Численные методы решения ОДУ - Томский государственный

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Национальный исследовательский Томский государственный университет
УТВЕРЖДАЮ:
Декан ФФ
________________ О. Н. Чайковская
«_____»__________________ 2014 г.
Рабочая программа дисциплины
ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ
ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Направление подготовки
03.06.01 «Физика и астрономия»
Квалификация (степень) выпускника
Исследователь, преподаватель-исследователь
Форма обучения
Очная
Направленность
01.03.01 «Астрометрия и небесная механика»
Статус дисциплины:
ФТД.1 «Факультативные дисциплины»
Программа одобрена на заседании учебно-методической
комиссии факультета (института) ____________________
Томского государственного университета
от «____» ___________ 2014 года, протокол № _________
г. Томск — 2015
Рабочая программа составлена на основании федеральных государственных образовательных стандартов к основной образовательной программе высшего образования подготовки научно-педагогических кадров в аспирантуре по направлению 03.06.01 «Физика и
астрономия».
Автор-разработчик: Авдюшев В.А., д.ф.-м.н., профессор
1. Цели освоения дисциплины
Целью курса является развитие у аспирантов навыков в применении широко используемых в небесной механике численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. Рабочая программа рассчитана на два семестра для изучения дисциплины.
Задачи курса
В результате лекционных, практических и самостоятельных занятий в рамках предложенной программы аспирант должен:
 знать излагаемые методы;
 иметь представление о целесообразности применения методов в тех или иных прикладных задачах;
 уметь реализовывать методы на практике.
2. Место дисциплины в структуре ООП
Дисциплина относится к циклу факультативных дисциплин подготовки аспиранта. К моменту изучения курса «Численные методы решения ОДУ» аспиранты должны знать основы математических дисциплин, включая линейную алгебру, математический анализ, теорию дифференциальных уравнений.
3. Требования к результатам освоения дисциплины
3.1. Компетенции, формируемые в результате освоения дисциплины:






способность к критическому анализу и оценке современных научных достижений,
генерированию новых идей при решении исследовательских и практических задач,
в том числе в междисциплинарных областях (УК-1);
способность проектировать и осуществлять комплексные исследования, в том числе междисциплинарные, на основе целостного системного научного мировоззрения
с использованием знаний в области истории и философии науки (УК-2);
готовность участвовать в работе российских и международных исследовательских
коллективов по решению научных и научно-образовательных задач (УК-3);
готовность использовать современные методы и технологии научной коммуникации на государственном и иностранном языках (УК-4);
способность планировать и решать задачи собственного профессионального и личностного развития (УК-5).
способность к самостоятельному проведению научно-исследовательской работы и
получению научных результатов, удовлетворяющих установленным требованиям к
содержанию диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук по направленности 01.03.01 «Астрометрия и небесная механика» (ПК-1).
3.2. Требования к результатам освоения содержания дисциплины:





