Конкурс «Математика и проектирование»

Конкурс «Математика и проектирование»
Информация об участниках:
МЕНЮ
1. Пифагор и музыка
2. Нотная грамота
3. Интервалы
4. От теории к практике
5. К слову…
«Математика – это наука о числах»,скажет вам любой первоклассник.
Это точная и объективная наука.
Искусство – это духовная культура
человека,
волшебство
человеческого воображения и плод
философии.
Это
пространство,
полное свободы и отсутствие
критериев и правил. Что может
объединять математику и искусство,
казалось бы, совершенно разные
понятия? Мы задали этот вопрос
ученикам нашей школы, и они не
смогли
ответить,
потому
что
никогда не задумывались над ним.
Однако наша команда провела
исследования в данной области и
совершенно чётко осознала, что
вопреки
распространённому
мнению, искусство и математику
МЕНЮ
связывает намного большее,
чем покажется на первый
взгляд.
Можно
даже
утверждать, что они не могут
существовать друг без друга.
Кроме того, искусство и
математика являют собой
воплощение
двух
типов
человеческого
мышления:
гуманитарного
и
математического. Итак, мы
надеемся в своей работе
наиболее точно, грамотно и
обоснованно
ответить
на
поставленный вопрос.
Искренне желаем удачи!
Автор
МЕНЮ
Музыка зародилась давно, она, можно сказать,
является ровесником всего человечества. Однако
следует различать понятия «музыка» и «музыкальный
инструмент». Потому что музыкальные инструменты
изобретены сравнительно недавно, они являются
посредником, воплощением настроения и состояния
души, ибо истинная музыка идёт от сердца (кстати о
фольклоре). Но и они (музыкальные инструменты)
имеют громадное значение. Стало бы высокое
искусство доступным для всех, не будь музыкальных
инструментов? И однозначно математика является
фундаментом, на котором стоит храм музыки. Музыка
стала развиваться как высокое искусство лишь тогда,
когда были изобретены музыкальные инструменты. А
без математики нельзя представить существование
музыки. Поэтому математика действительно идёт и
всегда шла в ногу с музыкой, оставаясь её основой и
мудрой спутницей.
МЕНЮ
Если древние китайцы, персы, египтяне,
израильтяне и греки использовали вокальную
и инструментальную музыку в своих
религиозных церемониях как. дополнение к
поэзии и драме, то Пифагор поднял искусство
до истинно достойного состояния,
продемонстрировав его математические
основания. Хотя, сам он не был музыкантом,
именно Пифагору приписывают открытие
диатонической шкалы. Получив основные
сведения о божественной теории музыки от
жрецов различных Мистерий, в которые он
был инициирован, Пифагор провел несколько
лет в размышлениях над законами,
управляющими созвучием и диссонансом.
Как он в действительности нашел решение,
нам не известно, но было выдумано
следующее объяснение.
МЕНЮ
Однажды, размышляя над проблемой гармонии,
Пифагор проходил мимо мастерской медника,
который склонился над наковальней с куском
металла. Заметив различие в тонах между звуками,
издаваемыми различными молоточками и другими
инструментами при ударе о металл, и тщательно
оценив гармонии и дисгармонии, получающиеся от
комбинации этих звуков, Пифагор получил первый
ключ к понятию музыкального интервала в
диатонической шкале. Он вошел в мастерскую и
после тщательного осмотра инструментов и
прикидывания в уме их веса вернулся в
собственный дом, сконструировал балку, которая
была прикреплена к стене, и приделал к ней через
равные интервалы четыре струны, во всем
одинаковые, К первой из них прикрепил вес в
двенадцать фунтов, ко второй - в девять, к третьей в восемь, и к четвертой - в шесть фунтов, Эти
различные веса соответствовали весу молотков
медника.
МЕНЮ
Пифагор обнаружил, что первая и четвертая струны,
когда звучат вместе, дают гармонический интервал
октавы, потому что удваивание веса имело тот же
эффект, что и укорачивание струны наполовину.
Натяжение первой струны было в два раза больше, чем
четвертой струны, и, как говорят, их соотношение
равно 2:1, или двукратное. Подобным же рассуждением
он пришел к заключению, что первая и третья струны
дают гармонию или квинту. Натяжение первой струны
было в полтора раза больше, нежели третьей струны, и
их соотношение было 3:2, или полуторное. Подобным
же образом вторая и четвертая струны, имея то же
соотношение, что и первая и третья, давали гармонию
квинты. Продолжая это исследование, Пифагор открыл,
что первая и вторая струны дают гармонию diatessaron,
или терцию, натяжение первой струны на треть
больше, чем второй, их соотношение 4:3, или
sesquitertian. Третья и четвертая струны, имея то же
соотношение, что и первая и вторая, дают ту же
гармонию.
