Логика_презентация

ЛОГИКА
к.филос.н.
Карпенко И.А.
Что такое логика?
нормативная наука о
формах и приемах
интеллектуальной
познавательной
деятельности,
осуществляемой с
помощью языка
Что такое познание и зачем?
• получение новых знаний о
мире
• познание ради понимания
• в основе познание –
удивление (Аристотель)
• виды познания
Виды познания
чувственное познание
рациональнее познание
Чувственное познание
Достоверность?
формы:
• ощущение
• восприятие
• представление
Что такое груша?
Рациональное познание
формы:
• понятие
• суждение
• теория
Что такое язык?
знаковая система,
предназначенная для
фиксации, хранения,
передачи, обработки …
информации
Что такое знак?
БЗГРРРБ
• значение знака
• смысл знака
материальный объект, выступающий для
некоторого интерпретатора в качестве
представителя какого-то другого предмета
Виды языков
• естественные (русский,
английский, китайский,
испанский…)
• искусственные (азбука
Морзе, шахматная
нотация, математика,
язык программирования,
нотная грамота….)
Виды языков
• объектные языки
• метаязыки
е2-е4
«ход белой королевской пешки через одно
поле»
···---···
«три точки, три тире, три точки»
«SOS – сигнал бедствия»
Приемы рационального познания
рассуждение
процедура пошагового
перехода от одних
утверждении, котоыре
называются посылками, к
другим, которые называются
заключениями
Что такое рассуждение?
Если Сократ человек, то он разумен
Сократ разумен
Следовательно, он человек
Если Сократ человек, то он разумен
Сократ человек
Следовательно, он разумен
Что такое логическая форма?
• содержание
рассуждения
• структура
рассуждения
Когда рассуждение правильно?
если его логическая форма
гарантирует, что при
истинных посылках
заключение будет
истинным
если при истинных
посылках не будет
ложного заключения
Алфавит классической логики высказываний
p, q, r, s, p , q , r … - пропозициональные
переменные (параметры простых предложений
естественного языка)
¬ − негация; ∧ − коньюнкция; ∨
− дизьюнкиця; ⊻ − строгая дизьюнкция; ⊃
− импликация; ≡ −эквиваленция; ∣ −
штрих Шеффера; ↓ − стрелка Пирса логические связки (параметры союзов
естественного языка)
( , ) – технические символы (скобки)
1
1
1
Примеры
(𝑝 ⊃ ¬𝑞)⋀(𝑞 ⊃ ¬𝑝)
𝑝 ⊃ (𝑞 ⋀ r)
𝑝 ≡ ((𝑞 ⋀ r) ⋀ s)
Истина и ложь
p
ил
pq
ии
ил
ли
лл
pqr
иии
иил
или
илл
лии
лил
лли
ллл
pqrs-?
2n
Определения логических связок (союзов)
p
¬p
pq
p⊻𝐪
pq
p↓𝐪
pq
p⊃𝐪
и
Л
ии
Л
ии
Л
ии
И
л
И
ил
И
ил
Л
ил
Л
ли
И
ли
Л
ли
И
лл
Л
лл
И
лл
И
pq
p∧𝐪
ии
И
ил
Л
pq
p≡𝐪
pq
p∣𝐪
ли
Л
ии
И
ии
Л
лл
Л
ил
Л
ил
И
pq
p∨𝐪
ли
Л
ли
И
ии
И
лл
И
лл
И
ил
И
ли
И
лл
Л
¬ 𝑝 ⊃ 𝑞 ∨ (𝑟 ∧ ¬ 𝑝)
pqr
¬
𝑝⊃𝑞
∨
(𝑟 ∧
¬ 𝑝)
ИИИ
Л
И
Л
Л
Л
ИИЛ
Л
И
Л
Л
Л
ИЛИ
И
Л
И
Л
Л
ИЛЛ
И
Л
И
Л
Л
ЛИИ
Л
И
И
И
И
ЛИЛ
Л
И
Л
Л
И
ЛЛИ
Л
И
И
И
И
ЛЛЛ
Л
И
Л
Л
И
Виды формул
• Выполнимые
• Тождественно-истинные
• Тождественно-ложные
Снова Сократ
Если Сократ человек, то он разумен
Сократ разумен
Следовательно, он человек
pq
𝑝⊃𝑞
𝑞
𝑝
ИИ
И
И
И
ИЛ
Л
Л
И
ЛИ
И
И
Л
ЛЛ
И
Л
Л
Снова Сократ
Если Сократ человек, то он разумен
Сократ человек
Следовательно, он разумен
pq
𝑝⊃𝑞
𝑝
𝑞
ИИ
И
И
И
ИЛ
Л
И
Л
ЛИ
И
Л
И
ЛЛ
И
Л
Л
Отношения между формулами
• Совместимость по истинности
• Совместимость по ложности
• Отношение логического
следования
Примеры
• Если человек не сумасшедший, то он узнает своих
родных. Этот человек сумасшедший. Значит, он не
узнает своих родных.
