Признаки параллелограмма Выясните, является ли данный четырехугольник параллелограммом? В В 2 С А C 3 1 A D D 1 2 34 1 2 3 ABCD - параллелограмм В 3 см А С D D А В А 50 0 Найдите В, С , D Найдите периметр В С o А С D АО = 3 см, ВD = 8 см. Найдите: OC, AC, BO, OD Признак 1. Если в четырехугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник – параллелограмм. Дано: В С АВСD – четырехугольник 4 AB l l CD, AB = CD 2 1 Доказать: АВСD - параллелограмм Доказательство: рассмотрим ∆ АВС и ∆ADC, 3 D A AC - общая, AB = CD (по условию) 1 =2 (как накрест лежащие углы) 3 = 4 BC l l AD = ∆ ADC ∆(поАВС 1-му признаку равенства треуг.) АВСD - параллелограмм Повторите доказательство теоремы самостоятельно! В С 4 2 1 3 A D Решите задачу. В четырехугольнике ABCD 1= 2, АD = ВС. Докажите, что ABCD – параллелограмм. B 1 A 2 C D Решение: 1 = 2 – накрест лежащие углы при прямых ВС, АD и секущей АС. По признаку параллельных прямых ВС АD, и по условию АD = ВС по первому признаку параллелограмма ABCD - параллелограмм . Признак 2. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник – параллелограмм. Дано: С АВСD – четырехугольник В AB = CD, BC = AD Доказать: АВСD - параллелограмм 2 1 Доказательство: рассмотрим ∆АВС и ∆ADC, D А AC - общая, AB = CD, BC = AD (по условию) 1 = 2 ∆ АВС = ∆ ADC (по 3-му признаку равенства треуг.) AB l l CD и AB = CD АВСD - параллелограмм (по 1-му признаку параллелогр.) Повторите доказательство теоремы самостоятельно! В С 2 1 А D Решите задачу. В четырехугольнике ABCD 1= 2, ВС = АD. Докажите, что ABCD – параллелограмм. B C 1 2 A D Решение: рассмотрим ∆АВD и ∆BDC, ВD – общая, ВС=АD и 1= 2 по условию ∆АВD = ∆BDC (по первому признаку равенства треугольников) АВ = СD по второму признаку параллелограмма ABCD - параллелограмм . В Признак 3. Если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник – параллелограмм. Дано: АВСD - четырехугольник ВD AC = O, АО = ОС и ВО = ОD С 3 O 1 Доказать: ABCD - параллелограмм Доказательство: рассмотрим ∆ АОВ и ∆СОD, 2 4 А D АО = ОС и ВО = ОD (по условию) 1= 2 (как вертикальные) (по 1-му признаку рав. треуг.) ∆ АОВ = ∆СОD АВ = СD и 3 = 4 АВ l l СD( по призн. парал. прямых) Итак, АВ = СD и АВ l l СD ABCD – параллелограмм (по 1 призн. параллелогр.) Повторите доказательство теоремы самостоятельно! С В 3 O 1 2 4 А D Решите задачу. В параллелограмме ABCD точки A₁, B₁, C₁, D₁ - середины отрезков OA, OB, OC, OD. Докажите, что четырехугольник A₁B₁C₁D₁ - параллелограмм B C B₁ A₁ A O C₁ Решение: D₁ D АО=ОС, ВО=ОD (по свойству параллелограмма) АA₁=A₁О, ОC₁=C₁С (по условию) A₁О=ОC₁, аналогично B₁О=ОD₁ по первому признаку параллелограмма A₁B₁C₁D₁ - параллелограмм Домашнее задание • П.43 • № 379,380