***** 1 - сайт учителя математики

Взаимное расположение
плоскостей в пространстве
Выполнила:
Ученица 10"а" класса
Николайчук Анастасия Денисовна
Рецензент:
учитель математики
Клычникова Ольга Александровна
Введение.
• Почему я выбрала эту тему. Когда на уроках геометрии мы
проходили эту тему, многим она была непонятна, часто
допускались ошибки. Кроме того, в школьном курсе эта тема
изложена не полностью, но в ЕГЭ очень много задач на
нахождение угла между плоскостями. Поэтому я считаю
нужным более подробно изучить данную тему.
• Цели. Подробнее изучить взаимное расположение плоскостей.
• Задачи:
1)Рассмотреть три случая взаимного расположения плоскостей,
сравнивая с уже изученным.
2)Рассмотреть дополнительные понятия, свойства, теоремы, не
изучавшиеся в школьном курсе.
3) Научиться решать задания С2 из вариантов ЕГЭ, связанные с
данной темой.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИ.
Прямые на плоскости могут быть
Пересекающимися
Перпендикулярными
Параллельными
а
а
b
O
а
O
b
b
• Две прямые называются на плоскости пересекающимися, если
они имеют одну единственную общую точку. Эта общая точка
двух прямых называется точкой пересечения прямых. Точка
пересечения разбивает каждую из пересекающихся прямых на
два луча.
• Две прямые называются на плоскости перпендикулярными,
если они пересекаются под прямым углом .
• Две прямые на плоскости называются параллельными, если
они не пересекаются .
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ
ПЛОСКОСТЕЙ
• Так же, как и прямые, плоскости имеют три
взаимных расположения.
Плоскости могут быть
Пересекающимися
Перпендикулярными
Параллельными
•
•
•
Две плоскости называют пересекающимися, если они не совпадают, и у них
есть общие точки. В случае, когда две плоскости пересекаются, пересечением
этих плоскостей является прямая линия.
Две пересекающиеся плоскости называются перпендикулярными, если угол
между ними равен девяноста градусам.
Две плоскости называют параллельными, если они не имеют общих точек.
α
α
β
c
β
ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПЛОСКОСТИ.
Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной
плоскости соответственно параллельны двум прямым другой
плоскости, то эти плоскости параллельны.
Доказательство:
1) Рассмотрим две плоскости α и β.
2) a∩b; a,b ∈α. a1∩b1; a1, b1 ∈ β .a//a1 и b//b1.
Докажем, что α//β.
3) По признаку параллельности прямой и плоскости
a//β и b//β.
4) Допустим, α и β не параллельны. Тогда α ∩ β =с.
Отсюда следует, что a//c (Так как если плоскость
проходит через данную прямую, параллельную
другой плоскости, и пересекает эту плоскость,то
линия пересечения плоскостей параллельна
данной прямой).
5) Но плоскость α проходит также через прямую b,
параллельную плоскости β. Поэтому b//c . Таким
образом, через точку М проходят две прямые а и
b, параллельные прямой с. Но это невозможно,
так как по теореме о параллельных прямых через
точку М проходит только одна прямая,
параллельная прямой с. Значит, наше допущение
неверно и α//β . Теорема доказана.
Свойства параллельных
плоскостей:
1)Если две параллельные
плоскости пересечены
третьей, то линии их
пересечения
параллельны.
2) Отрезки параллельных
прямых, заключенные
между
параллельными
плоскостями, равны.
ДВУГРАННЫЙ УГОЛ.
• Чтобы перейти к
понятию двугранного
угла, вспомним, что
такое угол на плоскости.
Мы знаем, что такое
угол на плоскости и как
он измеряется.
• Фигура, образованная
двумя лучами,
исходящими из одной
точки, называется углом
• Линейный угол измеряется вопервых, в градусах и, во-вторых,
в радианах.
• Напомним, что такое радиан.
• Если мы имеем центральный
угол, длина дуги которого равна
радиусу, то такой центральный
угол называется углом в 1
радиан
• Для того, чтобы связать градусы
и радианы, нужно знать, сколько
раз во всей окружности уложится
радиус целиком. Это мы знаем.
Есть формула
• l=2πR=> 360°=2πрад, значит, во
всей окружности укладывается
2π радиан, значит, 2πрад – это
полный угол 360°.
• Получаем, что 180°=πрад.
Поэтому π=180°, π/2=90°,
π/3=60°, π/4=40°,π/6=30°
Двугранный угол
• Напомним, что любая прямая,
проведенная в данной плоскости,
разделяет эту плоскость на две
полуплоскости.
• Двугранный угол —
пространственная геометрическая
фигура, образованная двумя
полуплоскостями, исходящими из
одной прямой, а также часть
пространства, ограниченная этими
полуплоскостями. Полуплоскости,
образующие двугранный угол,
называются его гранями. Прямая а
— общая граница полуплоскостей
— называется ребром двугранного
угла.
Линейный угол
α
β
• Двугранные углы измеряются
линейным углом, то есть
углом, образованным
пересечением двугранного
угла с плоскостью,
перпендикулярной к его
ребру. Таким образом, чтобы
измерить двугранный угол,
можно взять любую точку на
его ребре и перпендикулярно
ребру провести из неё лучи в
каждую из граней. Линейный
угол между этими двумя
лучами и будет равен по
величине двугранному углу
Теорема. Все линейные углы
двугранного угла равны друг другу.
