Разработка урока по геометрии 9 класс По теме: «Теорема косинусов» (сдвоенный урок).

Разработка урока по геометрии
9 класс
По теме: «Теорема косинусов»
(сдвоенный урок).
Учитель МБОУ СОШ №: 3
Солдатова Л.В.
2012 год.
Цель урока:
•познакомить ребят с теоремой косинусов,
обратить внимание на угол треугольника и
изменение знака, если угол тупой;
•научить применять теорему при нахождении
угла треугольника;
•научить определять вид треугольника по
углам, используя теорему;
•использовать теорему при нахождении длин
элементов треугольника:
медианы, биссектрисы, высоты.
Историческая справка
Начиная с древних времён и примерно до XVII века в
тригонометрии рассматривали почти исключительно «решение
треугольников», то есть вычисление одних элементов треугольника
(или многоугольника, разбитого на треугольники) по другим его
элементам. Такие вычисления были вызваны запросами
астрономии, географии, мореплавания, геодезии и архитектуры.
Лишь в XVII веке содержание тригонометрии значительно
расширяется.
Для решения треугольника, то есть для нахождения трёх его
элементов, когда известны другие три его элемента (среди которых
по крайней мере одна сторона), необходимо иметь три
независимых соотношения между шестью его элементами. В
евклидовой геометрии одно из них выражается равенством
<А + <В + <С = 180⁰ (1), где <A, <B, <C больше 0.
В случае прямоугольного треугольника, по мимо теоремы
Пифагора, можно пользоваться, например, соотношением b = c ∙
sinß. (2)
В случае косоугольного треугольника, по мимо первого
выражения, можно использовать теорему косинусов или теорему
синусов.
Теорема косинусов была по существу доказана, конечно,
геометрически, ещё в «Началах» Евклида, а именного в 12-ом и 13ом предложениях II книги, в которой обобщается теорема Пифагора
и выводятся формулы, выражающие квадрат стороны, лежащий
против острого угла или тупого угла треугольника. Это положение,
доказанное Евклидом, эквивалентно теореме косинусов:
a2 = b2 + c2 – 2bc ∙ cosA,
b2 = c2 + a2 – 2ca ∙ cosB,
c2 = a2 + b2 – 2ab ∙ cosC. (3)
Александрийские математики Герон (I в.) и Папп (II в.),
ученые Индии (Брахмагупта, Бхаскара) и стран Ближнего и Среднего
Востока (ал-Беруни), как и некоторые европейские математики XII –
XV вв. (Л. Фибоначчи, Н. Неморарий), пользовались формулами
близкими к третьим, однако впервые теорема косинусов была явно
сформулирована (словесно) в XVI в. французским математиком
Франсуа Виетом, автором известных «Математических таблиц»,
появившихся в 1579 г. В современных обозначениях можно так
записать соответствующую формулу Виета:
2ab / a2+b2-c2 = 1/ sin(90⁰ - C).
Современный вид теорема косинусов (3) принимает в 1801 г.
У французского математика Лазара Карно (1753-1823).
Теорема:
«Квадрат любой стороны треугольника
равен сумме квадратов двух других
сторон без удвоенного произведения этих
сторон на косинус угла между ними.
АВ²=ВС²+АС²-2ВС∙АС∙cos γ;
BC²=AB²+AC²-2AB∙AC∙cosα;
AC²=AB²+BC²-2AB∙BC∙cosβ.
Дано:
АС, АВ, <α.
Доказать:
BC²=AB²+AC²-2AB∙AC∙cosα.
Доказательство:
ВС=АС-АВ, возведем в
квадрат.
ВС²=АС²-2АВ∙АС+АВ²=
АС²+АВ²-2АВ∙АС ∙cosα.
Угол α в нашем случае
острый, а значит cos α>0
С
А
Д
В
Пусть угол α тупой, тогда cos α<0.
Заметим, что АС∙cosα<0, то
ВС²=АВ²+АС²+2АВ∙АС ∙cosα.
В
Д
А
С
Задача №7 учебника.
Дано:
АВ = с, АС = в, ВС = а.