• Если я не приеду к тебе завтра, значит, наступил
конец света и Бог призвал меня к себе.
Следовательно, если Бог не призовет меня к себе,
то я обязательно приеду к тебе завтра.
• Если бы он ей не сказал, она ни за что бы не
узнала, а ни спроси она его, он бы хотя и знал, но
не сказал. Но она узнала. Значит, она его спросила.
Примеры
¬𝑝⊃𝑞
𝑝
_________
¬𝑞
Примеры
¬ 𝑝 ⊃ (𝑞 ∧ 𝑟)
_________
¬𝑟 ⊃𝑝
Примеры
¬ 𝑝 ⊃ ¬ 𝑞 ∧ (¬ 𝑟 ⊃ (𝑠 ∧ ¬𝑝))
𝑞
_________
𝑟
Парадокс лжеца
Житель острова, на
котором обитают только
лжецы, заявляет: «Я
лжец».
Он лжет или говорит
правду?
Трое жителей острова (А, B и C) разговаривали
между собой в саду. Проходивший мимо
незнакомец спросил у A: "Вы рыцарь или
лжец?" Тот ответил, но так неразборчиво, что
незнакомец не смог ничего понять. Тогда
незнакомец спросил у B: "Что сказал A?" "А
сказал, что он лжец", - ответил B. "Не верьте B!
Он лжет! - вмешался в разговор островитянин C.
Кто из островитян B и C рыцарь и кто лжец?
Предположим, что незнакомец задал A
другой вопрос: "Сколько рыцарей среди вас?"
И на этот вопрос A ответил неразборчиво.
Поэтому незнакомцу пришлось спросить у B:
"Что сказал A?" B ответил: "А сказал, что
среди нас один рыцарь". И тогда C закричал:
"Не верьте B! Он лжет!"
Кто из двух персонажей B и C рыцарь и кто
лжец?
В этой задаче два персонажа: A и B. Каждый
из них либо рыцарь, либо лжец. A
высказывает следующее утверждение: "По
крайней мере один из нас лжец".
Кто из двух персонажей A и B рыцарь и кто
лжец?
Способы правильных умозаключений
условно-категорические
𝑝⊃𝑞
𝑝
______
𝑞
𝑝⊃𝑞
¬𝑞
______
¬𝑝
Способы правильных умозаключений
разделительно-категорические
𝑝∨𝑞
¬𝑝
______
𝑞
𝑝∨𝑞
¬𝑞
______
𝑝
Способы правильных умозаключений
условно-разделительные умозаключения
Дилемма
Простая
Конструктивная
АС
BC
AB
C
Деструктивная
CA
CB
AB
C
Сложная
AC
BD
AB
CD
CA
DB
AB
CD
Основные законы
тождества
АA
исключенного третьего
AА
противоречия
 (A ∧  А)
Де Моргана
 (А  B)  ( A ∧  B)
Дунса Скота
(A ∧ А)  В
Пирса
((А  В)  А)  А)
…
Виды теорий
• содержательные
• формализованные
• формальные
Натуральное исчисление высказываний
1. Если идет дождь, то на улице сыро
2. Если на улице сыро, то все вымокли
3. Идет дождь
Следует ли из этого, что все вымокли?
4. На улице сыро – из 1,3
5. Все вымокли – из 2,4
Натуральное исчисление высказываний
1. Если идёт дождь, то на улице сыро
2. Неверно, что на улице сыро
Следует ли из этого, что дождь не идёт?