• Рассмотрим два
линейных угла АОВ и
А1О1В1. Лучи ОА и О1А1
лежат в одной грани и
перпендикулярны к
прямой ОО1 , поэтому
они сонаправлены. Точно
так же сонаправлены
лучи ОВ и О1В1 Поэтому
угол А1О1В1=углу АОВ
(как углы с
сонаправленными
сторонами).
Теорема. Равным двугранным углам соответствуют равные
линейные углы. Большему двугранному углу соответствует
больший линейный угол.
•
•
•
•
•
Пусть PABQ и P1A1B1Q1— два двугранных угла
Вложим угол А1В1 в угол АВ так, чтобы ребро
А1В1 совпало с ребром АВ и грань P1 с гранью Р
Если эти двугранные углы равны, то грань Q1
совпадет с гранью Q; если ее угол А1В1 меньше
угла АВ, то грань Q1 займет некоторое
положение внутри двугранного угла, например
Q2
Возьмем на общем ребре какую-нибудь точку В
и проведем через нее плоскость α,
перпендикулярную к ребру АВ
От пересечения этой плоскости с гранями
двугранных углов получатся линейные углы.
Ясно, что если двугранные углы совпадут, то у
них окажется один и тот же линейный угол CBD;
если ее двугранные углы не совпадут, если,
например, грань Q1 займет положение Q2, то у
большего двугранного угла окажется больший
линейный угол (именно: угол CBD >угла C2BD).
Обратные теоремы:
• Равным линейным углам соответствуют
равные двугранные углы.
• Большему линейному углу соответствует
больший двугранный угол.
Следствия:
• Прямому двугранному углу соответствует
прямой линейный угол, и обратно.
• Все прямые двугранные углы равны,
потому что у них равны линейные углы.
• Вертикальные двугранные углы равны.
• Двугранные углы с соответственно
параллельными гранями равны.
Двугранный угол, как и линейный, называется
прямым (острым, тупым), если он равен 90°
(меньше 90°, больше 90°).
ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ
ПЛОСКОСТИ.
• Две пересекающиеся плоскости называются
перпендикулярными, если угол между
ними равен девяноста градусам.
Теорема. Если одна из двух плоскостей проходит через
прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие
плоскости перпендикулярны.
Доказательство:
1)
Плоскости α и β , α
проходит через АВ┴β и α∩
АB=A.
2) Докажем, β ∩ α =АС,
причем АВ┴АС, так как
АВ┴β и, значит, прямая АВ
┴ к любой прямой∈ β.
3) AD∈β, AD┴AC. Тогда <BAD
— линейный угол
двугранного угла,
образованного при
пересечении плоскостей α
и β. Но BAD= 90° (так как
AB┴β ). Следовательно,
угол между плоскостями а
и равен 90°, т. е. α┴β
Теорема доказана.
• Следствие из теоремы. Плоскость,
перпендикулярная к прямой, по которой
пересекаются две данные плоскости,
перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.
ДВУГРАННЫЕ УГЛЫ В ЖИЗНИ
Большинство двугранных углов прямые
Острый угол
Тупой угол
ТРЕХГРАННЫЙ УГОЛ.
• Трёхгранный угол — это часть
пространства, ограниченная тремя
плоскими углами с общей вершиной и
попарно общими сторонами, не
лежащими в одной плоскости. Общая
вершина О этих углов называется
вершиной трёхгранного угла. Стороны
углов называются рёбрами, плоские
углы при вершине трёхгранного угла
называются его гранями. Каждая из
трёх пар граней трёхгранного угла
образует двугранный угол.
• Линейный угол трехгранного угла- это
плоский угол, образованный одним
ребром и высотой противоположной
грани.
Свойства трехгранного угла.
1) Каждый плоский угол трёхгранного угла
меньше суммы двух других его плоских
углов.
2) Сумма плоских углов трёхгранного угла
меньше 360 градусов.
МНОГОГРАННЫЙ УГОЛ
Многогранный угол – это фигура,
составленная из n плоских углов, не
лежащих в одной плоскости, причем
несмежные углы не имеют общих
точек. Общая точка этих углов
называется вершиной.
Многогранный угол называется
выпуклым, если он лежит по одну
сторону от плоскости каждого из
своих плоских углов.
Свойства многогранного угла:
1) Для любого выпуклого
многогранного угла существует
плоскость, пересекающая все его
ребра.
2) Сумма плоских углов выпуклого
многогранного угла меньше 360°.
•
•
•
•
•
•
•
H – середина BC
AH, AH1┴BC
A1HA – искомый угол
AA1=1
AH=√3
tgA1HA=1/√3
A1HA=30°
•
•
•
•
•
•
•
BQ┴MK, SQ=QO
QO┴MK, OB┴MK
QBO – искомый угол
BO=4√2
SO=2√17
QO=√17
tgQBO=√34/8
• EH┴KB.
• AH┴KB
• EHA – линейный
угол.
• AE=5/3
• AK=2
• BK=√5
• AH=2/√5
• AHE=arctg5√5/2
•
•
•
•
•
•
•
h= 2√3
DD1┴(ABC)
BD1D – искомый угол
DD1=2√3
BD=6
tg=√3
BD1D=60°
Вывод.
• Мы рассмотрели все случаи взаимного
расположения плоскостей, узнали, что такое
двугранный, трехгранный, многогранные углы
и как они измеряются, познакомились с
дополнительными свойствами и теоремами о
двугранном угле, научились решать задачи С2
из ЕГЭ. Изучая новую тему, мы закрепили уже
изученный материал. Теперь мы лучше
разбираемся в этой теме, а, следовательно,
можем рассчитывать на большие баллы в ЕГЭ.