Найти высоту
треугольника, опущенную
на сторону с.
С
а
В
в
Д
с
А
Решение:
а²=в²+с²±2с∙АД;
АД=±(а² - в² - с²)/2с.
По теореме Пифагора
СД = √ АС² - АД² = √ в²-(а² - в² - с²/2с)²
С
а
В
с
в
А
Д
Вывод: квадрат стороны треугольника равен
сумме квадратов двух других сторон ±
удвоенное произведение одной из них на
проекцию другой. Знак «+» надо брать,
когда противоположный угол тупой, а
значит знак «-», когда угол - острый.
В ромбе со стороной 10 см высота, опущенная из
вершины тупого угла, делит сторону ромба на
отрезки 3 см и 7 см. Найдите меньшую диагональ
ромба.
Дано:
АВСД ромб.
АВ=10см, вк=3см, СК=7см.
АК Ι ВС.
Найти: АС.
В
А
3см
К
7см
С
Д
Решение:
1) △АВК прямоугольный ⇒АК = √AB² - ВК² =√100-9 =
√91.
2) △АКС прямоугольный ⇒АС = √AK² + КС² =√91+49
= √140 .
АС=2√35.
Задача 1.
В треугольнике АВС с=4см,
в=6см, ∠А=60⁰.
Найдите: а.
В треугольнике АВС а=6см,
в=8см, с=10см.∠А=60⁰.
Найдите: cos∠А.
Решение:
a²=в²+с²-2всcos60⁰;
a²=36+16-24;
a=2√7
Решение:
Cos ∠ A=(b²+c²-a²)/
2bc=(64+100-36)/2∙8∙10
=128/160=4/5=0,8.
Задача 2.
Найти неизвестную
сторону треугольника АВС.
АВ=11см, АС=8см,
∠А=60⁰.
Найти неизвестную
сторону треугольника АВС.
АВ=13см, BС=7см,
∠B=60⁰.
Решение:
ВС²=АВ²+АС²-2АВ∙АСcos60⁰;
BC²=121+64-2∙11∙81/2;
BC²=185-88;
BC²=97;
BC=√97
Решение:
AС²=АВ²+BС²-2АВ∙BСcos60⁰;
AC²=169+49-2∙13∙7∙1/2;
AC²=218-91;
AC²=127;
AC=√127
Задача 3.
Найдите косинус угла
параллелограмма, если его
стороны равны 8мм и 10мм, а
одна из диагоналей равна
14мм.
Решение:
ВД²=АВ²+АД²-2АВ∙АД∙Сos∠ A;
Cos ∠ A=(АВ²+АД²-ВД²)/
2АВ∙АД;
Cos ∠ A=(64+100196)/160;
Cos ∠ A=-32/160;
Cos ∠ A=-1/5(угол тупой).
Найдите косинус угла
параллелограмма, если его
стороны равны 12дм и 14дм, а
одна из диагоналей равна 20дм.
Решение:
ВД²=АВ²+АД²-2АВ∙АД∙Сos∠ A;
Cos ∠ A=(АВ²+АД²-ВД²)/
2АВ∙АД;
Cos ∠ A=(144+19400)/236;
Cos ∠ A=-70/236;
Cos ∠ A=-35/118(угол
тупой).
Задача 4.
Угол при основании
равнобедренного треугольника
равен 30⁰, а боковая сторона
равна 14см. Найдите медиану,
проведенную к боковой
стороне.
В
14см
А
Угол при основании
равнобедренного треугольника
равен 30⁰, а боковая сторона
равна 14см. Найдите медиану,
проведенную к боковой
стороне.
7см
С
30⁰
Решение:
АС²=АВ²+ВС²-2АВ∙ВС∙cos120⁰;
АC²=196+49+2∙14∙7∙1/2;
АC²=245+98;
АC²=343;
АC=√343
16см
Д
В
8см
С
А
Решение:
АС²=АВ²+ВС²-2АВ∙ВС∙cos120⁰;
АC²=256+64+2∙16∙8*1/2;
АC²=256+128;
АC²=448;
АC=√448;
АС=8√7
Д