презентация Решение систем линейных уравнений

Уравнение ax + b = 0, где а 0, называют линейным
уравнением с одной переменной.
Решением уравнение является значение
Уравнение ax + by + c = 0, где а, b, c – числа, причем а 0,
b 0, называют линейным уравнением с двумя
переменными x и y (или с двумя неизвестными x и y).
Решением уравнения ax + by + c = 0 называют всякую пару
чисел (х; у), которая удовлетворяет этому уравнению, т.е
обращает равенство ax + by + c = 0 в верное числовое
равенство. Таких решений бесконечно много.
Графиком любого линейного уравнения
ax + by + c = 0 является прямая.
ax + by + c = 0.
1. Придать переменной Х конкретное значение Х = ;
найти из уравнения а + by + c = 0 соответствующее
значение у: У = .
У
ax + by + c = 0
.
.
2. Придать переменной Х другое значение Х= ;
найти из уравнения а + by + c = 0 соответствующее
0
Х
значение У: У=
.
3. Построить на координатной плоскости хОу две точки
( ; ) и(
; ).
4. Провести через эти две точки прямую - она
и будет графиком уравнения ax + by + c = 0.
Пусть даны две линейные функции у=
х+
и у= х +
Если угловые коэффициенты
и
равны, то прямые,
служащие графиками линейных функций , параллельны
( и даже совпадают при условии
=
).
Если же
, то прямые пересекаются.
.
У=
Х +
1.
=
,
У=
х+
2.
=
,
3.
1. Прямые У= Х +
параллельны.
=
и У=
Х+
Х+
и У=
Х+
3. Прямые У = Х +
пересекаются
иУ=
Х+
2. Прямые У =
совпадают.
.
Графический
метод
Метод
подстановки
Метод
алгебраического
сложения
Графический метод решения систем
линейных уравнений с двумя переменными.
В одной координатной плоскости строим графики двух
линейных уравнений:
1. Если прямые пересекаются (в одной точке), то система
имеет единственное решение – координаты точки пересечения.
2. Если прямые параллельны – это значит, что система не
имеет решения ( система несовместна).
3. Если прямые совпадают – это значит, что система имеет
бесконечно много решений (система неопределенна).
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ:
1. Выразить из какого-либо уравнения одну переменную через другую
и подставить это выражение в другое уравнение.
2. Решить полученное уравнение относительно другой переменной.
3. Подставить найденное значение переменной в выражение, полученное
на первом шаге.
4. Записать ответ в виде пары значений ( х; у ), которые были найдены
на предыдущих шагах.
Ответ: ( х; у).
АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ СИСТЕМЫ:
;
;
;
;
.
Найти Х из любого
уравнения системы.
1.Привести уравнения системы к виду, чтобы у
какой-либо переменной в обоих уравнениях
коэффициенты стали противоположными
(или равными).
2.Сложить уравнения - это значит по
отдельности составит сумму левых частей,
сумму правых частей уравнений и
полученные суммы приравнять.
3.Решить полученное уравнение с одной
переменной (вторая переменная временно
исключена).
4. Подставить найденное значение переменной и
в любое из двух уравнений и найти
оставшуюся переменную.
5. Записать ответ в виде пары значений ( х; у ).
Решение.
Выразим х из 1-го уравнения системы:
5х= 4- 6у,
х=
Подставим во 2-е уравнение: 3
умножим обе части равенства на 5,
3 (4-6у) +25у =5,
.
+ 5у =1,
получим
12 -18у + 25 у = 5, 7 у = - 7, у = - 1.
Подставим в выражение х найденное значение у:
х=
,
х= 2.
Ответ: (2; -1).
На рисунке изображено графическое решение системы.
Укажите № системы уравнений, решение которой
указано на рисунке.
1
у
у
2
0
3
4
1
х
•АКТУАЛИЗАЦИЯ ЗНАНИЙ
•Что называется функциональной зависимостью?
•Какая переменная является зависимой, какая
независимой?
•Что называют графиком функции?
•Как называется функция y= kx?
