Расчет с учетом симметричности

1
MPAMCS 2012
Вычисление дискретных однородных
функционалов Вольтерра с учетом
симметричности
Д.Ю. Дунюшкин
МУПОЧ «Дубна», аспирант кафедры САУ
2
Применение (перспективы)
Внешнее описание нелинейных аналитических систем,
идентификация, цифровая фильтрация
x(k )
y (k )
A

y (k )   Fm [ f m , x(k )]
(1)
m 0
M 1
M 1
i1  0
im  0
Fm [ f m , x(k )]   f m (i1 ,, im ) x(k  i1 )  x(k  im ) (2)
3
Постановка задачи
Вычислить дискретный функционал вида
M 1
M 1
Fm [ f m , x(k )]   f m (i1 ,, im ) x(k  i1 )  x(k  im )
i1  0
im  0
где m – порядок функционала (и размерность ядра),
M – размер ядра,
f (i1 ,, im ) – многомерное ядро функционала,
x(k ) – дискретный сигнал
(3)
4
Симметризация
Н. Винер показал что любой функционал вида
M 1
M 1
Fm [ f m , x(k )]   f m (i1 ,, im ) x(k  i1 )  x(k  im )
i1  0
(4)
im  0
равен функционалу с симметричным ядром
M 1
M 1
Fm [ f m , x(k )]   f msym (i1 ,, im ) x(k  i1 )  x(k  im )
i1  0
где
f msym 
(5)
im  0
1
f m (i1 ,  , im )

m!
(6)
Сумма по всем перестановкам аргументов
5
Примеры симметризации
Ядро 2 порядка f 2 (i1 , i2 ) всегда можно заменить ядром
f
1
(i , i2 )  [ f 2 (i1 , i2 )  f 2 (i2 , i1 )]
2!
sym
2
1
(7)
Ядро 3 порядка f 2 (i1 , i2 , i3 ) можно заменить ядром
f
1
(i , i2 )  [ f 3 (i1 , i2 , i3 )  f 3 (i1 , i3 , i2 )  f 3 (i2 , i1 , i3 ) 
3!
 f 3 (i2 , i3 , i1 )  f 3 (i3 , i1 , i2 )  f 3 (i3 , i2 , i1 )]
sym
3
1
(8)
6
Расчет F2 с учетом симметричности
M 1 M 1
F2 [ f 2 , x(k )]    f 2sym (i1 , i2 ) x(k i1 ) x(k  i2 )
(9)
i1  0 i2  0
i2  i1
f 2sym (i1 , i2 )  f 2sym (i2 , i1 )
7
Расчет F2 с учетом симметричности
M 1 M 1
F2    f 2sym (i1 , i2 ) x(k i1 ) x(k  i2 )
(10)
i1  0 i2 0
M 1 M 1
F2    f
i1  0 i2 i1
sym
2
(i1 , i2 ) x(k i1 ) x(k  i2 )  c(i1 , i2 )
1, if i1  i2
c(i1 , i2 )  
2, if i2  i1
(11)
(12)
8
Расчет Fm с учетом симметричности
M 1
Fm  
i1  0
M 1

im im1
m
f
sym
m
(i1 ,, im ) x(k  i p )
(13)
p 1
m
 sym

Fm      f m (i1 ,, im ) x(k  i p )   c(i1 , , im ) (14)
i1  0
im im1 
p 1

M 1
M 1
c(i1 ,, im ) 
?!
9
Расчет весовых коэффициентов
Весовой коэффициент равен числу перестановок
с повторениями
m


m!
 
c(i1 ,, im )  
 k1 , k2 ,..., kr  k1!k2!...kr !
(15)
где k s - это число одинаковых индексов, равных s ,
r
r - число групп одинаковых индексов
k
s 1
s
 m.
10
Алгоритм вычисления c(i1 ,, im )
11
Оценка эффективности
Число точек без учета симметричности
N (m, M )  M m
(16)
Число точек с учетом симметричности
M ( M  1)...( M  m  1)
N sym (m, M ) 
m!
(17)
Относительная эффективность методов
N
m! M m 1

N sym ( M  1)...( M  m  1)
(18)
12
Относительная эффективность
N
m! M m 1

N sym ( M  1)...( M  m  1)
(18)
N / N sym
100
F5 (m=5)
F4 (m=4)
10
F3 (m=3)
F2 (m=2)
1
0
5
10
15
20
M
13
Узловой метод
M 1 M 1 M 1
Fm [ f m , x(k )]    
i1  0 i2 i1 i3 i2
M 1
 c(i ,, i
im im1
1
m
) f m (i1 ,, im ) 
(19)
 x(k  i1 )  x(k  im )
M 1
M 1
M 1
Fm [ f m , x(k )]   x(k  i1 )  x(k  i2 )  
i1  0
i2 i1
i3 i2
M 1
 c(i ,, i
im im1
1
m
)
 f m (i1 ,, im ) x(k  im )
(20)
14
Эффективность узлового метода
direct
N sym
N
bundle
sym

m  N sym (m, M )
(21)
m
N
i 1
sym
(i, M )
N прям / N узл
4.5
4
F5 (m=5)
3.5
F4 (m=4)
3
2.5
F3 (m=3)
2
F2 (m=2)
1.5
1
0
5
10
15
20
M
15
Выводы
При компьютерной реализации моделей на основе
однородных
функционалов Вольтерра необходимо
учитывать симметричность ядер внесением весовых
коэффициентов в ядро и рекомендуется использовать
узловой алгоритм вычисления функционалов.
~
f m (i1 ,, im )  f m (i1 ,, im )  c(i1 ,, im )
(22)
16
Другие возможности применения
Свойство симметричности также можно использовать в
некоторых других задачах.
Получение дискретных сигналов с заданными
моментными или корреляционными функциями.
M 1

i1 ,,im  0
[ M m (i1 ,, im )  Vm (i1 ,, im )]2  min
1
M m (i1 , , im ) 
N
(23)
N 1
 x(k  i )  x(k  i
k 0
1
m
)
(24)
17
Список литературы
1. Волков Н.В. Разработка методов и средств для исследования динамики
нелинейных автоматизированных машиностроительных систем на основе
функциональных разложений Вольтерра-Винера с целью повышения
достоверности контроля их эксплуатации: диссертация на соискание ученой
степени доктора технических наук: 05.13.06 / Николай Васильевич Волков;
Москва, МГТУ «Станкин», 2001.
2. Данилов Л.В. Теория нелинейных электрических цепей / Л.В. Данилов, П.Н.
Матханов, Е.С. Филиппов. — Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1990.
3. Музыкин С.Н., Родионова Ю. М. Моделирование динамических систем. —
Ярославль: Верх.-Волж. кн. изд-во, 1984.
4. Музыкин С.Н., Родионова Ю.М. Функциональные разложения ВинераВольтерра в задачах проектирования. – Ярославль: Верх.-Волж. кн. изд., 1992.
5. Пупков К.А., Капалин В.И., Ющенко А.С. Функциональные ряды в теории
нелинейных систем. — М: Наука, 1976. — 448 с.
18
Спасибо за внимание.
MPAMCS 2012
Вычисление дискретных однородных функционалов Вольтерра с
учетом симметричности
Дунюшкин Дмитрий Юрьевич
МУПОЧ «Дубна», аспирант кафедры САУ