МЕНЮ
Наш комментарий
Вот так Пифагор смог объяснить законы музыки,
опираясь на свои познания в математике. Мы
решили начать с этого рассказа о Пифагоре, потому
что именно он стоял у истоков музыки. Он создал
гармонию и первым осознал тот факт, что звуки и
их сочетания равносильны математическим
соотношениям веса грузов, которые, как
упоминалось выше, он вешал на медные струны.
Заслуги Пифагора перед наукой, философией и
музыкой весьма существенны. Жизнь и
деятельность этого античного мыслителя, как мы
считаем, служат примером того, что «талантливый
человек талантлив во всём».
В это понятие входят и запись нот, и
правописание штилей и хвостов, и нотоносец, и
ключи, и многое другое.
Безусловно, без знания этих правил, этих
символов невозможно играть музыку,
записывать и передавать её. Это, своего рода,
язык, которым пользуются музыканты, это такие
же сокращения, символы, обозначения, которые
нужны как в математике, так и в музыке.
МЕНЮ
Наш комментарий
Система нотной грамоты, принятая сегодня
в западном мире, создавалась в течение
веков — с конца IX века до начала 1700-х
годов. Возникла она в соборах и
монастырях Римской католической церкви.
Многие церковные службы пелись, но пели
их по памяти. К концу IX века над словами
молитвенника стали писать точки и
черточки, а также рисовать маленькие
завитушки. Эти значки еще не были
нотами, они лишь показывали направление
движения мелодии и были еще очень
неточными.К 900 году н.э. придумали более
удобный способ. Знаки стали писать на
определенном расстоянии выше или ниже
горизонтальной красной черты, которая
означала по высоте звука ноту «фа». Такая
запись показывала, где нужно петь высоко,
а где — низко.
Наш комментарий
Нотный стан был изобретен монахом
Гвидо д'Ареццо. Он состоял из четырех
линий. Этот способ сделал возможным
показывать длительность каждой ноты.
Он был усовершенствован в XIII—XIV
веках. Ноты приобрели новую форму, к
некоторым из них добавились палочки в
соответствии с их длительностью. К
1600-м годам ноты стали круглыми, и
музыкальная запись приобрела
современный вид.
МЕНЮ
СИ
ЛЯ
СОЛЬ
ФА
МИ
РЕ
ДО
Нота – знак, обозначающий музыкальный звук.
Всего существует 7 нот: ДО, РЕ, МИ, ФА, СОЛЬ, ЛЯ,
СИ (рис.1). Из них-то и состоит музыка. Черные
клавиши, их названия зависят от ближайших белых
клавиш. Например, клавишу между ДО и РЕ
можно назвать как
ДО-ДИЕЗ, так и
РЕ-БЕМОЛЬ.
Наш комментарий
Знакомые каждому названия нотной гаммы
— от «до» до «си» — были в XI веке
введены в обиход монахом-бенедиктинцем
Гвидо Д`Ареццо и обозначали первые слоги
слов молитвы к Иоанну Крестителю. В ней
содержалась просьба о сохранении силы
голоса: «Дай нам чистые уста, св. Иоанн,
чтобы мы могли всей силой своего голоса
свидетельствовать о чудесах твоих деяний»:
Первая нота со временем изменила своё
название и стала ДО. А для удобства в пении
согласный звук «S» был заменён на «СИ»
МОЛИТВА К ИОАННУ
UT queant laxis
REsonare fibris
MIra gestorum
FAmuli tuorum
SOLve polluti
LAbii reatum
Sancte Ioannes.
Это очень важная часть базовых знаний о
музыке. От того, как будет написана нота
зависит как сыграет музыкант ту или иную
мелодию.
Итак, нота, как мы выяснили, обозначается
овалом. Но для обозначения длительности
звучания ноты к самой ноте дописывают
«хвосты».
Если это не закрашенный овал, то это
целая.
Если это не закрашенный овал с хвостом, то
это половинная.
Если это закрашенный овал с хвостом, то
это четверть.
И это не все длительности. Кроме того, есть
и паузы, которые длятся определённый
промежуток времени. Чтобы было понятно
о чём речь, обратимся к рис.2.
МЕНЮ
Здесь мы наблюдаем математическую зависимость:
Целая – это две половинные, т. е. 1= ½* 2
Половинная – это две четвертные, т. е. ½=¼* 2
Четвертная – это две восьмые, т. е. ¼= 1/8 * 2
Восьмая – это две шестнадцатые, т. е. 1/8= 1/16 * 2
Логично, не правда ли?
ЦЕЛАЯ
ПОЛОВИННАЯ
ЧЕТВЕРТНАЯ
ВОСЬМАЯ
ШЕСТНАДЦАТАЯ
Рис. 2
МЕНЮ
Нотоносец – это 5 линеек, на которых
пишутся ноты. Также его называют нотным
станом:
Рис. 3
Итак, здесь мы наблюдаем очевидную
последовательность нот. 7 нот, затем
снова те же 7 нот, отличающиеся по
звучанию лишь высотой, отличающиеся,
по открытию Пифагора, в два раза.
