Равносильные уравнения

Равносильные уравнения
• Ключевые слова: уравнение,
равносильность, эквивалентность,
равносильные преобразования
• Уравнения, имеющие одни и те же корни
(в случае кратных корней нужно, чтобы кратности
соответствующих корней совпадали),
называют равносильными.
• Равносильными считаются и уравнения, каждое
из которых не имеет корней.
Процесс решения уравнения состоит в том, что над
ним производят преобразования, приводящие к
уравнению, решение которого известно.
При этом если производимые преобразования::
а) приводят каждый раз к уравнению, равносильному
предыдущему, то множества корней последнего и
исходного уравнений совпадают;
б) расширяют область определения уравнения, то
возможно появление посторонних корней.
Выполнят ь
над
уравнением
преобразования,
сужающие его област ь определения, нельзя, ибо
при эт ом могут быт ь пот еряны его корня.
Расширение ОДЗ ( появление посторонних
корней ):
•Освобождение от знаменателей, содержащих
переменную;
•Освобождение от корня четной степени;
•Отбрасывание знака логарифма.
Сужение ОДЗ ( пот еря корней) :
•Деление на выражение с переменной;
•Приписывание знаков логарифма и корня четной
степени;
•Неверное извлечение корня четной степени из
четной степени
2n
x
2m
Например,
• Уравнения x + 2 = 5 и x + 5 = 8 равносильны,
так как каждое из них имеет единственный
корень - число 3.
• Равносильны и уравнения x2 +1 = 0 и
2x2 + 5 = 0 - ни одно их них не имеет корней.
• Уравнения x - 5 = 1 и x2 = 36 неравносильны,
так как первое имеет только один корень 6,
тогда как второе имеет два корня: 6 и -6.
Равносильные преобразования.
• Если к обеим частям уравнения прибавить
один и тот же многочлен от х, то получим
уравнение, равносильное данному.
• Если обе части уравнения умножить или
разделить на одно и то же отличное от нуля
число, то получится уравнение, равносильное
данному.
• Если в уравнении какое-нибудь слагаемое
перенести из одной части в другую, изменив
его знак, то получится уравнение,
равносильное данному.
Теоремы равносильности
уравнений
• Если какой-нибудь
член уравнения
перенести из одной
части уравнения в
другую, с
противоположным
знаком, то
получится уравнение
равносильное
данному.
• f(x)=g(x)
• f ( x ) - g ( x )= 0
• Если обе части
уравнений возвести в
одну и ту же
нечетную степень, то
получится уравнение
равносильное
данному.
• f(x)=g(x)
• f 2n+1 ( x ) = g2n+1 ( x )
Теоремы равносильности
уравнений
Если обе части уравнения f ( x ) = g ( x )
умножить на одно и то же
выражение h ( x ), которое:
а) имеет смысл всюду в област и
допуст имых значений уравнения
f ( x ) = g ( x );
б) нигде в эт ой област и не обращает ся в 0,
то получит ся уравнение
f ( x )h ( x )= g ( x)h (x ),
равносильное данному.
Теоремы равносильности
уравнений
• Если обе части уравнения
f ( x ) = g ( x ) неотрицательны в ОДЗ
уравнения, то после возведения его
обеих частей в одну и туже четную
степень получится уравнение
равносильное данному.
• f 2n(x) = g 2n(x).