Презентация "Вычисление объемов тел"

МКОУ «Гимназия с. Дружба»
Открытый урок
Учитель
математики
1-ой категории
Кочкарова С. С.
Цель урока:
- вычисление объемов тел вращения с
помощью определенного интеграла.
Ход урока
II. Актуализация знаний учащихся


Теоретический опрос.
Повторить понятия конуса и усеченного конуса.
1. Рассмотрим
окружность L с центром
в точке О и прямую ОР,
перпендикулярную
плоскость α. Каждую
точку окружности
соединим отрезком с
точкой Р. Поверхность,
образованная этими
отрезками, называется...
(рис.1)
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 3.
Рис. 4.
S  R
2
Î÷åâèäíî,
ïðîõîäÿùåé
÷òî ñå÷åíèå ýòîãî òåëà ïëîñêîñòüþ ,
÷åðåç òî÷êó ñ àáñöèññîé õ  [a;b] è
ïåðïåíäèêó ëÿðíîéîñè
Ox, åñòü êðóã (èëè òî÷êà)
ðàäèóñà f(x). Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîùàäü
2
ñå÷åíèÿ ðàâíà S(x)  πf (x),
à îáúåì ðàññìàòðèâ àåìîãî
òåëà âðàùåíèÿ âû÷èñëÿåòñÿ
b
2
ïî ôîðìóëå V  π  f (x)dx (ðèñ.6 ).
a
S(x) ýòîãî
1. ÎÁÚÅÌ ÖÈËÈÍÄÐ À
H
H
2
2
2
Vöèëèíäðà    y dx π  R dx  R x
0
0
Ось Y
0
H
Y=R
R
H
Ось X
2
 R H
2. ÎÁÚÅÌ ÊÎÍÓÑÀ
Ïðèìåíÿÿ
îáúåìîâ
îñíîâíóþ
ôîðìóëó
äëÿ âû÷èñëåíèÿ
òåë ïðè a  0 , b  H, ïîëó÷àåì
2 H
2 x3 H
H R 2

R

R
1
2
2
2
Vêîíóñà  
x dx 
 R H
 x dx 
2
3
H2 0
H2 3 0
0 H
Y  kx
R
K
H
3. ÎÁÚÅÌ ÓÑÅ×ÅÍÍÎà ΠÊÎÍÓÑÀ
2
H Rr
1

2
2
V óñå÷åííîãî êîíóñà    
x  r  dx  H ( r  R  rR )
H
3

0
Y=kx+r
4.ÎÁÚÅÌ
ØÀÐÀ
õ2  y 2 R 2 óðàâíåíè å îê ðóæíîñòè
Ïîë óîê ðóæí îñòü,ðàñïîë îæåí íàÿ íàä îñüþ õçàäàåòñÿóðàâíåíè åì
y R 2  x 2 ,R xR.
Ïîýòîìó îáúåì øàðà îïðåäåë ÿåòñÿïî ôîðìóë å

 R
R
3

x

V    R 2  x 2 dx  R 2 x   4 R3
3  R 3


R


Èòàê , îáúåì øàðà ðàâåí 4 R3
3
-R
У
0
R X
5. ÎÁÚÅÌ ØÀÐÎÂÎÃÎ
ÑÅÃÌÅÍÒÀ
ñåãìåíòîì íàçûâàåòñÿ ÷àñòüøàðà, îòñåêàåìàÿ îò íåãî
Øàðîâûì
ïëîñêîñòüþ . Ôîðìóëó äëÿ îáúåìà øàðîâîãî ñåãìåíòà ïîëó÷àåì
àíàëîãè÷íî ôîðìóëå îáúåìà øàðà :


3 R
R

H
x
2
2
2
2


V    R  x dx  R x 
 H  R  


3
3


R

H
RH


У
ãäå R  ðàäèóñ øàðà,
à H  âûñîòà øàðîâîãî ñåãìåíòà.
H
-R
0
R-H
R X
6. ÎÁÚÅÌ
Øàðîâûì
ØÀÐÎÂÎÃÎ
ÑÅÊÒÎÐÀ
ñåêòîðîì íàçûâàåòñÿ òåëî, êîòîðîå ïîëó÷àåòñÿ
èç øàðîâîãî ñåãìåíòà è êîíóñà.
Äëÿ îïðåäåëåíè ÿ îáúåìà øàðîâîãî ñåêòîðà
èñïîëüçóåò ñÿ ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà :
2 2
V  R H
3
ãäå R  ðàäèóñ øàðà,
à H  âûñîòà øàðîâîãî ñåãìåíòà.
Задача №674
Фигура,
заштрихованная на
рисунке вращается
вокруг оси ох. Найти
объем полученного
тела.
Ç àäà÷à¹708
Äàí î : óñ å÷åí íû é ê îí óñ ,
r O1C 3ì,
OB R6 ì,
CB 5 ì.
Íàé òè :V óñ.ê.
Ç àäà÷à¹704
Äàíî : êîíóñ,
h  SO  AB  H .
Íàéòè :V .
V. Итоги урока
Формулы нахождения объема
цилиндра, конуса, усеченного
конуса, шара, шарового сегмента,
шарового сектора.
Ðåøåíèå :
b
V   S(x) dx
a
b
V  π  f 2(x)dx
a
1
2 1 π 1
1
1
2
x
π
2


V   πy (x)dx   π  x  dx   πx dx π

0 


2 0
2
2
0
0
0
π
Îòâåò : V 
2
Ðåøåíèå :
1
V  h( R 2  r 2  Rr ).
3
Ïðîâåäåì C1C  AB, O1C OC1 3 ì ,C1B633( ì ).
Èç CBC1  C1 90  ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà CB 2 CC12 C1B 2 ,


îòñþ äà CC12 CB 2 C1B 2 ,CC12 5 2 3 2 ,CC12 16,CC1 4.
1
V   4(6 2 3 2 63)84  ì 3 
 
3
Îòâåò : V 84  ì 3 .
 
Ðåøåíèå :
1 2
V  r h.
3
d H
d  AB H , D2r ,r   ,h H .
2 2
1 H2
1 H 3 H 3
V 
H   

3
4
3
4
12
Îòâåò : V 
H 3
12
.