Рунге- Кутта

Федеральное государственное бюджетное
образовательное учреждение высшего
образования «Московский государственный
университет технологий и управления им К.Г.
Разумовского»
Кафедра «Информационные технологии»
Рунге- Кутта
Выполнила: Скребцова О.А
Студентка 3 курса
специальности 230100.62
Руководитель: Николаева С.В
Москва 2015
1
Рунге
2
Рунге
 Карл Дави́д Тольме́ Ру́нге (Carl David Tolmé Runge) (30
августа 1856 — 3 января 1927) — немецкий математик,
физик и спектроскопист.
 Первые годы своей жизни провёл в Гаване, где его отец
Юлиус Рунге был датским консулом. Позже семья
перебралась в Бремен, где его отец умер (в 1864 году).
3
Рунге
 Учился в Берлинском университете, в 1880 году
получил степень доктора философии по математике, с
1886 года — профессор математики в Ганноверском
университете. В 1904 году по инициативе Феликса
Клейна приглашён в Университет Георга Августа в
Гёттингене и возглавил вновь открытую кафедру
прикладной математики. Считается исторически
первым немецким математиком по этой дисциплине.
4
 Ещё в Ганновере внёс вклад в спектроскопию. Совместно с Г.
Кайзером исследовал спектры, интенсивность спектральных линий,
различие между искровыми и дуговыми спектрами, установил серии
линий для многих элементов, в частности для щелочных и
щелочноземельных, открыл ряд закономерностей в их спектрах.
 В Гёттингене, совместно с М. Куттой разработал методы численного
интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений
— методы Рунге — Кутты. Исследовал поведение полиномиальной
интерполяции при повышении степени полиномов — Феномен Рунге.
 В области функционального анализа исследовал аппроксимируемость
голоморфных функций — теорема Рунге.
 Известна его работа в области векторного анализа — Вектор Лапласа —
Рунге — Ленца.
 Его именем назван Кратер Рунге на Луне.
5
6
Кутта
7
Кутта
 Ма́ртин Вильге́льм Ку́тта (нем. Martin Wilhelm Kutta, 3
ноября 1867 — 25 декабря 1944) — немецкий
математик. Является соавтором известного
семейства методов приближённого интегрирования
обыкновенных дифференциальных уравнений
(методов Рунге — Кутты). Также известен благодаря
аэродинамической поверхности Жуковского — Кутты
и аэродинамическому условию Кутты, теорема
Жуковского в зарубежной литературе называется
теоремой Кутты — Жуковского.
8
Кутта
 Родился в Пичене, Верхней Силезии (современной Бычине,
Польша). Учился в Бреславском университете с 1885 по 1890
годы и продолжил обучение в Мюнхене до 1894 года, где
стал ассистентом В. Дика (нем.). С 1898 проводит год в
университете Кембриджа. Кутта стал профессором в
Штутгарте в 1911 году, где продолжал работать до выхода на
пенсию в 1935 году.
 В 1901 году разработал известное семейство методов
приближённого решения обыкновенных дифференциальных
уравнений и их систем.
 Умер в Фюрстенфельдбруке, Германия.
9
 Методы Рунге-Кутты — важное семейство численных
алгоритмов решения обыкновенных
дифференциальных уравнений и их систем. Данные
итеративные методы явного и неявного
приближённого вычисления были разработаны около
1900 года немецкими математиками К. Рунге и М. В.
Куттой.
10
 Формально, методом Рунге — Кутты является модифицированный и
исправленный метод Эйлера, они представляют собой схемы
второго порядка точности. Существуют стандартные схемы третьего
порядка, не получившие широкого распространения. Наиболее
часто используется и реализована в различных математических
пакетах стандартная схема четвёртого порядка. Иногда при
выполнении расчётов с повышенной точностью применяются схемы
пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого
порядка сопряжено с большими вычислительными трудностями.
Методы седьмого порядка должны иметь по меньшей мере девять
стадий, в схему восьмого порядка входит 11 стадий. Хотя схемы
девятого порядка не имеют большой практической значимости,
неизвестно, сколько стадий необходимо для достижения этого
порядка точности. Аналогичная задача существует для схем
десятого и более высоких порядков.
11
Классический метод Рунге — Кутты
четвёртого порядка
Метод Рунге — Кутты четвёртого порядка столь широко распространён, что его
часто называют просто методом Рунге — Кутты.
Рассмотрим задачу Коши
Тогда приближенное значение в последующих точках вычисляется по
итерационной формуле:
12
Классический метод Рунге — Кутты
четвёртого порядка
Вычисление нового значения проходит в четыре стадии:
где h- величина шага сетки по x
Этот метод имеет четвёртый порядок
точности, то есть суммарная ошибка на
конечном интервале интегрирования
имеет порядок
(ошибка на каждом шаге порядка
)
13
Прямые методы Рунге — Кутты
Семейство прямых методов Рунге — Кутты является обобщением метода
Рунге — Кутты четвёртого порядка. Оно задаётся формулами
где h величина шага сетки по и вычисление нового
значения проходит в этапов:
14
Неявные методы Рунге-Кутты
Все до сих пор упомянутые методы Рунге-Кутты являются явными методами. К
сожалению, явные методы Рунге-Кутты, как правило, непригодны для решения
жестких уравнений, из-за малой области абсолютной устойчивости. Этот
вопрос особенно важен при решении дифференциальных уравнений в частных
производных.
Нестабильность явных методов Рунге-Кутты мотивирует развитие неявных
методов. Неявный метод Рунге-Кутты имеет вид
где
15
Произношение
 Согласно грамматическим нормам русского языка,
фамилия Ку́тта склоняется, поэтому говорят:
«Метод Ру́нге — Ку́тты». Правила русской
грамматики предписывают склонять все мужские и
женские фамилии, оканчивающиеся на -а, -я,
которым предшествует согласный. Единственное
исключение — фамилии французского
происхождения с ударением на последнем слоге
типа Дюма́, Золя́. Однако, иногда встречается
несклоняемый вариант «Метод Ру́нге — Ку́тта»