(1 + r).

ЛЕКЦИЯ 2. СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕНТЫ.
ИНФЛЯЦИЯ
ФИНАНСОВАЯ
МАТЕМАТИКА
НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
• В отличие от схемы простых процентов, где процент начисляется на
одну и ту же величину долга или депозита (базу), в схеме сложных
процентов начисленные проценты присоединяются к первоначальной
сумме.
• Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила
базой для их начисления называют капитализацией.
Период (12%
годовых – 1% в
месяц)
Сумма на депозите
Начало 1 месяца
100тыс
Конец первого
месяца
100тыс
1000
Конец второго
месяца
100тыс
1000
Конец третьего
месяца
100тыс
1000
1010
Начисленный процент
1010
1020,1
100тыс
Х 1% = 1000
100тыс
1000
1000
100тыс
1010
Х 1%= 1010
Х 1%= 1020,1
2
МОДЕЛЬ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ
Если период инвестирования 1 год, а средства вкладываются
или занимаются на целое число лет, то
В конце первого года – FV1=PV+PV * r = PV (1+r)
В конце второго года – FV2=FV1+FV1 * r = FV1 (1+r)= PV (1+r)2
В конце n-года – FV
= FVn-1 (1+r) = PV (1+r)n
• Величина (1+r)n - множитель наращения
• Время при наращении по сложной ставке обычно измеряется
как ACT/ACT, т.е. точные проценты с точным числом дней
ссуды.
3
Наращение по сложным процентам
Наращение по сложным процентам представляет
собой процесс, соответствующий геометрической
прогрессии, первый член которой равен РV, а
знаменатель - (1 + r). Последний член прогрессии
равен наращенной сумме в конце срока ссуды.
4
ПРИМЕР 1
Вы размешаете 500 тыс. руб. на депозит на четыре
года с начислением процентов в размере 12%
годовых ежегодно, с капитализацией. Тогда по
окончании четырехлетнего депозита вам будет
начислена следующая сумма процентов:
РЕШЕНИЕ:
I=FV-PV=PV[(1+r)n-1]
I = 500[(1 + 0,12)4 - 1] = 286,76 тыс. руб.
5
Иллюстрация мощи сложного процента
• Сложный процент дает приращение вклада в
геометрической прогрессии, а простой процент -в
арифметической. При больших сроках разница может
быть впечатляющей.
• Классический пример с «покупкой» острова Манхэттен,
где сейчас расположен центр Нью-Йорка, у индейского
вождя за 24 доллара в 1624 году. Если бы эти деньги
удалось положить в банк всего под 6,3% годовых
(средний процент по долгосрочным займам в ХХ веке в
США), то спустя 390 лет, в 2014 году, (Формулу
напишите самостоятельно) была бы накоплена сумма
примерно 534 791 388 000 долл.
• При простом проценте накопленная сумма была бы
ничтожной: 24*(1+ 0,063*390) = 613,68 долл.
6
Соотношение множителей наращения
- для срока меньше года простые проценты больше сложных;
- для срока больше года сложные проценты больше простых;
- для срока равного году множители наращения равны друг другу.
7
НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ ПРОЦЕНТОВ ПРИ РАСЧЕТНОМ
ПЕРИОДЕ, НЕ РАВНОМ ЦЕЛОМУ ЧИСЛУ ЛЕТ
• Для расчета точного значения наращенной
суммы целесообразно для целого числа лет
срока инвестирования использовать схему
сложного процента, для дробной части —
схему простого процента
r
FV  PV (1  r ) (1  t )
T
n
• Где n – целое число лет, Δt – дробная часть
периода инвестирования
8
Наращение при разных процентных ставках
• Проценты на основной долг начисляются по ставке
r, а проценты на проценты по ставке i (r ≠ i)

