PowerPoint - Томский политехнический университет

Национальный исследовательский
Томский политехнический университет
Лектор Новосельцева Мария Викторовна
Ассистент кафедры Теоретической и прикладной механики
Кручение
Кручением называется такой вид деформации, при
котором в поперечных сечениях бруса возникает
только один внутренний силовой фактор – крутящий
момент T .
Этот вид деформации возникает при приложении к
брусу пар сил, плоскости действия которых
перпендикулярны его оси. Такие брусья принято
называть валами.
ПРИМЕР
К стальному валу постоянного поперечного сечения
приложены четыре внешних скручивающих момента:
M1  1,5кН  м;
M 2  5,5кН  м;
M 3  3,2кН  м;
M 4  1,8кН  м
Длины участков стержня:
a  1,5 м;
b  1,5 м;
c  1,5 м;
d  1,5 м;
Требуется:
• построить эпюру крутящих моментов;
• построить эпюру углов закручивания поперечных сечений
стержня;
• построить эпюру напряжений.
M1
MA
а
M3
M2
b
c
M4
d
Определение момента сил в заделке
Определяем момент сил в заделке:
M A  M1  M 2  M 3  M 4  0
или
M A  M1  M 2  M 3  M 4  2кН  м
Определение крутящих моментов
Сечение 1-1 :
Т1   М 4  1,8кН  м
M1
MA
а
M3
M2
b
c
I
I
d
M4
Сечение 2-2 :
Т 2   М 4  М 3  5,0кН  м
M1
MA
M2
II
II
а
b
c
M3
I
I
d
M4
Сечение 3-3 :
Т 3   М 4  М 3  М 2  0,5кН  м
M1
MA
а
III
III
b
M2
II
II
c
M3
I
I
d
M4
Сечение 4-4 (рассматриваем левую часть) :
Т 4  М А  2кН  м
MA
IV M1
III
IV
III
b
а
M2
II
II
c
M3
I
I
d
M4
MA
IV M1
III
IV
III
b
а
2,0
T, кН м
M2
II
M3
II
I
M4
I
d
c
2,0
+
0,5
Эпюра крутящих
моментов
0,5
5,0
1,8
5,0
1,8
Определение напряжений
Наибольшие касательные напряжения возникают
в точках на поверхности вала:
max
где
Wp 
Jp
r
Tr T


J p Wp
(7)
- полярный момент сопротивления
(моментом сопротивления
при кручении)
Полярный момент инерции для круглого
сечения:
d
4
Jp 
 0,1d ; d = 7 см
32
4
J p = 240,1
Полярный момент сопротивления:
Wp 
Jp
r
W p = 240,1/3,5= 68,6
𝜏1 =
𝑇1
𝑊𝑝
=
𝜏2 =
𝑇2
𝑊𝑝
𝜏3 =
𝑇3
𝑊𝑝
𝜏4 =
𝑇4
𝑊𝑝
−180
68.6
= −2,63
=
−500
68.6
=
50
68.6
=
200
68.6
= −7,29
= 0,72
= 2,91
MA
IV M1
III
IV
III
b
а
2,0
T, кН м
M2
II
II
M4
I
d
c
2,0
0,5
+
Эпюра крутящих
моментов
0,5
2,91
𝜏
I
M3
5,0
2,91
+
0,72
1,8
1,8
5,0
0,72
Эпюра напряжений
7,29
2,63
7,29
2,63
Определение углов закручивания
Полярный момент инерции для круглого
сечения:
4
d
4
Jp 
 0,1d
32
Вычисляем крутильную жесткость:
GJ p  0,8  10  0,1  7  192  10 кН  см
4
4
4
2
Углы закручивания на участках:
- участок АВ
T4a 200 150
 AB 

 0,0156 рад
4
GJ p 192 10
MA
IV M1
III
C
B
A
IV
а
M2
II
III
b
M3
I
E
D
II
c
M4
I
d
Углы закручивания на участках:
- участок ВС
T3в
50  200


 0,0052 рад
4
GJ p 192  10
ВС
MA
IV M1
III
C
B
A
IV
а
M2
II
III
b
M3
I
E
D
II
c
M4
I
d
Углы закручивания на участках:
- участок CD
T2c  500  100
CD 

 0,0260 рад
4
GJ p
192  10
MA
IV M1
III
C
B
A
IV
а
M2
II
III
b
M3
I
E
D
II
c
M4
I
d
Углы закручивания на участках:
- участок DE
DE
T3в  180 120


 0,0113 рад
4
GJ p 192  10
MA
IV M1
III
C
B
A
IV
а
M2
II
III
b
M3
I
E
D
II
c
M4
I
d
Угол закручивания в заделке равен нулю:
A  0
Поэтому:
B   A   AB  0  0,0156  0,0156 рад
С  B  BC  0,0156  0,0052  0,0208 рад
D  C  CD  0,0208  0,0260  0,0052 рад
E  D  DE  0,0052  0,0113  0,0165 рад
MA
IV M1
III
IV
III
b
а
2,0
II
II
M4
I
d
c
0,5
Эпюра крутящих
моментов
0,5
2,91
𝜏
I
M3
2,0
+
T, кН м
M2
1,8
2,91
0,72
+
0,72
5,0
5,0
Эпюра напряжений
0,0156
0,0208
1,8
2,63
2,63
7,29
Эпюра углов
закручивания
𝜑
0,0052
0,0165