умение составлять дифференциальные уравнения динамических систем (в частности, орбитального движения) в соответствии с физической постановкой задачи;
владение современными методами численного интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений;
способность реализовать программно численные методы интегрирования с использованием процедурных языков программирования;
умение анализировать получаемые результаты численного интегрирования, а также
оценивать методическую и вычислительную точность;
умение обучать студентов методам численного интегрирования обыкновенных
дифференциальных уравнений, описывающих динамические системы.
4. Структура и содержание дисциплины
Формы текущего контроля (по неделям семестра) Форма промежуточной аттестации (по
семестрам)
2
Определения погрешностей и
оценивание погрешностей.
Трудоемкость интегрирования
и ее оценивание.
9
2
2
2
1
Устное
обсуждение
9
3
2
2
1
Устное
обсуждение
Методы Рунге–Кутты. Первые
методы Рунге–Кутты. Явные
методы Рунге–Кутты. Условия
порядка.
9
4
2
1
Оценка методической погрешности и выбор шага интегрирования.
9
5
2
1
Индивид.
самост. раб.
1
Сам. работа
с препод.
9
Лабораторные
Неделя семестра
Прямые и обратные задачи
небесной механики. Численное моделирование орбиты и
возникновение погрешностей.
Лекции
Семестр
№
п/п
Общая трудоёмкость дисциплины составляет 2 зачётные единицы, 72 часа.
Виды учебной работы,
включая самостоятельную
работу аспирантов и труРаздел
доемкость (в часах)
дисциплины
Модуль 1
1.
2.
1
Модуль 2
3.
Метод разложения в ряд Тейлора. Метод Стефенсона.
Модуль 3
4.
5.
6.
Экстраполяция Ричардсона.
Вложенные методы Рунге–
Кутты. Неявные методы Рунге–Кутты.
9
6
2
1
Порядок и шаг метода при
компьютерной реализации метода. Коллокационные методы.
9
7
2
1
Методы Гаусса. Интегратор
Гаусса–Эверхарта.
9
8
2
Экстраполяционные методы.
Общий подход. Алгоритм Эйткена–Невилла.
9
9
2
Метод Грэгга–Булирша–
Штера. Выбор шага.
9
10
2
Многошаговые методы. Методы Адамса. Формулы дифференцирования.
9
11
2
1
Реализация неявных методов.
Схема предиктор–корректор.
Линейные многошаговые методы. Условия порядка многошаговых методов.
9
12
2
1
Условия порядка многошаговых методов. Устойчивость по
Далквисту.
9
13
2
1
Наивысший достижимый порядок для устойчивых методов. Оценка локальной погрешности. Выбор шага.
9
14
2
2
Геометрические методы.
Уравнения гармонического
осциллятора. Негеометричность методов Эйлера.
9
15
2
1
16.
Модифицированные методы
Эйлера. Проекционный метод.
9
16
2
1
17.
Простые симплектические и
симметричные методы.
9
17
2
1
18.
Метод Штермера–Верле. Метод Йошиды.
9
18
2
1
19.
Методы Гаусса и многошаго-
9
19
2
7.
8.
2
2
Устное
обсуждение
Модуль 4
9.
10.
1
2
1
Устное
обсуждение
Модуль 5
11.
12.
13.
14.
Устное
обсуждение
Модуль 6
15.
2
2
Устное
обсуждение
вые методы как геометрические. Особенности в реализации симплектических методов.
Промежуточная аттестация
Всего часов
5
2
2
38
12
Зачет
22
5. Образовательные технологии
Дисциплина предусматривает широкое использование в учебном процессе активных и
интерактивных форм проведения лекций в сочетании с внеаудиторной работой с целью
формирования и развития профессиональных навыков обучающихся.
Большая часть лекций курса читается в традиционной форме (маркер и доска), лекции
по некоторым темам сопровождаются презентациями в системе PowerPoint. Используются
такие интерактивные подходы к обучению как общая дискуссия и творческие задания, а
также выполнение индивидуального учебного или научного проекта (предполагается, что
аспиранты, выбравшие этот курс, работают над кандидатской диссертацией по данной теме).
6. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины и учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы аспирантов.
Примерная тематика проверочных заданий к лекциям.
Проверочные вопросы к модулю 1
Сформулировать прямую и обратную задачи.
Что называется математической и численной моделью?
Какие бывают погрешности?
Проверочные вопросы к модулю 2
Сформулировать идею метода разложения в Тейлора.
Проверочные вопросы к модулю 3
Принципы построения методов Рунге–Кутты.
Идея вложенных методов Рунге–Кутты.
Принципы построения коллокационных методов.
В чем преимущество методов Гаусса над обычными (неявными) методами?
Проверочные вопросы к модулю 4
Основная идея экстраполяционных методов.
В чем примечательная особенность метода Грэгга?
Проверочные вопросы к модулю 5
Основные принципы построения методов Адамса.
Реализация неявных методов Адамса.
К чему приводит неустойчивость многошаговых схем интегрирования?
Как осуществляется выбор переменного шага в методах Адамса?
Проверочные вопросы к модулю 6
В чем особенность геометрических методов интегрирования?
Как сделать методы Эйлера геометрическими?
Получение методов Штермера–Верле.
Построение методов Йошиды.
Экзаменационные билеты по курсу
«Современные численные методы решения ОДУ»
1. Основные составляющие численной модели орбитального движения
2. Метод разложения в ряд Тейлора
3. Явные методы Рунге–Кутты. Вложенные методы
4. Практическая оценка погрешности метода Рунге–Кутты
5. Неявные коллокационные методы Рунге–Кутты
6. Методы Гаусса. Интегратор Гаусса–Эверхарта
7. Экстраполяционные методы
8. Метод Грэгга–Булирша–Штера
9. Методы Адамса
10. Неустойчивость многошаговых методов
11. Выбор переменного шага в методах Адамса
12. Геометрические методы Эйлера
13. Методы Штермера–Верле
14. Симметричные методы
15. Методы Йошиды
7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины
Основная литература.
1. Хайрер Э., Нерсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных
уравнений. Нежесткие задачи. М.: Мир, 1990.
2. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.
3. Авдюшев В.А.Численное моделирование орбит. Томск: Изд-во НТЛ, 2010.
Дополнительная литература
1. Butcher J. Numerical Methods for Ordinary Differential Equations. John Wiley & Sons,
2003.
4. Everhart E. Implicit Single Sequence Methods for Integrating Orbits // Cel.~Mech. 1974.
V. 10. P. 35–55.
2. Hairer E., Lubich C., Wanner G. Geometric Numerical Integration Structure-Preserving
Algorithms for Ordinary Differential Equations. Springer Series in Computational Mathematics. V. 31. Berlin: Springer, 2002.
Программное обеспечение и Интернет-ресурсы
Пакет приложений Microsoft Office. Система компьютерной верстки MiKTeX. Компиляторы языков программирования Fortran и Delphi. Программные продукты компании
Golden Software. Материально-информационная база Научной библиотеки ТГУ. Мультимедийное оборудование физического факультета ТГУ. Сеть Интернет. Интерактивная база
научных работ по астрономии и физике Astrophysics Data System (ADS).
Программа составлена в соответствии c паспортом специальности 01.03.01 — Астрометрия и небесная механика
Автор, профессор
Авдюшев В.А.