Дополнительные построения в трапеции

Система итогового повторения
по теме «Трапеция»
•Теория
•Задачи-иллюстрации
Основные приемы дополнительных
построений. (Теория).
Основные приемы дополнительных
построений. (Теория).
Построение 1.
Построение 2.
a
c
ba
2
a
c
b
ba
2
c
d
b
c
?
ba
d
Основные приемы дополнительных
построений. (Теория).
Построение 3.
B
Построение 4.
a

c
A1
C1
c
a
b
A
C
ABC подобен A1BC1
d
ba
c
d
?
ba
Основные приемы дополнительных
построений. (Теория).
Построение 5.
S1
Построение 6.
S1
S2
S2
S1  S2
S1  S2
Основные приемы дополнительных построений.
Задачи-иллюстрации.
7
20
Задача 1.
В трапеции одна из боковых
сторон равна 20. К ней из
середины другой боковой
стороны проведен
перпендикуляр длиной 7.
• Найти площадь трапеции.
Решение:
1) Достроим до параллелограмма.
2) Площадь параллелограмма будет равна площади трапеции.
S  20  7  140
Основные приемы дополнительных построений.
Задачи-иллюстрации.
Задача 2.
Стороны трапеции равны 4, 7, 12 и 5.
Найти ее площадь
4
5
7
Решение:
1) Перенесем параллельно сторону трапеции.
12
8
2) Найдем площадь получившегося треугольника: S
3) Найдем высоту трапеции и треугольника:
4) Тогда площадь трапеции равна
S
h
 10  2  3  5  5 3
2S 2  5 3 5 3


a
8
4
4  12 5 3

 10 3
2
4
Основные приемы дополнительных построений.
Задачи-иллюстрации.
Задача 3.
10
12
12
В трапеции диагонали
перпендикулярны. Их
длины равны 10 и 12.
Найдите площадь трапеции.
Решение:
1) Перенесем одну из диагоналей параллельно.
2) Площадь получившегося треугольника равна площади трапеции.
Sтрап  Sтреуг
10  12

 60
2
Площади элементов трапеции. Теория.
Свойства:
2
1) S1  a 
a
S1
 
S3
b
S2
S4
2)
S2  S4
S3
3) S 2 
b
S1  S3
Площади элементов трапеции.
Задачи-иллюстрации.
Задача 1.
2
44x
S  10
S=10
25
25x
Длины оснований трапеции равны 2
и 5. Площадь треугольника,
прилегающего к одной из
боковых сторон равна 10.
Найдите площадь всей трапеции.
Решение:
5
По свойству получаем:
10  4 x  25 x  10 x 
Ответ: площадь всей трапеции равна 4+10+10+25=49.
x 1
Площади элементов трапеции.
Задачи-иллюстрации.
Задача 2.
B
S=6
S=15
S=9
S=4
K
S=6
S=15
M
А
D
Точка М, лежащая на стороне
параллелограмма ABCD,
C
соединена с вершиной В.
Диагональ АС пересекает
отрезок ВМ в точке К.
Площадь треугольника КВС
равна 6, площадь
треугольника КМС равна 4.
Найти площадь исходного
параллелограмма.
Ответ: площадь всего параллелограмма равна 30.
Трапеция, описанная вокруг
окружности. Теория.
Свойство 1.
Свойство 2.
a
a
b
d
c
Окружность можно вписать в
трапецию тогда и только тогда,
когда сумма оснований трапеции
равна сумме боковых сторон.
ac bd
d
1)
2)
b
h
1)r 
2
2) S  pr
c
Радиус вписанной окружности
равен половине высоты трапеции.
Площадь трапеции равна
произведению полупериметра на
радиус.
Трапеция, описанная вокруг
окружности. Теория.
• Свойство 3.
1)
2)
3)
Центр вписанной
окружности – точка
пересечения биссектрис.
Боковая сторона трапеции
видна из центра вписанной
окружности под прямым
углом.
Радиус равен среднему
пропорциональному
отрезков боковой стороны.
r  mn
n
r
O
m
Трапеция, описанная вокруг окружности.
Задачи-иллюстрации.
Задача 1.
Точка касания высекает на боковой
стороне трапеции отрезки
длиной 4 и 9.
• Найти радиус вписанной
окружности и высоту.
Задача 2.
В равнобедренную трапецию с
основаниями 9 и 16 вписана
окружность.
• Найти высоту трапеции.
9
4
O
?
9
16
Трапеция, описанная вокруг окружности.
Задачи-иллюстрации.
Задача 3.
1
O
25
В равнобедренную
трапецию вписана
окружность. Отрезки,
высекаемые на
боковой стороне
точкой касания, равны
1 и 25.
• Найти площадь
трапеции.
Трапеция, вписанная в окружность.
Теория.
Свойство 1.
Свойство 2.
В окружность можно вписать
трапецию тогда и только тогда,
когда она является
равнобедренной.
В равнобедренной трапеции высота,
проведенная к основанию, делит
ее на два отрезка, больший из
которых равен средней линии.
ab
2
Трапеция, вписанная в окружность.
Задачи-иллюстрации.
Задача 1.
Центр окружности, описанной вокруг
трапеции, лежит на ее основании.
Основания равны 12 и 20.
• Найти диагональ и боковую
сторону этой трапеции.
Задача 2.
В равнобедренной трапеции
диагональ равна 5, а средняя
линия 4.
• Найдите площадь трапеции.
12
?
?
20
5