FV  PV  PVr 1  (1  i )  (1  i ) 2  ...  (1  i ) n 1

(1  i ) n  1
FV  PV (1  r
)
i
Если на каждом этапе t (t=l, 2, ..., к) срока вклада
процентная ставка r меняется, то величина
наращенной суммы может быть определена :
k
FV  PV (1  r1 ) n1 (1  r2 ) n2 ....(1  rk ) nk  PV  (1  rt ) nt
t 1
9
ПРИМЕР 2
В договоре зафиксирована переменная
ставка сложных процентов, определяемая
как 20% годовых плюс маржа 10% в первые
два года, 8% - в третий год 5% - в четвертый
год. Вычислить величину множителя
наращения за 4 года.
Решение: Искомый множитель наращения
равен: (1 + 0,3)2 (1 + 0,28)(1 + 0,25) = 2,704.
10
Начисление сложных процентов при капитализации
несколько раз в год
Пусть m - число раз капитализации процентов в течение
года. Первая капитализация процентов произойдет через 1/m года.
r
Наращенная сумма в этот момент будет равна: FV1  PV (1  )
m
r m
К концу года наращенная
FVm  PV (1  )
сумма составит:
m
r mn
По прошествии n – лет:
FV  PV (1  )
m
Где r/m – процентная ставка, по которой происходит
начисление процентов в каждом инвестиционном цикле (В
EXCEL – СТАВКА); тn — общее число периодов
капитализации процентов (В EXCEL – КПЕР).
11
ПОНЯТИЕ ЭФФЕКТИВНОЕ ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка
сложных процентов дает тот же финансовый результат,
что и m-разовое наращение в год по ставке j/m.
Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз
со ставкой j/m, то, по определению, можно записать
следующее равенство для соответствующих множителей
наращения:
j mn
n
(1  rýôô )  (1 
m
)
Связь между эффективной и номинальной ставками
выражается соотношением:
rýôô
j m
 (1  )  1
m
12
ПРИМЕР 3
Вы можете разместить на депозит сумму в 100
тыс. руб. Необходимо определиться с
выгодным вариантом вклада:
1) на условиях ежеквартального начисления
процентов из расчета 10% годовых;
2)
на условиях полугодового начисления
процентов из расчета 10,5% годовых.
Какой вариант более предпочтителен?
Решение:
13
ДИСКОНТИРОВАНИЕ ПО СЛОЖНОЙ ПРОЦЕНТНОЙ
СТАВКЕ
В самом простом случае:
Если m раз в год:
1
PV  FV
n
(1  r )
1
PV  FV
r nm
(1  )
m
Дисконтный множитель:
r  nm
(1  )
m
14
ПРИМЕР 4
• Клиент планирует передать банку в доверительное
управление 320 тыс. евро. При этом ожидаемая
доходность по вложенным средствам составляет
24% годовых с ежемесячной капитализацией
процентного дохода. Через два года клиент
планирует совершить покупку недвижимости
стоимостью 400 тыс. евро. Рассчитайте, обеспечит
ли сумма 320 тыс. евро необходимый финансовый
результат через два года.
FV
400