3. Дождь идёт - допущение
4. На улице сыро – из 1, 3
5. Неверно, что идёт дождь – из 2,4
𝑝⊃𝑞 ⊃( 𝑞⊃𝑟 ⊃ 𝑝⊃𝑟 )
1. 𝑝 ⊃ 𝑞 – посылка
2. 𝑞 ⊃ 𝑟 – посылка
3. 𝑝 – посылка
4. 𝑞 – 1,3 иск. ⊃
5. 𝑟 – 2,4 иск. ⊃
6. 𝑝 ⊃ 𝑟 – 3,4 введ. ⊃
7. 𝑞 ⊃ 𝑟 ⊃ 𝑝 ⊃ 𝑟 – 2,6 введ. ⊃
8. 𝑝 ⊃ 𝑞 ⊃ ( 𝑞 ⊃ 𝑟 ⊃ 𝑝 ⊃ 𝑟 ) – 1,7 введ. ⊃
𝑝⊃𝑞 ⊃( 𝑞⊃𝑟 ⊃ 𝑝⊃𝑟 )
1. 𝑝 ⊃ 𝑞 – посылка
2. 𝑞 ⊃ 𝑟 – посылка
3. 𝑝 – посылка
4. 𝑞 – 1,3 иск. ⊃
5. 𝑟 – 2,4 иск. ⊃
6. 𝑝 ⊃ 𝑟 – 3,4 введ. ⊃
7. 𝑞 ⊃ 𝑟 ⊃ 𝑝 ⊃ 𝑟 – 2,6 введ. ⊃
8. 𝑝 ⊃ 𝑞 ⊃ ( 𝑞 ⊃ 𝑟 ⊃ 𝑝 ⊃ 𝑟 ) – 1,7 введ. ⊃
𝑝 ⊃ 𝑞 ⊃ 𝑞 ⊃ 𝑝
1. 𝑝 ⊃ 𝑞 – посылка
2. 𝑞 – посылка
3. 𝑝 – посылка
4. 𝑝 – 3 иск. 
5. 𝑞 – 1,4 иск. ⊃
6.𝑝 – 2,5 введ.
7. 𝑝 – 6 иск. 
8. 𝑞 ⊃ 𝑝 – 2,7 введ. ⊃
9. 𝑝 ⊃ 𝑞 ⊃ 𝑞 ⊃ 𝑝 – 1,8 введ. ⊃
𝑝 ⊃ 𝑞 ⊃ 𝑞 ⊃ 𝑝
1. 𝑝 ⊃ 𝑞 – посылка
2. 𝑞 – посылка
3. 𝑝 – посылка
4. 𝑝 – 3 иск. 
5. 𝑞 – 1,4 иск. ⊃
6.𝑝 – 2,5 введ.
7. 𝑝 – 6 иск. 
8. 𝑞 ⊃ 𝑝 – 2,7 введ. ⊃
9. 𝑝 ⊃ 𝑞 ⊃ 𝑞 ⊃ 𝑝 – 1,8 введ. ⊃
Доказательство – это вывод из пустого
множества неисключённых посылок
Эвристики или помощь при наборе посылок
1 – я: в качестве посылки берется левая часть
импликации (антецедент) до тех пор, пока не
остается правая часть (консеквент), не
содержащая импликации
((А  В)  ((А  С)
((А  В)  ((А  С)   (А  А))
((А  В)  ((А  С)  (С  (А ∧ А)))
Эвристики или помощь при наборе посылок
2 – я: применяется строго после первой. В
качестве посылки берется отрицание
консеквента (доказательство от противного, цель
вывода – получение противоречия)
((А  В)  ((А  С)
С
((А  В)  ((А  С)   (А  А))
(А  А)
((А  В)  ((А  С)  (С  (А ∧ А)))
(А ∧ А)
Эвристики или помощь при наборе посылок
3 – я: применяется строго после первой и второй
эвристик к формулам вида: А  B
В качестве посылки можно взять А, В, А, В или
и то, и другое
После применения 3-й эвристики цель вывода
получение противоречия
Правила вывода
*С – последняя посылка в выводе
( A ∧  B)   (А  B)
1.  A ∧  B - посылка
2.  (А  B) - посылка
3. А  B - 2 иск. 
4.  A - 1 иск. ∧
5. В - 3,4 иск. 
6.  B - 1 иск. ∧
7.  (А  B) - 5,6 введ. 
8.  (А  B) - 7 иск. 
9. ( A ∧  B)   (А  B) – 1,8 введ. 
( A ∧  B)   (А  B)
1.  A ∧  B - посылка
2.  (А  B) - посылка
3. А  B - 2 иск. 
4.  A - 1 иск. ∧
5. В - 3,4 иск. 
6.  B - 1 иск. ∧
7.  (А  B) - 5,6 введ. 
