Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне

ТЕОРЕМА ПИФАГОРА
В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов.
У ЕВКЛИДА ЭТА ТЕОРЕМА ГЛАСИТ
«В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой
над прямым углом, равен квадратам на сторонах,
заключающих прямой угол».
В GEOMETRIA CULMONENSIS (ОКОЛО 1400 Г.)
«Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной
стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые
измерены по двум сторонам его, примыкающим к
прямому углу».
ПРОСТЕЙШЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО
Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае
равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно
просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников,
чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC :
квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а
квадраты, построенные на катетах -по два.
ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЕВКЛИДА
Рассмотрим
чертеж
На
нём
мы
квадраты
наполовине
сторонах
прямоугольного
Идея
доказательства
Евклида
состоит
впостроили
следующем:
попробуем
доказать,
чтосовершенно
половина
Попытаемся
доказать,
что площадь
квадрата
DECA
равна
площади
прямоугольника
AHJKплощади
Для
этого
Докажем
теперь,
чтослева.
площадь
треугольника
ACK
также
площади
квадрата
DECA.
Рассуждение
о равенстве
площадей
квадрата
BCFG
и равна
прямоугольника
BHJI
треугольника
и что
провели
из вершины
прямого
углаПлощадь
луч
s перпендикулярно
гипотенузе
AB,иACK
он
квадрата,
построенного
на
гипотенузе,
равна
сумме
половин
площадей
воспользуемся
вспомогательным
треугольника
сквадратов,
той
же высотой
Единственное,
необходимо
длянаблюдением:
этого
сделать,
—С это
доказать
равенство
треугольников
аналогично.
рассекает
ABIK,треугольника
на гипотенузе,
два
прямоугольника
—поBHJI
и HAKJ
построенных
на
катетах,
апостроенный
тогда
и площади
большого
инадвух
малых
квадратов
равны.
основанием,
что
и данный
прямоугольник,
равна
половине
площади
заданного
и BDA (так квадрат
как
площадь
BDA
равна
половине
площади
квадрата
указанному
Темсоответственно.
самым мы доказали,
что
площадь
квадрата,
построенного
на
гипотенузе,
слагается
из
площадитреугольники
данных
прямоугольников
в точности
равны
прямоугольника.
Это следствие
определения
площади
треугольника
как
половины
выше свойству).Оказывается,
Равенство
эточто
очевидно:
равны по двум
сторонам
и углу между
площадейквадратов,
квадратов,построенных
построенныхна
насоответствующих
катетах. Идея данного
доказательства дополнительно
площадям
произведения
основания
на высоту.
Из этого углов
наблюдения
вытекает,
что площадь
треугольника
ними. Именно
— AB=AK, AD=AC
— равенство
CAK икатетах.
BAD
легко доказать
методом
проиллюстрирована с помощью анимации, расположенной выше.
ACK
равна повернём
площади треугольника
(не90°
изображённого
на рисунке),
в свою что
движения:
треугольник AHK
CAK на
против часовой
стрелки, которая,
тогда очевидно,
Данное
доказательство
такжеплощади
получило
название «Пифагоровы
очередь,
равна половине
прямоугольника
AHJK. штаны».
соответствующие
стороны
двух
рассматриваемых
треугольников
совпадут (ввиду того, что угол
при вершине квадрата — 90°).
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ЭПШТЕЙНА
1. Проведем прямую EF, на которой лежат диагонали
Двух квадратов, построенных на катетах треугольника
И проведем прямую CD перпендикулярно EF через верШину прямого угла треугольника.
2. Из точек А и В Продлим стороны квадрата, построенного на гипотенузе треугольника, до пересечения с EF.
3. Соединим полученные на прямой EF точки с противоЛежащими вершинами квадрата и получим попарно равНые треугольники.
4. Заметим, прямая CD делит больший квадрат на две
Равные прямоугольные трапеции, которые можно разбить
На треугольники, составляющие квадраты на катетах. И
Получим квадрат со стороной, равной гипотенузе треугольника.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НИЛЬСОНА
1. Продлим сторону АВ квадрата, построенного на гипотенузе треугольника.
2. Построим прямую EF, параллельную ВС.
F
3. Построим прямую FH, араллельную АВ.
4. Построим прямую из точки D, параллельную СН.
H
5. Построим прямую из точки А, параллельную СG
6. Проведем отрезок MN, параллельный СН
В
7. Так как все фигуры, полученные в большем треугольнике равны фигурам
в
квадратах, построенных на катетах, значит площадь квадрата на гипотенузе
равна сумме площадей квадратов на катетах.
E
С
M
N
G
А
D
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО БАТХЕРА
1.
Проведем прямую, на которой лежат
диагонали квадратов, построенных на
катетах треугольника и опустим из
вершин квадратов параллельные отрезки
на эту прямую.
2.
Переставим большие и маленькие части
квадратов, расположенные над осью.
3.
Разобьем полученную фигуру как
указанно на рисунке и расположим их
так, чтобы получился квадрат, сторона
которого равна гипотенузе треугольника.
СТЕРЕОМЕТРИЯ
Другое обобщение: Теорема Пифагора может быть применена для стереометрии в следующем
виде. Рассмотрим прямоугольный параллелепипед, как показано на рисунке. Найдем
длину диагонали BD по теореме Пифагора:
где три стороны образуют прямоугольный треугольник. Используем горизонтальную диагональ
BD и вертикальное ребро AB, чтобы найти длину диагонали AD, для этого снова
используем теорему Пифагора:
или, если все записать одним уравнением:
Этот результат — это трехмерное выражение для определения величины вектора v (диагональ
AD), выраженного через его перпендикулярные составляющие {vk} (три взаимно
перпендикулярные стороны):
Это уравнение можно рассматривать как обобщение теоремы Пифагора для многомерного
пространства. Однако, результат на самом деле есть не что иное, как неоднократное
применение теоремы Пифагора к последовательности прямоугольных треугольников в
последовательно перпендикулярных плоскостях.