metodSU

Методы решения систем уравнений.
9 класс
Экибашева А.Ю.
МОУ «Турочакская СОШ»
Цель:
-формирование понятия системы
уравнений с двумя переменными
-развитие навыков применять
различные методы для решения
систем уравнений с двумя
переменными
Алгоритм решения системы двух
уравнений с двумя
переменными x,y методом подстановки:
1. Выразить одну переменную через другую из одного
уравнения системы (более простого).
2. Подставить полученное выражение вместо этой
переменной в другое уравнение системы.
3. Решить полученное уравнение и найти одну из
переменных.
4. Подставить поочередно каждый из найденных на
третьем шаге корней уравнения в уравнение,
полученное на первом шаге и найти вторую переменную.
5. Записать ответ в виде пар значений, например, (x;y),
которые были найдены соответственно
на третьем и четвёртом шаге.
Пример:
Решить систему уравнений xy=6 и x−y=5
Решение.
1. Выразим x через y из второго (более простого)
уравнения системы x=5+y.
2. Подставим полученное выражение вместо x в
первое уравнение системы (5+y)⋅y=6
3. Решим полученное уравнение:
(5+y)y=6
5y+y2−6=0
y2+5y−6=0
y1=−6,y2=1
4. Подставим поочерёдно каждое из найденных
значений y в уравнение x=5+y, тогда получим:
если y1=−6, то x1=5+(−6)=5−6=−1,
если y2=1, то x2=5+1=6.
5. Пары чисел (−1;−6) и (6;1) — решения системы.
Ответ: (−1;−6) и (6;1)
Алгоритм решения системы двух
уравнений с двумя
переменными x,y методом сложения:
1. Уравнять модули коэффициентов при
одном из неизвестных.
2. Сложить или вычесть уравнения.
3. Решить полученное уравнение с одной
переменной.
4. Подставить поочерёдно каждый из
найденных на третьем шаге корней
уравнения в одно из уравнений исходной
системы, найти второе неизвестное.
5. Записать ответ в виде пар значений,
например, (x;y), которые были найдены.
Пример:
Решить систему уравнений x2−y2=21 и x2+y2=29
Решение.
Сложим уравнения.
x2−y2=21 и x2+y2=29
2x2=50
Решим полученное уравнение с одной
переменной.
2⋅x2=50
x2=25
x=±5
Подставим поочередно каждый из найденных
корней уравнения
в одно из уравнений исходной системы,
например во второе, и найдём
второе неизвестное.
x2+y2=29
если x=−5, то
если x=5, то
(−5)2+y2=29
52+y2=29
25+y2=29
25+y2=29
y2=4
y2=4
y1=−2,y2=2
y3=−2,y4=2
Пары чисел (−5;−2), (−5;2), (5;−2) и (5;2) —
решения системы.
Ответ: (−5;−2), (−5;2), (5;−2) и (5;2)
При решении систем двух уравнений с
двумя переменными метод введения
новых переменных можно
применять двумя способами:
1. вводится одна новая переменная и
используется только в одном уравнении
системы;
2. вводятся две новые переменные и
используются одновременно в обоих
уравнениях системы.
Пример:
Решить систему уравнений xy(x+y)=6 и
xy+(x+y)=5
Решение.
Введём новые переменные xy=u, x+y=v.
Тогда систему можно переписать в более
простом виде:
uv=6 и u+v=5
Решением системы являются две пары
чисел:
u1=2 и v1=3
u2=3 и v2=2
Вернёмся к переменным x и y и решим
системы методом подстановки, тогда:
xy=2 и x+y=3
xy=2 и x=3−y
(3−y)y=2 −y2+3y−2=0|⋅(−1)
y2−3y+2=0
y1=2
или
y2=1
x=3−y
x1=3−2=1
x2=3−1=2
xy=3 и x+y=2
xy=3 и x=2−y
(2−y)y=3
−y2+2y−3=0
D<0
нет решений
Ответ: (1 ;2) и (2;1)
Алгоритм решения системы двух
уравнений с двумя неизвестными
графическим методом:

1. строим график первого уравнения;

2. строим график второго уравнения;

3. находим точки пересечения
графиков (координаты каждой точки
пересечения служат решением
системы уравнений).
Пример:
Решить систему уравнений x2+y2=9 и
y−x=−3
Решение.
1. Построим график уравнения x2+y2=9.
Графиком уравнения
является окружность с центром в
начале координат и радиусом 3.
2. Построим график
уравнения y=x−3 (выразили y).
Это прямая, для построения которой
найдём две точки (0;−3) и (3;0).
3. Окружность и прямая
пересекаются в точках
A и B. Точка A имеет
координаты (3;0), а
точка B —
координаты (0;−3).
Пары чисел (3;0) и (0;−3)
являются решениями обоих
уравнений системы, а
значит, и решениями
системы уравнений.
Ответ: (3;0) и (0;−3).
Работа по задачнику:
Стр. 38
№5.18 (в,г)
Стр. 41
№6.1 и №6.3 (в,г)
№6.6 и №6.8(в,г)
№6.9(в,г)
Итог урока:
Какие методы узнали?
В чем суть методов:
 графического
 сложения
 подстановки
 замены переменной?
Домашнее задание:
Стр. 38
№5.18 (а)
Стр. 41
№6.1 и №6.3 (а)
№6.6 и №6.8(а)
№6.9(а)