Volume of fluid method

Обобщенная задача термоупругости GNIII
Автор работы:
Е. С. Koсьяненко
Санкт-Петербург 2015
1
Введение
Классическая теория термоупругости основана на законе
теплопроводности Фурье: h  * 1
В LS-теории получено
гиперболическое уравнение
распространения тепла, основанное на новом законе
теплопроводности: h   rel h  * (2)
GL-теория характеризуется тем, что вектор потока тепла в
термоупругом теле зависит от скорости изменения абсолютной
температуры и градиента температуры: h  b  *  (3)
GN-теория
полностью
согласуется
с
принципами
термодинамики необратимых процессов и развита в общей
нелинейной форме в трех вариантах (I, II, III).
GNIII-теория характеризуется тем, что вектор потока тепла
линейно зависит как от градиента температуры, так и от
градиента температурного смещения: h  *   (4)
2
Полная система соотношений GNIII-теории
h  *   (4),
Закон теплопроводности GNIII:
где h – вектор потока тепла, Λ – характерная скорость
теплопроводности, ϑ – температурное смещение.
div   u  0(5),
Уравнение движения:
где ρ – плотность среды, u – вектор перемещений.

  (6),
Уравнение баланса энергии: (  s )  tr (   )  h 

где ψ – плотность (на единицу объема) свободной энергии
Гельмгольца, s – плотность (на единицу объема) энтропии, ξ –
внутреннее производство энтропии (ξ ≥0).
2    u  (  u)T (7)
Соотношение Коши:
Условие конвективного теплообмена с окружающей средой
через поверхность с единичной нормалью n в линейном
приближении:
n  h   (  env )(8),
где σ – коэффициент теплообмена, θenv – температура
окружающей среды
3
Линейные связанные уравнения движения и
теплопроводности GNIII термоупругости
u  (   )  u     u  0
u – вектор перемещения среды
 (9)
из отсчетного состояния, ρ –
  *  k  0  u  0

плотность среды, λ, μ –
В скалярной форме:
упругие постоянные Ламе, θ –
приращение температуры, θ0 –
(  2 )u      u  0 
отсчетная температура, Λ –
 (10)
   *   k  0u  0
характерная
скорость
После обезразмеривания системы (10) теплопроводности, α =(1/3)(3
λ+2 μ)β* - термомеханическая
получим:
постоянная, β* - коэффициент
u*  *  u*  0

объемного
теплового
 (11)
расширения, k – теплоемкость
*  *  *  u*  0 

(на единицу объема) при
2
 bc
c
постоянной деформации.

, 
(12)
(  2 )a
(  2 )d 2
*
*
*2
d
,c 
,a 

0
k
k
, b  1(13)
*
4
Решение системы уравнений (11) будем искать в виде
экспоненты затухающей по координате:
u ( x, t )  u0 e (    i ) x e  iwt 
γ – дисперсия, δ – волновое

(14)
(    i ) x  iwt 
число, ω – частота.
T ( x, t )  T0 e
e


После подстановки получаем характеристическое уравнение,
делаем следующую замену, p и q – параметры:
 2  2 
p 
q 

w2
w2


 (16)



Найдем зависимости q1(p), q2(p), γ(q,p), δ(q,p), ω(q,p):
q1 ( p) 
q2 ( p) 
1
2 2
1
2 2
 ( p) 
(2 p 2  (  )  p(1    2 )   2 (  )2  p 2 ((1   )2  4(1   )  4 2 )  2 p (   2  3  (1  2 ))))(17)
(2 p 2  (   )  p(1    2 )   2 (   )2  p 2 ((1   ) 2  4(1   )  4 2 )  2 p (    2  3  (1  2 ))))(17)
p
p 2  4q 2
2
w( p) 
w(18)
 ( p) 
2qw
p
2q(1  2 p    )
(20)
2
2
 p  4q  p
p  4q
2
(19)
2
5
Результаты
Зная зависимости q(p), γ(q,p), δ(q,p), ω(q,p) можем построить
графики для затухания, фазовых и групповых скоростей.
μ
ν
q1
q2
  p  Q3
0    5  2 0   1  Q  p  0
1      1 Q  p  Q1 , Q2  p  0   p  Q1 , Q2  p  Q3
1    R1 Q  p   , Q2  p  0 Q2  p  Q3
5  2   1
  R1
0   1 
Q  p   , Q3  p  0 нет
Q p0
  p  Q3
1      R1 Q3  p  Q1 , Q2  p  0   p  Q1 ,
Q  p  Q1 , Q  p  
  p  Q1
R1    1
 1
 1
0   1
 1
Q2  p  Q3
Q3  p  0, Q  p  Q1 нет
  p  Q1
Q3  p  0, Q  p  
Q3  p  0, Q  p   нет
Табл.1. Интервалы изменения μ и ν и соответствующие им интервалы для параметра
0
1/3
2/3
3/3
р, R1        
6
1
1
Q  (1    ) 
1  2    2  2  2    2
2
2
   2  2  3 2  2 3
 3   2 3   4
Q1 
2
2
2
1  2    4  4  4
(1  2   2  4  4  4 2 ) 2
   2  2  3 2  2 3
 3   2 3   4
Q2 
2
2
2
1  2    4  4  4
(1  2   2  4  4  4 2 ) 2
1
1
Q3  (1    ) 
1  2    2  2  2  2
2
2
7
Графики (1ый вариант)
а)
б)
Pic. 2. Plot γ(w)
в)
Рис.1. а) зависимость
характеристики скорости затухания
от частоты; б)зависимость фазовой
скорости от частоты; в)
зависимость групповой скорости от
частоты; 1 – акустическая ветвь, 2 –
тепловая ветвь.
8
Графики (6ой вариант)
а)
б)
в)
Рис.2. а) зависимость
характеристики скорости затухания
от частоты; б)зависимость фазовой
скорости от частоты; в)
зависимость групповой скорости от
частоты; 1 – акустическая ветвь, 2 –
тепловая ветвь.
9
Спасибо за внимание
10