8.  (А  B) - 7 иск. 
9. ( A ∧  B)   (А  B) – 1,8 введ. 
Теория понятий
Что такое «человек»?
Разумное существо
Прямоходящее существо
Животное, способное производить орудия труда
Животное, способное к членораздельной речи
Понятие – это мысль, которая
посредством указания на
некоторый признак выделяет
из универсума и обобщает в
класс предметы, обладающие
этим признаком
Изображение понятий
U - универсум
А - «живые организмы»
В – «живой организм,
обладающий разумом»
U
A
В
Примеры
Луна
Кошка
Кресло
Студент
Любовь
Содержание понятия –
отличительный признак (свойство)
на основании которого предметы
выделяются из универсума
Объем понятия – сами предметы в
универсуме, которые обладают
тем или иным отличительным
признаком
Виды понятий
Пустые – понятия, в объеме которых не
содержится ни одного элемента
• логически пустые
• фактически пустые
Непустые - понятия, в объеме которых
содержится по крайней мере один элемент
• единичные
• общие
Примеры
Герой комиксов графа Л.Н. Толстого
Человек, едущий в метро
Дерево, растущее на Марсе
Бактерия
Кентавр
Любимый мультфильм А.С. Пушкина
Круглый квадрат
Автор «Ромео и Джульетты»
Смерть
Другие виды понятий
• универсальные
• неуниверсальные
• положительные
• отрицательные
• относительные
• безотносительные
• собирательные
• несобирательные
• конкретные
• абстрактные
Отношения между понятиями
• Понятия А и В совместимы, если
пересечение их объемов не пусто (есть
общие элементы)
• Понятие А включается в понятие В, если
все элементы объема понятия А
содержатся в объеме понятия В
• Понятия А и В находятся в отношении
исчерпывания, если объединение их
объемов составляет весь универсум
Отношения между понятиями
А
В
В
А
А
А
В
В
Отношения между понятиями
U
А
U
А
В
А
В
В
Примеры
А - бабушка
В - мать
С - дочь
D - внучка
E – голова
Бабушки
U
С, D
E
В
А
Примеры
• стул, табуретка, мебель,
устройства для сидения
• самолет, НЛО, лётчик,
летательный аппарат,
Боинг-747, Юрий Гагарин
• квадрат, параллелограмм,
ромб, прямоугольник,
четырехугольник, трапеция,
равносторонний
прямоугольник
C – стул
D – табуретка
A – устройство
для сидения
B – мебель
U
С
B
A
D
U
А – самолет
В – НЛО
С – летчик
D – летательный
аппарат
Е – Боинг-747
F – Юрий Гагарин
D
A
E
C
.
F
B
E
А – квадрат
В – параллелограмм
С – ромб
D – прямоугольник
E – четырехугольник
F – трапеция
G – равносторонний
прямоугольник
C
F
A, G
D
Операции над понятиями
• Ограничение
• Обобщение
• Деление
Операции над понятиями
• Обобщение: человек, изучающий логику - человек,
изучающий какую-либо науку - человек, изучающий чтолибо – человек
• Ограничение: человек, изучающий логику - человек,
изучающий логику в ВУЗе - человек, изучающий логику
на первом курсе обучения в ВУЗе - человек, изучающий
логику на первом курсе обучения в НИУ-ВШЭ
• Деление понятия «человек»:
дихотомическое
женщина
по видоизменению основания
с высшим образованием
мужчина
без высшего образования
женщина
Примеры
•
•
•
•
•
•
•
квадрат
университет
книга
лекарство
замок
наряд
дружба
Силлогистика
Все люди разумны
S
P
Некоторые люди разумны
S
P
Ни одни человек не разумен
S
P
Некоторые люди не разумны
S
P
Категорические атрибутивные высказывания
AFFIRMO - утверждаю
Все S есть P - SaP
Некоторые S есть P - SiP
NEGO - отрицаю
Ни один S не есть P - SeP
Некоторый S не есть P - SoP
Виды высказываний
• Все S есть Р – общеутвердительные
(SаР)
• Все S не есть Р – общеотрицательные
(SеР)
• Некоторые S есть Р – частноутвердительные
(SiР)
• Некоторые S не есть Р – частноотрицательные
(SоР)
• а есть Р – единичноутвердительные
• а не есть Р – единичноотрицательные
Область истинности высказывания
Распределенность терминов
Термин в высказывании считается
распределенным, если и только если на всех
модельных схемах, где это
высказывание истинно, его объем полностью
заштрихован или полностью незаштрихован
• S + a P• S+ e P+