 248,7
Решение: PV 
12*2
r mn (1  0,02)
(1  )
m
15
БАНКОВСКОЕ ДИСКОНТИРОВАНИЕ
В самом простом случае:
PV  FV (1  d )
Если m раз в год:
d mn
PV  FV (1  )
m
n
i m
Эффективная учетная ставка: d  1  (1  )
m
16
ПРИМЕР 5
Вексель на сумму 20000 руб., срок платежа по
которому наступает через 1,8 года, учтен по
сложной процентной ставке 18% годовых.
Определить сумму, полученную владельцем векселя
при учете, и дисконт при ежегодном и ежемесячном
дисконтировании.
Решение:
1) PV(1-d)n=20000(1-0,18)1,8=13992,5
D=FV-PV=20000-13992,5=6007,5
2) PV(1-d/m)nm=20000(1-0,18/12)1,8*12=14429,5
D=FV-PV=20000-14429,5=5570,5
17
СООТНОШЕНИЕ МНОЖИТЕЛЕЙ НАРАЩЕНИЯ ПО
СЛОЖНОЙ СТАВКЕ
1
(1  r ) 
(1  d ) n
n
18
Происхождение сложного процента и срочного вклада
• Сложный процент восстанавливает справедливость, он уравнивает
«ленивого» и «активного» клиентов. Переоформление вклада ничего
не приносит банкиру, кроме хлопот, поэтому он сам должен начислять
сложный процент.
• Во избежание процедуры изъятия и повторного вклада обе стороны
кредитной или депозитной сделки заранее договариваются об
использовании сложных процентов и срочных вкладов «в одном
флаконе».
• В стабильных экономических условиях при многолетнем сроке
кредита применение сложного процента является неписаным
стандартом. Но год –это большой срок. Поэтому многие российские и
иностранные банки начисление сложных процентов по кварталам, а в
условиях высокой инфляции и по месяцам.
В кредитных договорах и банковских правилах это звучит примерно
так: «Ежеквартально сумма вклада увеличивается на ... процентов»
или «Проценты по вкладу капитализируются каждые три месяца»
или «Сумма процентов по вкладу прибавляется к основному вкладу
раз в три месяца».
19
НЕПРЕРЫВНОЕ НАЧИСЛЕНИЕ СЛОЖНЫХ
ПРОЦЕНТОВ
r mn
r mn
FV  lim PV (1  )  PV lim (1  )
m 
m
m
m
r m
lim (1  )  e r , e  2,718281
m 
m
FV  PVe
rn
Процентная ставка при непрерывном начислении
процентов называется силой роста
20
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СРОКА ССУДЫ И РАЗМЕРА
ПРОЦЕНТНОЙ СТАВКИ
FV
)
PV
n 
log( 1  r )
log(
Срок ссуды:
log(
n 
FV
)
PV
m  log( 1 
r 
Величина
процентной ставки
n
j
)
m
FV
1
PV
r  m  ( mn
FV
 1)
PV
21
ПРИМЕР 6
За какой срок в годах сумма, равная 75 млн.
руб., достигнет 200 млн. руб. при
начислении процентов по сложной ставке
15% раз в году и поквартально?
РЕШЕНИЕ:
log( 200 / 75)
n
 7,0178
log 1,15
log( 200 / 75)
n
 6,6607
0,15
4  log( 1 
)
4
22
ЭКВИВАЛЕНТНОСТЬ СТАВОК
Рассмотрим соотношения эквивалентности простых ставок I s и ds , с одной
стороны, и сложных ставок I и J, с другой. Попарно приравняв друг к другу,
соответствующие множители наращения, получим набор искомых
соотношений.
(1  i ) n  1
is 
, i  n is n  1  1
Эквивалентность Is и I:
n
Эквивалентность Is и J
Эквивалентность Ds и J
j mn
) 1
m
is 
, j  ( nm is n  1  1)  m
n
j
1  (1  ) mn
m , j  ( nm 1  1)  m
ds 
n
1 dsn
(1 
Также можно найти соотношение эквивалентности между силой роста
и любой дискретной процентной ставкой.
Эквивалентность δ и i
  ln( 1  i), i  e  1
j
Эквивалентность δ и j:   m ln( 1  ),
m

j  m(e m  1)
23
ПРИМЕР 7
Какой сложной годовой ставкой можно
заменить в контракте простую ставку 18%,
не изменяя финансовых последствий? Срок
операции 580 дней.
i
580
365
580
1
 0,18  1  0,17153
365
24
УРОВЕНЬ ИНФЛЯЦИИ
Инфляция - это процесс, характеризуемый обесценением
национальной валюты, то есть снижением её
покупательной способности и общим повышением цен.
Без учета инфляции конечные результаты расчетов
денежных потоков являются весьма условными.
Уровнем (темпом) инфляции
называется величина а, определяемая
как
S S  S


