Графы. Поиск путей в графе (В9).

Графы. Поиск путей в графе (В9).
(время – 3 мин.)
Графы. Поиск путей в графе.
Что нужно знать:
если в город R можно приехать только из городов X, Y, и Z,
то число различных путей из города A в город R равно
сумме числа различных путей проезда из A в X, из A в Y и
из A в Z, то есть
NR = NX + NY + NZ
 NQ обозначает число путей из вершины A в некоторую
вершину Q;
 число путей конечно, если в графе нет циклов – замкнутых
путей.

Графы. Поиск путей в графе.
Пример задания:
На карту нанесены 4 города (A, B, C и D). Известно, что
между городами A и С – три дороги
между городами C и B – две дороги
между городами A и B – две дороги
2
А
2
3
B
4
между городами C и D – две дороги
2
С
D
между городами B и D – четыре дороги
По каждой из этих дорог можно ехать в обе стороны.
Сколькими различными способами можно проехать из города А в
город D, посещая каждый город не более одного раза?
РЕШЕНИЕ:
Изобразим граф, где каждому ребру, соединяющему вершины графа,
поставим в соответствие количество дорог.
Графы. Поиск путей в графе.
3
С







2
А
2
B
4
2
D
выпишем все маршруты, по которым можно ехать из A в D так, чтобы
дважды не проезжать один и тот же город:
2
4
3
2
2
2 2
3
2
4
ABD AСD ABСD ACBD
рассмотрим маршрут A  B  D; два пути из A в B, а затем – 4 пути
из B в D; общее количество различных маршрутов равно
произведению этих чисел: 2*4 = 8;
аналогично находит количество различных путей по другим
маршрутам:
A  С  D:
3*2 = 6
A  B  С  D:
2*2*2 = 8
A  C  B  D:
3*2*4 = 24
всего получается 8 + 6 + 8 + 24 = 46.
Графы. Поиск путей в графе.
Пример задания:
На рисунке – схема дорог, связывающих города А, Б, В, Г, Д, Е, Ж, И, К.
По каждой дороге можно двигаться только в одном направлении,
указанном стрелкой. Сколько существует различных путей из города А
в город К?
Решение. Вариант 1.
Метод перебора.
Графы. Поиск путей в графе.
Решение. Вариант 2 (удобная форма записи):
•начнем считать количество путей с конца
маршрута – с города К;
• записываем для каждой вершины, из каких вершин
можно в нее попасть:
К  ИДЖЕ
ИД
Ж  ВЕ
ЕГ
Д  БВ
ГА
В  АБГ
БА
• далее для удобства «обратного хода» вершины отсортируем так, чтобы
сначала шли все вершины, в которые можно доехать только из начальной точки
А.
• затем на каждом шаге добавляем те вершины, в которые можно доехать из
уже добавленных в список (и из исходной точки).
Графы. Поиск путей в графе.
Вариант 3, перебор вершин по алфавиту.
Составим таблицу:
Определяем количество путей
для тех вершин, в которые
можно проехать только из
начальной вершины А:
Затем на каждом шаге
добавляем те вершины, в
которые можно доехать из
уже добавленных в список (и
из исходной точки):
Следующие шаги:
Ответ: 13
Графы. Поиск путей в графе.
Вариант 5.
Идея решения: на схеме обозначаем ЧИСЛО ДОРОГ, приводящих в
каждый город (число дорог в город N = сумме дорог, приводящих в
города, из которых есть прямой проезд в город N).
Ответ: 13
Графы. Поиск путей в графе.
Задание для тренировки и ДЗ:
ЕГЭ – все задания.
Остальные - № 1,2,5,10,14,20,21,25,26,29,30,31,34 – 36.
Желаю удачи!