• S- i P• S- o P+
Логический квадрат
SaP SiP
SeP SoP PaS PiS PeS PoS
Включение S в P
И
И
Л
Л
Л
И
Л
И
Включение P в S
Л
И
Л
И
И
И
Л
Л
Объединение
И
И
Л
Л
И
И
Л
Л
Соподчинение
Л
Л
И
И
Л
Л
И
И
Перекрещивание Л
И
Л
И
Л
И
Л
И
Умозаключения по логическому квадрату
Все кошки – хищники
SaP – SiP
Некоторые кошки хищники
SaP - ¬SeP
Неверно, что все кошки не являются хищниками
SaP - ¬SoP
Неверно, что некоторые кошки не являются
хищниками
¬SaP - SoP
Некоторые кошки не являются хищниками
Остальные умозаключения по логическому квадрату
SeP SeP SeP ¬SeP SiP ¬SiP ¬SiP ¬SiP
SoP ¬SaP ¬SiP SiP ¬SeP SeP ¬SaP SoP
SoP ¬SoP ¬SoP ¬SoP
¬SaP SaP ¬SeP SiP
Другие непосредственные умозаключения
Обращение – это непосредственное
умозаключение, в котором субъект заключения
совпадает с предикатом посылки, а предикат
заключения – с субъектом посылки. Вывод
делается по схеме:
S–P
P–S
Другие непосредственные умозаключения
Превращение – это непосредственное
умозаключение, в котором субъект заключения
совпадает с субъектом посылки, а предикат
заключения является термином,
противоречащим предикату посылки.
Вывод делается по схеме:
S–P
S – ~P
Другие непосредственные умозаключения
Противопоставление – это непосредственное
умозаключение, в котором субъект и предикат
посылки в заключении меняются местами, и при
этом по крайней мере один из них заменяется на
противоречащий ему термин:
S–P
P – ~S
субъекту
S–P
~P – S
предикату
S–P
~P – ~S
субъекту и
предикату
Примеры
Произвести все возможные непосредственные
умозаключения со следующими
высказываниями:
•
•
•
•
Все деревья – растения
Ни один человек не является птицей
Некоторые мужчины разумны
Некоторые студенты не являются девушками
Все деревья растения
Обращение:
Некоторые растения – деревья (PiS)
Превращение:
Все деревья не являются не растениями (Se~P)
Противопоставление субъекту:
Некоторые растения не являются не деревьями (Po~S)
Противопоставление предикату:
Ни одно не растение не является деревом (~PеS)
Противопоставление S и P
Все не растения являются не деревьями (~Pа~S)
Все виды обращений, превращений и
противопоставлений
Простой категорический силлогизм
В состав любого силлогизма входят три термина
– S, Р и М.
S (меньшим термином) называется субъект
заключения
Р (большим термином) называется предикат
заключения
М (средним термином) называется термин,
имеющийся в обеих
посылках
Пример
Все марсиане – бактерии
Ни одна бактерия не знает любви
Все любящие – не марсиане
PaM
MeS
SeP
Является ли силлогизм правильным???
Фигуры силлогизмов
Каково общее число модусов?
Условия правильности силлогизма
• Средний термин должен быть распределен по
крайней мере в одной из посылок
• Если термин распределен в заключении, он
должен быть распределен и в посылке
• По крайней мере одна из посылок должна быть
утвердительным суждением
• Если обе посылки утвердительные, то и
заключение должно быть утвердительным
• Если одна из посылок отрицательная, то и
заключение должно быть отрицательным
Примеры
• Все дельфины — киты. Ни одна рыба не
является китом. Следовательно, ни одна рыба
не является дельфином
• Некоторые пираты не носят кольцо в носу.
Индийские танцовщицы носят кольцо в носу.
Следовательно, некоторые индийские
танцовщицы не пираты
• Все козероги очень упрямы. Ни один упрямец
не легковерен. Следовательно, ни один
легковерный человек не козерог
Энтимемы
Энтимема – это простой категорический
силлогизм, в котором отсутствует либо посылка,
либо заключение
Может быть корректной и некорректной
Примеры
• Некоторые ученые объективны. Ни один
ребенок не ученый
• Все растения живые. Ни одно растение не
животное
• Все комары – насекомые. Некоторые пауки не
насекомые
• Медь — проводник, потому что все металлы
проводники
• Некоторые книги увлекательны, значит,
некоторые книги полезны
Классическая логика предикатов
Что такое логика предикатов?