S
S
где S - сумма денег, покупательная способность которой рассматривается
при отсутствии инфляции;
Sa - сумма денег, покупательная способность которой с учётом инфляции
равна покупательной способности суммы S при отсутствии инфляции,
причём Sa > S.
25
ИНФЛЯЦИЯ
S  S  S  S (1   )
I p  (1   )
Индекс инфляции (индекс цен) - это индекс роста, показывающий
во сколько раз, в среднем, выросли цены за рассматриваемый
период.
Поскольку индекс цен это цепной индекс, то для периодов, следующих
друг за другом, он рассчитывается следующим образом:
n
n
t 1
t 1
I p   I p ,t   (1   t )
I p  (1   ) n
26
ПРИМЕР 8
Постоянный темп инфляции на уровне 5% в месяц
приводит к росту цен за год в размере Ip = 1,0512 =
1,796.
Таким образом, действительный годовой темп инфляции
равен 79,6%, а не 60% как при суммировании.
Продолжим пример. Пусть приросты цен по месяцам
составили: 1,5; 1,2 и 0,5%. Индекс цен за три месяца
равен:
Ip = 1,015 х 1,012 х 1,005 = 1,0323. Темп инфляции за три
месяца 3,23%.
27
Обесцененная инфляцией сумма
Для простых процентов
обесцененная инфляцией сумма
1  nr
1  nr
S  P
P
Ip
(1   ) n
Для сложных процентов
обесцененная инфляцией сумма
определяется как
(1  r ) n
(1  r ) n
S  P
P
Ip
(1   ) n
r >a
r =a
r <a
28
БРУТТО-СТАВКА
Владельцы денег, разумеется, не могут смириться с их
инфляционным обесценением и предпринимают различные
попытки компенсации потерь. Наиболее распространенной
является корректировка ставки процента, по которой
производится наращение, т.е. увеличение ставки на величину
так называемой инфляционной премии. Итоговую величину
можно назвать брутто-ставкой.
P(1  rn)(1   )  P(1  nr )
nr    nr
r 
n
Если n = 1, получим формулу Фишера: ra =r+ a + ra
Величина а + ra называется инфляционной премией (исходную
ставку увеличивают на величину инфляционной премии, чтобы
компенсировать обесценивание денег).
29
РЕАЛЬНАЯ ДОХОДНОСТЬ
Формула реальной доходности в вид годовой
простой ставки ссудных процентов для случая,
когда первоначальная сумма PV была
инвестирована под простую ставку ссудных
процентов ra на срок n при уровне инфляции α
за рассматриваемый период:
nr  
r
n  n
1  nr
1  n 
Ip
r 
I p  1 
(1  n ) I p  1
n
1 1  nr
 (
 1)
n Ip
30
ПРИМЕР 9
Найти реальную простую процентную
ставку (доходность) при номинальных
ставках 60% и 30% годовых и месячных
темпах инфляции а1= 5%, а2 = 2%, а 3 = 4%
Индекс цен за три месяца находится следующим образом:
Ip= (1 + 0,05) (1 + 0,02) (1 + 0,04) = 1,11384.
1 1  0,25 * 0,6
(
 1)  0,1299
0,25 1,11384
1 1  0,25 * 0,3

(
 1)  0,1395
0,25 1,11384

Во втором случае произошла эрозия капитала на
13,95%.
31
ЗАДАЧА ДЛЯ РАЗМЫШЛЕНИЯ
Саша развлекает себя и вписывает числа в
круг по следующему правилу: между двумя
числами
он вписывает их сумму.
Изначально в круге находятся числа 3,7,5.
(на следующем шаге будет: 3,10,7,12,5,8).
Какова будет сумма чисел после 10 шага?
3
3
5
8
7
10
5
7
12
33
СПАСИБО ЗА
ВНИМАНИЕ!
Финансовая
математика
34