Презентация к уроку по теме: "Признак перпендикулярности

Геометрия 10 класс
Открытый урок
учитель Ганюшин А.А.
Тема урока: признак перпендикулярности
прямой и плоскости
Цели:
1. Разобрать теорему о признаке
перпендикулярности прямой и плоскости.
2. Учить учащихся применять доказательства при
решении задач.
Устная работа
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Что такое перпендикулярные прямые (и прямой угол)
на плоскости?
Как определяется перпендикулярность- прямых в
пространстве?
Сформулируйте теорему о прямых, параллельных
перпендикулярным прямым (Теорема 17.1.).
Определение равнобедренного треугольника, свойства
углов равнобедренного треугольника.
Свойство медианы равнобедренного треугольника.
Третий признак равенства треугольников.
Объяснение нового материала
Определение. Прямая, пересекающая плоскость, называется
перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна
любой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит
через точку пересечения.
a
Если, a┴α то, a┴b, c и d.
b
c
d
α
Теорема 17.2. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся
прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна данной
плоскости.
Дано: a┴b и c; b и c лежат в плоскости α. Доказать, что a┴ α
a
Доказательство. Проведём произвольную прямую x через
A1
A
C
c
X
x
A2
точку A в плоскости α и докажем что она
перпендикулярна прямой a.
Проведём в плоскости α произвольную
прямую, не проходящую через точку A b и
пересекающую прямые b, c x соответственно
в точках B, C и X
α
b
Отложим на прямой a от точки A в разные
стороны равные отрезки AA1 и AA2
B
∆A1CA2 равнобедренный, т. к. AC является
высотой по условию (a ┴ c) и медианой по
построению (AA1=AA2).
Аналогично ∆A1BA2 тоже равнобедренный.
Следовательно ∆A1BC = ∆A2BC по 3 признаку.
Из равенства треугольников → равенство углов
A1BX, A2BX →
∆A1BX = ∆A2BX по 1 признаку → A1X=A2X →
∆A1XA2 равнобедренный.
Поэтому его медиана XA является также высотой.
А это и значит что x ┴a, а значит a ┴α.
Закрепление изученного материала
Задача (9). Докажите, что через данную точку прямой можно провести одну и
только одну перпендикулярную ей плоскость.
a
A
c
b
α
a
A
α‫׳‬
α
B
Решение.
Пусть а — данная прямая и А — точка на ней.
Проведем через нее две плоскости.
Проведем в них через точку А прямые b и с,
перпендикулярные прямой a.
Плоскость α, проходящая через эти прямые, перпендикулярна
прямой с по теореме 17.2.
Докажем, что эта плоскость единственна.
Допустим, что, кроме плоскости α, существует другая
плоскость α‫׳‬, проходящая через точку А и перпендикулярная
прямой a.
Пусть В — точка плоскости α‫׳‬, не лежащая в плоскости α.
Проведем через точку В и прямую a плоскость. Она пересечет
плоскости α и α' по различным прямым b и b',
перпендикулярным прямой a.
b‫ ׳‬А это, как мы знаем, невозможно, так как на плоскости через
данную точку прямой проходит только одна перпендикулярная
b
ей прямая.
Итак, плоскость, проходящая через точку А и
перпендикулярная прямой a, единственна. Ч. т. д.
Задача (11). Докажите, что через данную точку плоскости можно
провести одну и только одну перпендикулярную ей прямую.
Решение.
a
Пусть α — данная плоскость и А — точка на ней.
Проведем в плоскости α через точку А две прямые
b и c.
Проведем через точку А перпендикулярные им
плоскости.
A
Они пересекутся по некоторой прямой a, ┴ b и c.
α
Следовательно, a ┴α (по теореме 17.2).
b
c
Докажем, что эта прямая единственна.
a‫׳‬
Допустим, что, существует другая прямая а',
a
проходящая через точку А и ┴ α.
Проведем через прямые α и α' плоскость.
Она пересечет плоскость α по некоторой прямой
b┴a и а'.
А это невозможно.
A
Значит, проходящая через данную точку плоскости
α
и перпендикулярная этой плоскости, единственна.
Ч. т. д.
b
Вывод
Результаты задач 1 и 2 можно резюмировать
как теорему:
Через любую точку пространства можно
провести
плоскость,
перпендикулярную
данной прямой, и притом только одну.
Проверка усвоения материала
1.
2.
В пространстве даны прямая a и точка М. Сколько существует
плоскостей, проходящих через М и перпендикулярных прямой
a?
А) 0 Б) 1 В) ∞ Г)0 или ∞ Д) 1 или ∞
В пространстве даны прямая a и точка М. Сколько существует
прямых, проходящих через М, пересекающих прямую a и
перпендикулярных ей?
А) 0
Б) 1
В) ∞ Г)0 или ∞
Д) 1 или ∞
Домашнее задание
Тема №4
§17 п.143 опр. Т 17.1; п.144 опр. Т 17.2 (с доказательством); п.146
Т 17.3; Т 17.4.
Урок окончен
Спасибо за внимание!