По следам Пифагора

В Ы П ОЛ Н И Л А :
Б О Р И С О ВА Л И Л И Я
УЧЕНИЦА8 «А» КЛАССА
МОУ СОШ №4
ПРОБЛЕМА
1. Где можно применить теорему
Пифагора?
2. Почему теорема Пифагора популярна
и в наши дни?
Цель:
доказать, что простота, красота и универсальность теоремы Пифагора
позволяет использовать её в различных сферах жизни человека.
Задачи:
• Изучить литературу по данной теме.
• Изучить историю открытия теоремы Пифагора.
• Рассмотреть способы доказательства теоремы Пифагора.
• Проследить межпредметные связи, а познакомиться с применением
теоремы Пифагора и в наши дни.
НЕМНОГО ИЗ ИСТОРИИ
1.
2.
3.
4.
5.
Китай
Индия
Вавилон
Египет
Греция
«Если прямой угол разложить на составные части,
то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5,
когда основание есть 3, а высота 4»
«ДОКАЗАТЬ, ЧТО КВАДРАТ, ПОСТРОЕННЫЙ НА ГИПОТЕНУЗЕ
ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, РАВНОВЕЛИК СУММЕ КВАДРАТОВ,
ПОСТРОЕННЫХ НА КАТЕТАХ»
Доказательство, основанное на понятии равновеликости фигур
(a+b)2=c2+4S,
S=0,5ab,
a2+2ab+b2=c2+2ab,
с2=а2+b2.
Доказательство Тафти
с2 = (а-b)2+4·0,5ab = a2+b2
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ГАРФИЛДА
Площадь трапеции S=0,5(а+в)(а+в),
S=0,5аb+0,5аb+0,5с2.
Приравнивая эти выражения, получаем c2 = а2 + b2.
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
1. Решение старинных задач
Задача древних индусов:
Над озером тихим,
С полфута размером, высился лотоса цвет.
Он рос одиноко. И ветер порывом
Отнес его в сторону. Нет
Боле цветка над водой.
Нашел же рыбак его ранней весной
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
Как озера здесь вода глубока?
ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ ПИФАГОРА
2. Решение практико-ориентированных задач
Лестница соединяет точки A и B и состоит из 35 ступеней. Высота каждой ступени
равна 14 см, а длина — 48 см. Найдите расстояние между точками A и B (в
метрах).
Решение:
Длина одной ступени х2=142+482=2500, х=50.
Так как ступеней 35, то длина АВ=1750 см = 17,5 м
Ответ: 17,5 м
ГИППОКРАТОВЫЕ ЛУНОЧКИ
Если на гипотенузе прямоугольного треугольника как на диаметре описать
полуокружность, лежащую с той же стороны гипотенузы, что и сам треугольник,
то площадь полукруга, построенного на гипотенузе, будет равна сумме площадей
полукругов, построенных на катетах этого прямоугольного треугольника.
Доказательство:
Пусть Ka, Kb и Kc - площади полукругов, построенных на
катетах и гипотенузе.
Умножив обе части равенства: c2=a2+b2 на π/8.
Получим π*c2/8=π*a2/8+π*b2/8, то есть Ka+Kb=Kc.
Таким образом, получаем, что площадь полукруга с диаметром c равна сумме
площадей двух других полукругов, c диаметрами a и b.
Если мы отнимем одни и те же части (на рисунке они не закрашены) как от
полукруга, построенного на гипотенузе, так и от полукругов построенных на
катетах, то, вследствие только что доказанной теоремы, получим, что сумма
площадей луночек равна площади треугольника
ПИФАГОРОВЫ ТРОЙКИ
Задача Пифагора: решить в натуральных числах уравнение а2+b2=c2.
Решение задачи: пифагоровы тройки - тройки натуральных чисел, удовлетворяющих
уравнению а2+b2=c2
Тройки можно найти по формулам:
b=(a2-1)/2, c=(a2+1)/2, если а нечетное число, (Пифагор)
b=(a/2)2-1, с=(a/2)2+1, если а четное число (Платон)
a
3
5
6
7
8
9
10
11
12
b
4
12
8
24
15
40
24
60
35
с
5
13
10
25
17
41
26
61
37
Пифагоровы числа обладают рядом интересных особенностей:
•Один из «катетов» должен быть кратным трём.
•Один из «катетов» должен быть кратным четырём.
•Одно из пифагоровых чисел должно быть кратно пяти.
СТРОИТЕЛЬСТВО
Молниеотвод
Вычислите высоту молниеотвода, если радиус "защищенного"
круга 15 м, а угол между молниеотводом и образующей конуса
безопасности 60º.
Решение:
АВС=30°. Катет АС=х, АВ=2х.
По теореме Пифагора 4х2=х2+225, х2=75, х= м
Спасибо за внимание