Из истории квадратных уравнений

Из истории квадратных
уравнений
Автор: обучающаяся 9 «А» класса Радченко Светлана
Руководитель: Алабугина И.А. учитель математики
МБОУ “CОШ №5 г.Гурьевска”
Кемеровской области
Предметная область презентации: математика
Выполнена в помощь учителю
Всего 20 слайдов
Содержание
Введение…………………………………………………………………………3
Из истории возникновения квадратных уравнений
Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне………………………………….4
 Квадратные уравнения в Индии………………………………………………...5
 Квадратные уравнения у Аль-Хорезми…………………………………………6
 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения…………………….....7
 Квадратные уравнения в Европе Xll – XVll вв.………………………………...8
3. Квадратные уравнения в наши дни…………………………………………….10
 Методика изучения квадратных уравнений……………………………………11
 10 способов решения квадратных уравнений………………………………….12
 Алгоритм решения неполных квадратных уравнений…………………………13
 Алгоритм решения полного квадратного уравнения…………………………..14
 Решение приведенных квадратных уравнений…………………………………15
4.Практические применения квадратных уравнений для решения прикладных
задач…………………………………………………………………………………….16
5.Заключение. …………………………………………………………………………18
1.
2.
6.Список используемой литературы…………………………………………….19
2
Введение
Считать несчастным тот день или тот час,
в который ты не усвоил ничего нового,
ничего не прибавил к своему образованию.
Ян Амос Коменский
3
Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится
величественное здание алгебры. Они широко применяются
при решении тригонометрических, показательных,
логарифмических, иррациональных и трансцендентных
уравнений и неравенств. Квадратные уравнения в школьном
курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение
отводится много времени школьного курса математики. В
основном квадратные уравнения служат конкретным
практическим целям. Большинство задач о пространственных
формах и количественных отношениях реального мира
сводится к решению различных видов уравнений, в том числе
квадратных. Овладевая способами их решения, люди находят
ответы на различные вопросы из науки и техники.
Из истории возникновения квадратных
уравнений
Древний Вавилон: уже примерно за 2000 лет
до нашей эры Вавилоняне знали, как решать
квадратные уравнения. Были известны
способы решения как полных, так и
неполных квадратных уравнений. Например,
в Древнем Вавилоне, решали такие
квадратные уравнения:
4
Индия
Задачи, решаемые с помощью квадратных
уравнений, встречаются в трактате по астрономии
"Ариабхаттиам", написанным индийским
астрономом и математиком Ариабхатой в 499 году
нашей эры. Другим индийским учёным,
Брахмагуптой, было изложено универсальное
правило решения квадратного уравнения,
приведённого к каноническому виду:ax2+bx=c;
притом предполагалось, что в нём все
коэффициенты, кроме «a» могут быть
отрицательными. Сформулированное учёным
правило по своему существу совпадает с
современным.
5
Квадратные уравнения у Аль-Хорезми:
В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация
линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов
уравнений, выражая их следующим образом:
«Квадраты равны корням», т.е. ах2 = bх.;
«Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с;
«Корни равны числу», т. е. ах = с ;
«Квадраты и числа равны корням», т.е. ах2 + с = bх;
«Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с;
«Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с = ах2.
6
Как составлял и решал Диофант квадратные
уравнения:
Одним из самых своеобразных древнегреческих математиков был Диофант
Александрийский.
До сих пор не выяснены ни год рождения, ни дата
смерти Диофанта; полагают, что он жил в III в. н.э.
Из работ Диофанта самой важной является “Арифметика”,
из 13 книг которой только 6 сохранились до наших дней.
В “Арифметике” Диофанта нет систематического
изложения алгебры, однако в ней содержится ряд задач,
сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи
составления уравнений разных степеней. При составлении уравнений
Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.
7
Квадратные уравнения в Европе
XII-XVII в.:
Итальянский математик Леонард Фибоначчи разработал
самостоятельно некоторые новые алгебраические
примеры решения задач и первый в Европе подошел
к введению отрицательных чисел.
Общее правило решения квадратных уравнений,
приведенных к единому каноническому виду
x2 + bх = с при всевозможных комбинациях
знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано
в Европе в 1544 г. Михаэлем Штифелем.
8
Франсуа Виет
Французский математик Ф. Виет (1540-1603),
ввел систему алгебраических символов,
разработал основы элементарной алгебры.
Он был одним из первых, кто числа стал
обозначать буквами, что существенно
развило теорию уравнений.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде
имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные
корни.
9
Квадратные уравнения в наши дни
Умение решать квадратные уравнения служит базой для решения
других уравнений и их систем. Обучение решению уравнений
начинается с простейших их видов, и программа обуславливает
постепенное накопление как их видов, так и «фонда» тождественных
и равносильных преобразований, с помощью которых можно привести
произвольное уравнение к простейшим. В этом направлении следует
строить и процесс формирования обобщенных приемов решения
уравнений в школьном курсе алгебры. В курсе математики старших
классов учащиеся сталкиваются с новыми классами уравнений,
систем или с углубленным изучением уже известных уравнений
10
Методика изучения квадратных
уравнений
С началом изучения систематического курса алгебры основное
внимание уделяется способам решения квадратных уравнений,
которые становятся специальным объектом изучения. Для этой темы
характерна большая глубина изложения и богатство устанавливаемых
с ее помощью связей в обучении, логическая обоснованность
изложения. Поэтому она занимает исключительное положение в
линии уравнений и неравенств.