• КЛП – это теория,
изучающая логическую
форму не только сложных,
но и простых суждений
• В КЛП значение простого
суждения есть функция от
значений входящих в него
имен
Б.Рассел (1872-1970)
Виды терминов
Имена: Солнце, Вася, Москва…
Отношения: севернее, старше, умнее…
Функции: «+», «столица …», «отец …»
Человек? Город? Любовь? Дружба? Расстояние
от Лаоса до Пекина?
Язык КЛП
Нелогические символы:
•
•
•
•
a, b, c … – предметные константы
x, y, z … – предметные переменные
f, g, h ... – функторы
P, Q, R ... – (нелогические) предикаторы
Язык КЛП
Логические символы:
•
•
•
•
= – предикатор равенства
,  – кванторы
, &, V,  – пропозициональные связки
( , ) – скобки
Кванторы
• Логику предикатов вообще часто называют
«теорией квантификации»
• Кванторы позволяют формализовать
количественную характеристику высказываний
A
Квантор общности («все», «каждый»)
E
A ll
E xist
Квантор существования
(«существует», «некоторый»)
Определение терма
(1) предметные константы и переменные
являются термами
(2) если t – терм, а Ф – предметный функтор,
то Ф(t) также является термом
(3) ничто другое не является термом.
Определение формулы
(1) Если t – терм, а П – предикатор, то П(t)
является формулой
(2) Если А – формула, а α – предметная
переменная, то αА и αА являются
формулами
(3) Если А и В – формулы, то А, А&В, АVВ,
АVВ, АВ и АВ являются формулами
(4) ничто другое не является формулой
Какие из этих выражений являются правильно
построенными формулами?
1.
2.
3.
4.
5.
6.
P(x  f(x))
x(P(x) & Q(y)) y
xy(Q(x) & P(y))
x(Q(x) )
x(P(x)  y Q(x))
x(Q(x) )
Пример формализации
Примем обозначения:
• a – Ромео
• b – Джульетта
• f( ) – отец (кого-то)
• P( ) – храбрец (кто-то)
• R( , ) – любит (кто-то кого-то)
Пример формализации
Запишите на языке КЛП:
• Ромео храбр и любит Джульетту
P(a) & R(a,b)
• Отец Джульетты не любит Ромео
R(f(b),a)
• Не все любят своего отца
xR(x,f(x))
Пример формализации
• Некоторые храбрецы любят Джульетту
x (P(x) & R(x,b))
• Джульетта любит только храбрецов
x (R(b,x)  P(x))
• Ромео не любит всех тех, кого любит
Джульетта
x (R(b,x)  R(a,x))
Семантика КЛП
Символы
Значение
Предм. константы и
переменные
Функторы
Отдельные предметы
Предикаты
Предметно-истинностные
функции
Истинностно-истинностные
функции
Связки
Предметно-предметные
функции
«Ромео», «Джульетта» и др.
a
b
х
«Отец»
a
b
х
у
Кто отец а? – у
Кто отец b? – х
«Храбрец»
a
b
0
1
Храбрец ли b? – Нет
Храбрец ли a? – Да
«Любит»
1
a
b
x
y
0
b любит х? – Да
а любит у? – Нет
Основные законы КЛП
• Закон подчинения
A  A
• Закон непротиворечия
(A & A)
• Закон непустоты предметной области
A  A
Основные законы КЛП
• Законы отрицания кванторов
A  A
Если не все вороны черные, то некоторые
вороны – не черные
A  A
Если не существует крылатых лошадей, то
все лошади являются бескрылыми
Основные законы КЛП
• Законы перестановки кванторов
A  A
Если каждый знает всё, то всё известно
каждому
A  A
Если кто-то кому-то завидует, то кому-то
завидует кто-то
Основные законы КЛП
• Законы перестановки кванторов
A  A
Если кто-то любит всех, то каждого любит
кто-то
A  A
Основные законы КЛП
• Законы дистрибутивности кванторов
(A&B)  (A & B)
(A&B)  (A & B)
(A  B)  (AB)
(AB)  (A  B)
(AB)  (A  B)
(A  B)  (AB)
Исчисление предикатов
Исчиcление высказываний (правила
введения и исключения связок)
+
Правила для кванторов
=
Исчисление предикатов
Понятие правильной подстановки
• А(/β) – результат правильной подстановки
в формулу А вместо переменной 
переменной β
• Подстановка считается правильной, если
– β замещает  везде, где  не связана никаким
квантором
– ни одна переменная не оказалась связанной в
тех местах, где она появилась в результате
подстановки
Являются ли следующие примеры подстановки
правильными?
