝜑(𝑥) нулем;
𝒇(𝒙)
𝝋(𝒙)
𝒈(𝒙)
𝒉(𝒙)
в)
=
- освободимся от знаменателя,
т.е. заменим его уравнением 𝑓 𝑥 ∙ ℎ 𝑥 = 𝑔 𝑥 ∙
𝜑 𝑥 ;
г) 𝒇(𝒙) ∙ 𝒈 𝒙 = 𝒉(𝒙) – примененим
формулу 𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎 ∙ 𝑏, т.е. заменим его
уравнением 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) = ℎ 𝑥 .
Переход к уравнению-следствию
Пример:
𝑥 − 2 ∙ 𝑥 − 5 = 2,
применим формулу
𝑎 ∙ 𝑏 = 𝑎𝑏,
𝑥 − 2 (𝑥 − 5) = 2 – уравнение –следствие,
𝑥1 = 6 и 𝑥2 = 1.
Проверка показывает, что число 𝑥1 является
корнем данного уравнения, а число 𝑥2 – нет, так как
𝑥2 − 2 = −1 < 0,
О т в е т: 6.
Переход к уравнению, равносильному
на некотором множестве исходному уравнению
Пример:
уравнение 6 𝑥 + 1 = 3𝑥 + 1,
на М =
1
− ;
3
+∞)
равносильно 36 𝑥 + 1 = (3𝑥 + 1)2 ,
5+2 15
3
𝑥1 =
посторонний корень.
и 𝑥2 =
5−2 15
3
При этом множество М может
а) совпадать с ОДЗ уравнения,
б) содержаться в ОДЗ уравнения,
в) содержать в себе ОДЗ уравнения.
Переход к системе,
равносильной исходному уравнению
Пример:
1 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥.
уравнение равносильно системе
1 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 = 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥,
1 − 𝑠𝑖𝑛𝑥 ≥ 0,
𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ 0,
она равносильна системе
𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑥 − 1 = 0,
𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ 0,
𝑠𝑖𝑛𝑥 = 0
𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ 0
𝑠𝑖𝑛𝑥 = 1
𝑐𝑜𝑠𝑥 ≥ 0
𝜋
Решения первой системы x= 2𝜋𝑘, 𝑘 ∈ 𝒁, а второй 𝑥 = + 2𝜋𝑛,
2
𝑁 ∈ 𝒁.
Шестой этап
-подготовка
рекомендаций по
решению уравнений на
основании
равносильности
преобразований;
-рассмотрение вопроса
об ОДЗ.
Рекомендации
Первый способ (переход к уравнению-следствию)
применяется в тех случаях, когда корни легко
проверяемые непосредственной подстановкой в
исходное уравнение.
Второй способ (переход к уравнению, равносильному
на некотором множестве исходному уравнению)
чаще применяется в тех случаях, когда легко найти
множество М, на котором делается соответствующее
преобразование, когда корни «плохие», но легко
проверяются на принадлежность множеству М.
Третий способ (переход к системе, равносильной
исходному уравнению) чаще применяется в тех случаях,
когда или проверка корней, или нахождение множества
М достаточно затруднительно.
К вопросу об ОДЗ:
- описанные в исследовании способы не требуют
нахождения ОДЗ.
- указание ОДЗ никак не «страхует» от потери корней или
приобретения посторонних корней.
Например, в уравнении
𝑥 + 2 = 𝑥 корень x = -1,
является посторонним, но в ОДЗ (𝑥 ≥ −2) он входит.
Вывод : применение ОДЗ – лишь один
из многих методов отсеивания
посторонних корней.
Заключение:
Проведенные исследования показывают, что
способы решения уравнений, основанные на
идее равносильных преобразований, позволяют
исключать потерю корней, предупреждать
появление посторонних корней, т.е. находить
верные решения уравнений.
В то же время для каждого уравнения можно
найти свой, оптимальный, метод решения.
Отдавая предпочтение методу равносильности
преобразований, стоит подчеркнуть, что к
наибольшему успеху приводит овладение
различными методами решения уравнений при
условии глубокого понимания их достоинств и
недостатков.