МЕНЮ
Наш комментарий
Посмотрев на клавиатуру рояля, легко
заметить, что она «периодична»: одни и те
же комбинации белых и чёрных клавиш в
разных октавах повторяются. Отстоящие
на октаву ноты называются одинаково и
отличаются по частоте в два раза.
Например, ноты ля в разных октавах
имеют разные частоты:…, 55, 110, 220, 440,
880,…, эти значения образуют
геометрическую прогрессию со
знаменателем 2.
Интервал между двумя соседними нотами
– полутон. Октава состоит из 12
полутонов, и на каждый полутон
приходится увеличение частоты в корень
двенадцатой степени из двух. Получается,
играя гамму мы извлекаем геометрическую
прогрессию.
Как установил Пифагор, соотношение звуков равно
пропорционально соотношению грузов, прикреплённых к
струнам. Позже, эта теория стала развиваться, и появилось в
музыке новое понятие – интервалы. Интервал (греч. –
расстояние) – это расстояние между двумя звуками или
созвучие из двух звуков, двух степеней звукоряда.
Существует 8 интервалов : прима, секунда, терция, кварта,
квинта, секста, септима, октава.
С каждым из этих интервалов мы познакомимся подробнее,
но сначала надо оговорить, что такое «полутон».
Полутон – наименьшее расстояние между звуками или
клавишами фортепиано. Следовательно, тон – это 2 полутона
(рис. 1)
Рис. 4
МЕНЮ
СИ
ЛЯ
СОЛЬ
ФА
МИ
РЕ
ДО
ПОЛУТОН
ТОН
Рис. 4
МЕНЮ
Кол-во
ступеней в
интервале
Название
интервала
Качество
интервала
Количество
тонов
1
прима
чистая
0 тонов
секунда
малая
большая
увеличенная
0.5 тона
1 тон
1.5 тона
2
3
терция
малая
большая
1.5 тона
2 тона
4
кварта
уменьшенная
чистая
увеличенная
2 тона
2.5 тона
3 тона
5
квинта
уменьшенная
чистая
увеличенная
3 тона
3.5 тона
4 тона
6
секста
малая
большая
4 тона
4.5 тона
7
септима
уменьшенная
малая
большая
4.5 тона
5 тонов
5.5 тонов
8
октава
чистая
6 тонов
МЕНЮ
Обозначаются интервалы следующим
образом:
Ч.5
Например, Ч.4 – это чистая кварта;
УМ.5 – это уменьшенная квинта ;
М.7 – это малая септима;
Б.2 – это большая секунда; а
УВ.4 – это увеличенная кварта.
Немного о знаках альтерации:
ЗНАК
М.7
Б.7
НАЗВАНИЕ
ДЕЙСТВИЕ
бемоль
понижает ступень лада на полутон
дубль-бемоль
понижает ступень лада на тон
диез
повышает ступень лада на полутон
дубль-диез
повышает ступень лада на тон
бекар
отменяет действие вышеперечисленных
знаков
МЕНЮ
Теперь необходимо сказать несколько слов о наглядности музыкальной
теории применительно к практике. Как известно теория часто абстрактна и
непонятна до тех пор, пока не видно её практического применения. Что такое
для ребенка операция сложения “2+ 2”? Ничего, пока ему не покажут 2
конфеты, потом ещё 2 конфеты. По крайней мере, он увидит, что конфет
стало больше, и это ему уже нравится. Ребенок понимает то, что можно на
практике увидеть, потрогать, понюхать, ощутить. Поэтому поиграть в
игрушки или посмотреть мультфильм – понятно и интересно, а сидеть дома в
солнечный день и смотреть на нарисованные ноты, знаки и обозначения –
непонятно и неинтересно по определению. Хотя бы как-то заинтересовать
ребенка можно только практической стороной теории. И в этом плане
наиболее наглядным музыкальным инструментом для отображения на нем
теории музыки является фортепиано. И сейчас я объясню почему.
МЕНЮ
В настоящее время в музыке используется равномерно темперированный
строй, при котором настройка музыкального инструмента и элементарная
теория музыки основываются на октавах, разделенных на 12 одинаковых
частей - полутонов.
Мы видим, что на гитаре 6 струн и много
металлических планок, которые находятся поперек
грифа,
на скрипке – 4
струны,
на балалайке
струны,
а на баяне – много копок.
Где эти 12 частей?
МЕНЮ
–
3
Клавиатура пианино сконструирована таким образом, что 7 белых и 5 черных
клавиш как раз и образуют октаву, а расстояние между любыми соседними
клавишами равно полутону, что в сумме образует интересующие нас 12
частей (полутонов).