•Что является графиком этой функции?
•Сколько точек необходимо для построения графика
этой функции?
•Какая функция называется линейной?
•Что является графиком линейной функции?
•Какой вид будет иметь линейная функция при b=0?
•Через какую точку в этом случае проходит график?
•Что показывает, в какой четверти лежит прямая
y=kx+b?
•Каковы координаты точки пересечения графика
функции y=kx+b с осью OY?
Найдите координаты точки пересечения графиков функций.
Актуализация знаний:
- На какие классы можно разбить множество
систем линейных уравнений по числу решений?
- Проведите классификацию данных систем.
Ответ:
Определенная система (1 решение) А, Г, Ж
Несовместная система (нет решений) Б, В, Д
Неопределенная система (бесконечное множество решений) З, Е
-По какому признаку определили?
- (пропорциональность коэффициентов)
При каких значения параметра «а» система имеет
бесконечное множество решений
или не имеет решения:
1.Какое уравнение называется линейным уравнением с двумя
неизвестными?
2.Что значит решить линейное уравнение с двумя неизвестными?
3.Что называется решением линейного уравнения с двумя
неизвестными? Как записывается это решение?
4.Что является графиком линейного уравнения с двумя
неизвестными?
5.Что называется системой двух линейных уравнений с двумя
неизвестными?
6.Что называется решение системы двух линейных уравнений с
двумя неизвестными?
7.Что значит решить систему двух линейных уравнений с двумя
неизвестными?
8.Какими методами можно решить систему двух линейных уравнений
с двумя неизвестными? Каков алгоритм решения каждым методом?
9.Как решается одно линейное уравнение с двумя неизвестными?
10.Сколько решений имеет линейное уравнение с двумя
неизвестными?
Как записывается общее решение линейного уравнения с двумя
неизвестными?
Рассмотрим произвольное уравнение с двумя
ax + by =c
переменными x и y:
Что является его решениями?
Его решениями является какое-то множество пар (x; y),
которые обращают его в верное равенство.
Каждой такой паре соответствует точка на координатной
плоскости. Множество этих точек мы будем называть
графиком данного уравнения с двумя переменными.
Множество точек (фигура) на координатной
плоскости является графиком данного уравнения,
если выполняются два условия:
1) Если (x; y) – решение уравнения, то М (x; y)
принадлежит его графику;
2) Если М (x; y) принадлежит графику уравнения, то (x;
y) – решение этого уравнения.
Рассмотрим линейное уравнение с двумя переменными.
Как выглядит его уравнение?
(a x + by =c )
Какая фигура на координатной плоскости будет являться его
графиком? [прямая]
Выясним, так ли это. Преобразуем уравнение: by = c – ax.
a
c
а) b  0, тогда, y x
b
b
то есть данное уравнение задает линейную функцию, а ее графиком
является прямая.
б) b = 0, тогда, уравнение примет вид: ax + 0y = c  ax = c.
(y – любое число).
c
1. Если а  0, то x 
a
то есть, графиком уравнения должны служить точки
с этой абсциссой и произвольной ординатой.
Какую фигуру они образуют? [прямую, параллельную оси y];
2. Если а = 0, то уравнение примет вид: 0x = c,
которое не имеет решений при с  0 и решением
которого являются все числа при с = 0.
у= 0,5х + 1 ;
у -1 = 2х ;
- 1= х - у ;
- 4х = 1 - у ;
Решение № 438 а) рис .25
.
Точки А (0; 5) и В ( -3; 0) принадлежат прямой.
Следовательно, их координаты удовлетворяют
уравнению этой прямой у = kх + m. Подставив
координаты точек в это уравнение, найдем k и m:
-3 k = m,
k=
,
k=
Уравнение прямой имеет вид: У =
Х + 5.
4
y1( x) 
5 x  9
2
2  7x
y2( x) 
2
1
y1( x)
5
2
1
4
y2( x)
2
y1( x) 
y2( x) 
2  2x
12
3
5
2x  10
x
8
5
y1( x)
4
y2( x)
5
0
5
4
x
10