• P(x) & zR(z,x)
P(y) & zR(z,x)
Неправильно! (неполная подстановка)
Правильно: P(y) & zR(z,у)
• xR(x,y)
xR(x,x)
Неправильно! (коллизия переменных)
Правильно: xR(x,z)
Кванторные правила
Введение кванторов
Исключение кванторов
в
А(/β)* Правило
и
генерализаци
А() и
в
А(/β)
и
Правило
А()
единичного
А()
А(/β)
А()
А(/β)*
выбора
* при этом β абсолютно ограничена, а все остальные
свободные переменные в А ограничены относительно β
Что значит «переменная ограничена»?
Сравните:
• х + х = 2х
• х+3<5
• х+у<5
(х не ограничен)
(х абсолютно ограничен)
(х ограничен
относительно y)
Ни одна переменная не должна быть абсолютно
ограничена дважды
Сравните информативность суждений:
хА(х) (общее)
«Все знают Васю»
А(а)
(единичное)
«Петя знает Васю»
хА(х)
(частное)
«Некто знает Васю»
От общего к единичному и частному можно
перейти всегда, без ограничений
• Снизу вверх – только на одну ступень, да и то с
ограничением!
•
•
•
•
Ни одна переменная не должна ограничивать сама
себя
• Пример:
1. хуR(x,y)
2. уR(z,y)
3. R(z,v)
4. xR(x,v)
5. yxR(y,x)
все любят кого-то
z любит кого-то
z любит v
(v огр, z огр.отн. v)
v любят все
(z огр., v огр.отн z)
кого-то любят все
Вывод считается завершенным
• Если ни одна переменная,
абсолютно ограниченная в
выводе, не встречается свободно
ни в неисключенных посылках, ни
в заключении
Пример 1
Если никто никого не боится, то неверно,
что кто-то боится самого себя
Пример 2
Индуктивная логика
Правдоподобные рассуждения
Дедуктивные и правдоподобные рассуждения
• Дедукция – метод рассуждения, при котором из знания
о наличии некоторого свойства у всех предметов
класса делается вывод о наличии свойства у отдельных
предметов класса.
– Извлекает, проясняет, делает явной информацию.
– Гарантирует истинность заключения при истинности
посылок
• Правдоподобные рассуждения:
– Позволяют получать новую информацию!
– Связь между посылками и заключением носит лишь
вероятностный (проблематичный, правдоподобный)
характер
Виды правдоподобных рассуждений
I.
Обобщающая индукция
1.
2.
3.
4.
Статистическая и нестатистическая
Полная и неполная
Эмпирическая и математическая
Популярная и научная
II. Исключающая индукция (методы установления
причинных зависимостей)
1.
2.
3.
4.
Метод сходства
Метод различия
Метод сходства и различия
Метод сопутствующих изменений
III. Аналогия
1. По свойствам
2. По отношениям
Обобщающая индукция
• Рассуждение, в котором от знания о некоторых
предметах некоторого класса переходят к знанию обо
всех предметах данного класса.
• По одной капле воды человек, умеющий
мыслить логически, может сделать
вывод о возможности существования
Атлантического океана или Ниагарского
водопада, даже если он не видал ни того,
ни другого и никогда о них не слыхал.
Всякая жизнь — это огромная цепь
причин и следствий, и природу её мы
можем познать по одному звену.
А. Конан Дойл
Полная нестатистическая индукция
1. Предмет s1 обладает свойством Р.
2. Предмет s2 обладает свойством Р.
3. Предмет sn обладает свойством Р.
4. {s1, s2,..., sn }= К (генеральная совокупность)
______________________________________
Все предметы класса К обладают свойством Р.
Неполная нестатистическая индукция
Cтатистическая индукция
Причина и следствие
• Причина — это явление, которое в определенных условиях порождает
другое явление; обстоятельство, добавление которого к имеющимся
обстоятельствам вызывает следствие.
• Следствие — это явление, порождаемое причиной:
1. событие, существование или несуществование предметов и т.д.
2. взаимодействие противоположных сторон предмета и
изменения, происходящие в данном предмете в результате этого
взаимодействия.