То есть, клавиатура пианино однозначно соответствует музыкальной
теории и применение сольфеджио на практике нагляднее всего видно на
музыкальных инструментах с клавиатурой фортепианного типа –
фортепиано, рояль.
МЕНЮ
Наш комментарий
Теория музыки – математика, т.е. для построения
самых сложных элементов в музыке достаточно
знать определенные величины и хорошо их считать.
Используя клавиатуру пианино выполнить такие
расчеты очень просто, потому что мы видим
клавиши и видим относительные расстояния между
ними. А вот выполнить расчеты, например, на
гитаре очень непросто, потому что 6 струн и
большое количество параллельно расположенных
ладов не является наглядным. То есть, для
построения чего-то на пианино нужно просто
посчитать, а на других музыкальных инструментах
нужно будет постоянно производить перевод
системы строя инструмента в теоретическую
систему 12-ти полутонов и обратно.
Музыковед Э.Розенов, проанализировав наиболее
популярные и любимые произведения гениальных
композиторов И.С.Баха, В.А.Моцарта,
Л.В.Бетховена, Ф.Шопена, Р.Вагнера, М.И.Глинки,
а также произведения народного творчества
древнего происхождения, заметил, что моменты
наиболее ярко выраженного эмоционального
напряжения приходятся именно на точки золотого
сечения. Искусствоведы составили подробные
схемы, в которых содержится геометрический
анализ великой музыки. Наиболее удачным в этом
отношении примером является Хроматическая
фантазия и Фуга ре минор И.С.Баха. Слушая это
замечательное произведение, не только
восторгаешься красотой музыки, но и чувствуешь
ее скрытую музыкальную гармонию. А математика
открывает еще одну грань гениальности великого
композитора.
МЕНЮ
Этот рассказ о связи математики,
техники и музыки далеко не полный. В
истории культуры достаточно много
примеров, когда люди придумывали
механические устройства для сочинения
музыки. Это происходило и в средние
века, и в наше время. Математик из
колумбийского университета Дж.
Шиллингер в 1940 году опубликовал
разработанную им математическую
систему музыкальной композиции в виде
отдельной книжечки под названием
"Калейдофон". Считают, что Дж.Гершвин,
работая над оперой "Порги и Бесс",
пользовался той же системой. В 1940 году
Эйгор Вилли Лобос, используя
описанный способ, превратил силуэт
Нью-Йорка в пьесу для фортепиано.
Дж.Гершвин
МЕНЮ
Известно, что и компьютеры сочиняют
музыку. Правда, она довольно
посредственна. В ней нет игры и
свободного дыхания, которые трудно
укладываются в математические каноны.
До сих пор никому не удавалось найти
алгоритм, порождающий простую и
красивую мелодию. Мы просто не знаем,
какое волшебство происходит в голове
композитора, создающего неповторимую
мелодию. Гениальное произведение - это
результат вдохновения и мастерства его
создателя. А еще своеобразная тайна,
постичь которую порой невозможно. Решая
задачи и слушая великую музыку, мы
открываем в ней совершенство, простоту,
гармонию и еще нечто такое, что
неподвластно выражению словом...
МЕНЮ
Чтобы научиться играть на каком-либо
музыкальном инструменте, как мы
считаем, достаточно лишь иметь хоть
какое-то представление о математике,
умение считать до шести и наличие души
(потому что музыкант, играющий «на
автомате», без души, без чувств - вообще
не музыкант).
А чтобы музыку мог понять и осознать
каждый, нужно научиться законам
музыки, музыкальной теории. Это, прежде
всего, ноты.
Я предлагаю Вам познакомиться с
основами сольфеджио, нотной грамоты и
проследить взаимосвязь математики и
музыки, а пользоваться этой
возможностью или нет – Ваш выбор.
МЕНЮ
АФОРИЗМЫ О ИСКУССТВЕ И МАТЕМАТИКЕ
-Нельзя быть настоящим математиком, не будучи немного поэтом.
Т. Вейерштрасс
-Математические науки, естественные науки и гуманитарные науки
могут
быть
названы,
соответственно,
науками
сверхъестественными,
естественными
и
неестественными.
Лев Давидович Ландау
-Она слишком музыкальна для математиков и слишком математична
для музыкантов - остроты современников по поводу «новой теории
музыки».
Леонард Эйлер
МЕНЮ
ВЫХОД
ИСТОЧНИКИ
Поисковые системы: Google, Яндекс.
Картинки: сайты музыкального содержания, вышеперечисленные
поисковые системы
Сайты, посвященные теории и истории музыки
Книги: «Конспекты по элементарной теории музыки» Н. В. Панова;
БСЭ;
А также различные мысли и предположения авторов.