Важным моментом в изучении квадратных уравнений является
рассмотрение теоремы Виета, которая утверждает наличие
зависимости между корнями и коэффициентами приведенного
квадратного уравнения. Сложность освоения теоремы Виета связана с
несколькими обстоятельствами. Прежде всего, требуется учитывать
различие прямой и обратной теоремы.
11
10 способов решения квадратных уравнений:
•
Разложение левой части уравнения на множители.
•
Метод выделения полного квадрата.
•
Решение квадратных уравнений по формуле.
•
Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
•
Решение уравнений способом «переброски»
•
Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
•
Графическое решение квадратного уравнения.
• Решение квадратных уравнений с помощью циркуля и
линейки.
12
•
Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.
•
Геометрический способ решения квадратных уравнений.
Алгоритм решения неполных
квадратных уравнений
1) если уравнение имеет вид ах2 = 0, то оно имеет один корень х = 0;
2) если уравнение имеет вид ах2 + bх = 0, то используется метод разложения на
множители: х (ах +b) = 0; значит, либо х = 0, либо ах + b = 0. В итоге получается два
корня: x1 = 0; x2 = 3) если уравнение имеет вид ах2 + с = 0, то его преобразуют к виду ах2 = - с и далее
х2.= В случае, когда - < 0, уравнение х2 =-
не имеет корней (значит, не имеет корней и
исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - > 0, т.е. - = m , где m>0,
уравнение х2 = m имеет два корня
Таким образом, неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень,
ни одного корня.
13
Алгоритм решения полного квадратного
уравнения.
Это уравнения вида ах2 + bx + c = 0, где a, b, c – заданные числа, а ≠ 0,
х – неизвестное. Любое полное квадратное уравнение можно
преобразовать к виду
, для того, чтобы определять число
корней квадратного уравнения и находить эти корни. Рассматриваются
следующие случаи решения полных квадратных уравнений:
D < 0, D = 0, D > 0.
1. Если D < 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет
действительных корней.
Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень
находится по формуле .
3. Если D > 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 имеет два
корня, которые находятся по формулам:
;
14
Решение приведенных квадратных
уравнений
Теорема Ф.Виета:
Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму
коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение
корней равно свободному члену. Иначе говоря, если x1 и x2 - корни
уравнения х2 +px + q = 0, то
x1 + x2 = - p,
x1 x2 = q.
(*)
Теорема обратная теореме Виета:
Если для чисел x1, x2, p, q справедливы формулы (*), то x1 и x2 - корни
уравнения х2 +px + q = 0.
15
Практические применения квадратных
уравнений для решения прикладных задач
Бхаскара (1114—1185) - крупнейший индийский
математик и астроном XII века. Возглавлял
астрономическую обсерваторию в Удджайне.
Бхаскара написал трактат «Сиддханта-широмани»
(«Венец учения»), состоящий из четырёх частей:
«Лилавати» посвящена арифметике, «Биждаганита» —
алгебре, «Голадхайя» — сферике, «Гранхаганита» — теории
планетных движений.
Бхаскара получал отрицательные корни уравнений, хотя и
сомневался в их значимости. Ему принадлежит один из
самых ранних проектов вечного двигателя.
16
Одна из задач знаменитого индийского
математика XIIв. Бхаскары:
Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о
двузначности корней квадратных уравнений.
17
Заключение
Развитие науки о решении квадратных уравнений прошло длинный и тернистый путь.
Только после трудов Штифеля, Виета, Тартальи, Кардано, Бомбелли, Жирара,
Декарта, Ньютона наука о решении квадратных уравнений приняла
современный вид.
Значение квадратных уравнений заключается не только в изяществе и
краткости решения задач, хотя и это весьма существенно. Не менее важно и то,
что в результате применения квадратных уравнений при решении задач не
редко обнаруживаются новые детали, удается сделать интересные обобщения и
внести уточнения, которые подсказываются анализом полученных формул и
соотношений.
Изучая литературу и Интернет ресурсы, связанные с историей развития
квадратных уравнений, я спрашивала себя : «Что же двигало ученых, живших
в такое непростое время, заниматься наукой, даже под угрозой смерти?»
Наверное, прежде всего, это – пытливость человеческого ума, которая является
ключом к развитию науки. Вопросы о сущности Мира, о месте человека в этом
мире не дают покоя во все времена людям мыслящим, любознательным,
разумным. Понять себя, свое место в мире люди стремились во все времена.
Загляните и Вы в себя, может, страдает Ваша природная любознательность,
потому что Вы уступили повседневности, лености? Судьбы многих ученых –
18 примеры для подражания. Не все имена хорошо известны и популярны.
Задумайтесь: каков я для окружающих меня близких людей? Но самое главное
– как я сам к себе отношусь, достоин ли уважения? Подумайте об этом…
Список литературы
1. Звавич Л.И. “Алгебра 8 класс”, М., 2002.
2. Савин Ю.П. “Энциклопедический словарь юного математика”, М.,
1985.
3. Ю.Н.Макарычев “Алгебра 8 класс”, М, 2012.
4. https://ru.wikipedia.org
5. http://www.ido.rudn.ru/nfpk/matemat/05/main_1.htm
6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html
7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html
19
Спасибо за внимание
20