• Причинно-следственная связь является:
1. объективной;
2. необходимой и достаточной (причина обязательно влечет
следствие, нет причины – нет следствия);
3. всеобщей (в природе нет беспричинных явлений);
4. причина предшествует следствию во времени (по крайней мере
следствие не может появиться раньше причины).
Иными словами
• Х является причиной У е.т.е.
– Х предшествует (или совпадает с) У по времени
– Всегда при наличии Х наступает У
– Никогда без Х не наступает У
– Изменения Х соответствуют изменениям У
Действующая причина
• Всегда активна по отношению к
следствиям
• Предшествует следствию во времени
• Д. причины выстраиваются в цепь
причинения
• Отличается от формальной причины
• Может быть сложной
• Имеет статистический или
динамический характер
Исключающая индукция
• Умозаключение, устанавливающее причину
наступления события е путем исключения из
предшествующих е обстоятельств, тех из них, которые
не могут являться причиной е.
• «Отбросьте все невозможное, то, что останется, и
будет ответом, каким бы невероятным он ни казался.»
• Событие А не является причиной е:
1. Если при отсутствии события А событие е осуществилось.
2. Если всегда при наступлении А событие е не происходит.
3. Если при отсутствии модификации фактора А е
изменяется.
4. Если всегда при модификации А событие е не
изменяется.
Метод единственного сходства
Случай
Предшествующие обстоятельства
Наблюдаемое событие
1
2
.
A, B, C
A, D, F
.
e
e
.
.
n
.
A, X, Y
.
e
Пример
• Эксперимент Д.Брюстера: отпечатки
перламутровой раковины на
– воске
– гипсе
– смоле
– каучуке и пр.
одинаковые
переливы
• Вывод: причиной радужных
переливов является не особое
вещество, а лишь структура
поверхности
Метод единственного различия
Случай Предшествующие обстоятельства
Наблюдаемое событие
1
.
.
A, B, C
.
.
e
.
.
n
n+1
.
A, Bn, Cn
¬A, Вn+1, Сn+1
.
e
¬e
.
.
k
.
¬A, Bk, Ck
.
¬e
Пример
• Эксперимент Н.И. Лунина:
– одну группу мышей кормили
обычной пищей (выжили)
– другую – очищенными белками и
солями (не выжили)
• Вывод: кроме белков и солей для
жизни необходимо что-то еще
(витамины)
Метод сходства и различия
Случай Предшествующие
обстоятельства
Наблюд Случай Предшествующие
аемое
обстоятельства
событие
Наблюда
емое
событие
1
A, B, C
e
n+1 ¬A, Вn+1, Сn+1
¬e
.
.
.
.
.
.
.
n
.
A, Bn,Cn
.
e
.
k
.
¬A,Bk, Ck
.
¬e
Метод сопутствующих изменений
А´, В´´, С´´´  х´
А´´, В´, С´´  х´´
А´´´, В´´´, С´  х´´´
Вероятно, A  х
(или C  х?)
Пример
• Корреляция изменений – наиболее надежный
аргумент там, где причина и следствие не разделены
во времени
Аналогия
• Рассуждение по аналогии состоит в том, что на основе сходства
двух предметов (систем предметов) А и В по некоторым
признакам, а также на основе того, что А присущ некоторый
признак, заключают о присущности этого признака и В.
Свойство
Предмет А
Предмет В
Р1
+
+
Р2
+
+
.
.
.
.
.
.
Рn
+
+
A подобен B
А обладает свойством Q
___________________________________________
В обладает свойством Q
Требования к рассуждениям по аналогии
Для нестрогой аналогии:
1.
2.
3.
4.
5.
Необходимо обнаружить как можно большее число общих признаков у
сравниваемых предметов;
Общие признаки должны быть существенными для сопоставляемых
предметов;
Общие признаки должны быть по возможности отличительными для этих
предметов;
Названные признаки должны быть как можно более разнородными;
Общие признаки должны быть тесно связаны с переносимым признаком.
Для строгой (научной) аналогии:
1.
Должна использоваться теория, объясняющая связь признаков Р1,…, Рn и
переносимого признака Q.
ЛИБО:
1.
2.
Общие признаки Р1,…, Рn должны быть в точности одинаковыми у
сравниваемых предметов;
Связь признаков Р1,…, Рn и признака Q не должна зависеть от специфики
сравниваемых предметов.