основание пирамиды

Вершина
Перпендикуляр,
проведенный из
вершины пирамиды
к плоскости
основания,
называется
высотой пирамиды
Р
Многогранник,
составленный из
n-угольника А1А2…Аn
n треугольников,
называется пирамидой.
n-угольная пирамида.
Многоугольник
А1А2…Аn – основание
пирамиды
Аn

Н
А1
А2
Треугольники А1А2Р, А2А3Р
А3и т.д.
боковые грани пирамиды
Отрезки А1Р, А2Р, А3Р и т .д.
боковые ребра
SS
Н
Четырехугольная
пирамида
А
В
Н
С
Треугольная пирамида – это
тетраэдр
Пятиугольная
пирамида
Р
Шестиугольная
пирамида
Аn
Н
А1
А3
А2
Н
S полн  Sбок  Sосн
Пирамида называется правильной, если ее основаниеправильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину
с центром основания, является ее высотой.
Центром правильного
многоугольника называется центр
вписанной (или описанной около
него окружности).
Н
Докажем, что все боковые ребра правильной пирамиды
равны, а боковые грани являются равными
равнобедренными треугольниками.
Р
А6
А1
А5
А4
Н
А2
А3
Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из
ее вершины, называется апофемой.
Р
А6
А1
А5
А4
Н
А2
А3
Площадь боковой поверхности правильной пирамиды
равна половине произведения периметра основания на
апофему.
S бок
1
 Росн  h
2
Р
h
А6
А1
А5
А4
Н
А2
А3
№ 239. Основанием пирамиды является ромб, сторона
которого равна 5 см, а одна из диагоналей 8 см. Найдите
боковые ребра пирамиды, если ее высота проходит через
точку пересечения диагоналей основания и равна 7 см.
Н
7
D
4
А
5 см
8
O
С
5 см
3
В
№ 243. Основанием пирамиды DАВС является треугольник
АВС, у которого АВ = АС = 13 см, ВС = 10 см; ребро АD
перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см.
Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
D
9
13
В
10
M
А
13
С
№ 244. Основанием пирамиды DАВС является
прямоугольный треугольник АВС, у которого гипотенуза АВ =
29 см, катет АС = 21 см. Ребро АD перпендикулярно к
плоскости основания и равно 20 см. Найдите Sбок.
D
20
29
В
А
21
С
№240. Основанием пирамиды является параллелограмм,
стороны которого равны 20 см и 36 см, а площадь равна
360 см2. Высота пирамиды проходит через точку пересечения
диагоналей основания и равна 12 см. Найти Sпп.
Н
D
12
О
O
А
М
36
С
С
D
K
B
20
А
K
В
№241. Основанием пирамиды является параллелограмм,
стороны которого равны 4 см и 5 см и меньшей диагональю 3
см. Высота пирамиды проходит через точку пересечения
диагоналей основания и равна 2 см. Найти Sпп.
Н
2
С
D
3
4
O
А
М5
B
№ 245. Основанием пирамиды является прямоугольник,
диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых
граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие
боковые грани образуют с основанием углы в 300 и 450.
Найдите Sп.пов.
Н
x
300
D
С
x3
8
А
x
450
В
№ 245. Основанием пирамиды является прямоугольник,
диагональ которого равна 8 см. Плоскости двух боковых
граней перпендикулярны к плоскости основания, а две другие
боковые грани образуют с основанием углы в 300 и 450.
Найдите Sп.пов.
Н
8
4
42
300
D
С
43
4
8
4
А
450
43
В
Повторим
№ 246. Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а
высота каждой боковой грани, проведенная из вершины
пирамиды, равна 41 см. а) Докажите, что высота пирамиды
проходит через центр окружности,
D
вписанной в ее основание.
б) Найдите площадь
основания пирамиды, если
Подсказка:
r = 2S/P
41
40
С
N
F
O
А
M
В
№ 247. Двугранные углы при основании пирамиды равны.
Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр
окружности, вписанной в основание; б) высоты всех боковых
граней, проведенные из вершины
D
пирамиды, равны;
в) площадь боковой
поверхности пирамиды
равна половине произведения
периметра основания
на высоту боковой грани,
проведенную из вершины.
Аn
А1
А4
O
F
А2
M
А3
N
- Если двугранные углы при основании пирамиды равны.
- Если высоты боковых граней равны
- Если высоты боковых граней составляют равные углы с
высотой пирамиды.
Высота пирамиды проходит
D
через центр вписанной окружности.
S Бок .п.
Аn
А1
А4
O
F
А2
M
А3
N
1
 Росн.h
2
№ 248. Основанием пирамиды является треугольник с
сторонами 12 см, 10 см и 10 см. Каждая боковая грань
наклонена к основанию под углом 450. Найдите площадь
боковой поверхности пирамиды.
D
С
F
10
А
450
450
O
N
10
450
M
12
В
№ 249. В пирамиде все боковые ребра равны между собой.
Докажите, что: а) высота пирамиды проходит через центр
окружности, описанной около основания; б) все боковые
ребра составляют равные углы с
Р
плоскостью основания.
В каких еще случаях
высота пирамиды пройдет
через центр описанной
окружности?
А5
А6
А1
А4
О
А2
А3
- Если боковые ребра равны.
- Если все боковые ребра составляют равные угла с
плоскостью основания.
- Если все боковые ребра составляют равные углы с высотой
пирамиды.
Р
Высота пирамиды проходит
через центр опис. окружности.
А5
А6
А1
А4
О
А2
А3
№ 250. Основанием пирамиды является равнобедренный
треугольник с углом 1200. Боковые ребра образуют с ее
высотой, равной 16 см, углы в 450. Найдите площадь
основания пирамиды.
Р
450
16
В
А
1200
О
С
На чертеже ошибка!
№ 250. Для тупоугольного треугольника центр описанной
окружности лежит во внешней области.
В SАВС
А
Р
450
С
16
В
А
О
С
О
№ 251. Основанием пирамиды DABC является
прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС. Боковые ребра
пирамиды равны друг другу, а ее высота равна 12 см.
Найдите боковое ребро пирамиды, если ВС = 10 см.
D
В
А
900
О
С
На чертеже ошибка!
№ 251. Для прямоугольного треугольника центр описанной
окружности – середина гипотенузы.
А
D
В
?
С
12
В
А
О 10
С
О
10
Усеченная пирамида

В1
Р
В2
В3
Аn

Н
А1
А2
А3