СИИ3

Логические модели

M = <T, P, A, B> , где:
◦ T — счетное множество базовых символов
(алфавит) П(T);
◦ P — множество, называемое формулами П(P);
◦ A — выделенное
подмножество априори истинных формул
(аксиом) П(А);
◦ B — конечное множество отношений между
формулами, называемое правилами вывода П(B).
(x)F(x)P
(x)F(x)P
(x)F(x)P
(x)F(x)P
=
=
=
=
(x)(F(x)P);
(x)(F(x)P);
(x)(F(x)P);
(x)(F(x)P).
(x)F(x)(x)P(x) = (x)(F(x)P(x)),
(x)F(x)( x)P(x) = (x)(F(x)P(x)).
(x)F(x)(x)P(x)  (x)(F(x)P(x)),
(x)F(x)(x)P(x)  (x)(F(x)P(x)).
(x)F(x)(x)P(x) = (x)F(x)(y)P(y) = (x)(y)(F(x)P(y)),
(x)F(x)(x)P(x) = (x)F(x)(y)P(y) = (x)(y)(F(x)P(y))
при условии, что переменная y не появляется в F(x).
Шаг 1. Исключение логических связок  и  с
помощью известных правил.
Шаг 2. Продвижение связки  до атома с
использованием законов де Моргана. В
результате выполнения этого шага
получается формула, у которой знаки 
могут стоять только перед атомами.
Шаг 3. Переименование связных
переменных.
Шаг 4. Вынесение кванторов с помощью
формул (*)

(y)(x)P(x,y)
◦ «Для всех y существует некоторый x (возможно
зависящий от y), такой, что P(x,y)»




(y)P(f(y),y)
(x)(y)(z)F(x, y, z) - (x)(z)F(x, f(x), z)
(x)(z)(y)F(x, y, z) - (x)(z)F(x, f(x, z),z)
(x)P(x) становится P(A)




(x1x2)  {x1,x2}
Q(A, f(g(B)))-Q(x, y)


P1P2…PN и P1Q2…QM
P1, P1
Родительские
предложения
P и PQ(т.е. PQ)
PQ и PQ
Резольвенты Комментарии
PQ и PQ
QQ
PP
P и P
NIL
PQ и QR
(т.е. P  Q и Q  R)
PR
(т.е. PR)
Q
Q
Модус поненс
Предложение QQ «сворачивается»
в Q. Эта резольвента называется
слиянием.
Здесь две возможные резольвенты; в
данном случае обе являются
тавтологиями.
Пустое предложение, является
признаком противоречия
Цепочка.




L(x) и L(A), где x – переменная, а A –
константа
{t/x}
{t1/x1; t2/x2; …, tn/xn}
Условия, допускающие подстановку,
состоят в следующем:
◦ xi является переменной, а ti – термом (константа,
переменная, функция), отличным от xi.
◦ для любой пары элементов из группы
подстановок в правых частях символов «/» не
содержатся одинаковые переменные.






S – группа подстановок {t1/x1; t2/x2;…,tn/xn}
LS
S – унификатор {L1, L2, …, Lm}L1S = L2S =… LmS
Множество {L(x), L(A)} – унифицируемо, при
этом унификатором является подстановка
{A/x}
{L(x, y)}, L{z, f(x)} S = {x/z, f(x)/y} S' = {A/x; A/z; f(A)/y}
, что все другие унификаторы являются подстановками,
выражаемыми в виде S
Множество литералов
Наиболее общие
подстановочные
частные случаи
{P(x), P(A)}
P(A)
{P(f(x), y, g(y)), P(f((x), z,
g(x))}
{P(f(x, g(A, y)),g(A, y)),
P(f(x, z), z)}
P(f(x), x, g(x))
P(f(x, g(A, y)), g(A, y))




{Li} и {Mi}
{li} - подмножество {Li}
{mi} – подмножеством {Mi}
для объединения множеств {li} и {mi}
существует НОУ S



P(x, f(A))  P(x, f(y))  Q(y)
P(z, f(A))  Q(z)
Если {li} = {P(x, f(A))} и {mi} = {P(z,f(A))},
получаем резольвенту
◦ P(z, f(y))  Q(z)  Q(y), S = {z/x}.

При {li} = {P(x, f(A)), P(x, f(y)) и {mi} = P(z,
f(A))} получаем резольвенту
◦ Q(A)  Q(z), S = {z/x, A/y}.







S - ППФ {A1, A2, …, An}
W - ППФ, для которой требуется выяснить, является ли она теоремой
(A1  A2  …  An  W)
(A1  A2 … An  W)
Ci = Pi1  Pi2  …  Pim
Q = C1  C2  …  Ck .
{Pi1, Pi2, …, Pim}
1.
2.
3.
4.
Кто умеет читать, тот грамотный
(x)(Ч(x)Г(x))
Дельфины не грамотны (x)(Д(x)   Г(x))
Некоторые дельфины обладают
интеллектом (x)(Д(x)  И(x))
Некоторые из тех, кто обладает
интеллектом, не умеет читать
(x)(И(x)Ч(x))
1. Ч(x)  Г(x).
2. Д(y)  Г(y).
3а. Д(А).
3б. И(А).
4.  И(z)Ч(z).
5. Ч(A) резольвента 3б и 4.
6. Г(А) резольвента 5 и 1.
7. Д(А) резольвента 6 и 2.
8 NIL резольвента 7 и 3а.


конъюнктивная нормальная форма
(conjunctive normal form— CNF)
полная фразовая форма (full clausal form) и
фраза Хорна (Horn clause)
1. ¬(pvq)→(-p^-q) Исходное выражение.
2. ¬¬(pvq)v(-p^-q) Исключение →.
3. (pvq)v(-p^-q) Ввод - внутрь скобок.
4. (¬pv(pvq)) ^ (¬qv(pvq)) Занесение v внутрь
скобок.
5. {{-p, р, q}, {¬q, р, q} } Отбрасывание ^ и v в
конъюнктивной нормальной форме.

p,q←p и p,q←q
p1, …, pm ← q1, …, qn, m=>0 и n=>0
p1, ..., рm <— q1,...qn х1,..., хk,

n=0

m=0


◦ для всех x1, ..., хk p1 или ... или pm является
истинным, если q1 и ... и qn являются истинными.
◦ для всех x1, ..., xk p1 или ... или рm является
истинным
◦ для всех x1, ..., xk не имеет значения, что q1 и ... и
qn являются истинными



р <— q1,...qn.
р :- q1,...,qn.
«Для всех значений переменных в фразе p
истинно, если истинны q1 и ... и qn», т.е.
пара символов «:-» читается как «если», а
запятые читаются как «и».