Статистические модели оптимальной области объекта исследования

Статистические модели оптимальной
области объекта исследования
Полученная на основе ПФЭ или ДФЭ
адекватная статистическая модель может быть
использована нами для оптимизации ХТП.
Применяя один из методов оптимизации
(метод крутого восхождения, метод градиента),
можно достигнуть области оптимума исследуемого
процесса (почти стационарная область).
После того, как достигнута область
оптимума,
возникает
задача
исследования
поверхности отклика.
Описать поверхность отклика оптимальной области
линейным уравнением в большинстве случаев
невозможно, так как велика кривизна поверхности. Для
адекватного математического описания требуется
многочлен более высокой степени. Для описания
области близкой к экстремуму применяют полиномы
второго порядка.
При возрастании членов уравнении регрессии
должно увеличиваться количество необходимых
опытов.
Существует несколько подходов к планированию
второго порядка:
1)
варьирование факторов на трех уровнях.
В этом случае ПФЭ содержит слишком большое число опытов 3n.
n
2
3
4
5
6
N
9
27
81
243
729
k
6
10
15
21
28
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Например, 3n=9
X1
+1
-1
+1
-1
0
0
0
-1
+1
X2
+1
-1
0
0
0
+1
-1
+1
-1
2) использование центрального композиционного планирования
эксперимента (ЦКП). Различают два вида ЦКП – ортогональное и
ротатабельное.
ЦЕНТРАЛЬНОЕ ОРТОГОНАЛЬНОЕ КОМПОЗИЦИОННОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ
(ОЦКП)
ОЦКП были предложены Боксом и Уилсоном.
Центральными их называют, потому что они симметричны
относительно центра плана.
Композиционными – потому что они составляются путем
добавления определенного числа опытов к плану первого порядка.
Ядром таких планов являются: ПФЭ 2n при n<5 (n – число
факторов) или ДФЭ 2n-1(полуреплика ) при n>5.
Если
линейное
уравнение
регрессии
в
результате
статистического анализа оказалось неадекватным, то поступают
следующим образом.
1. Добавляют к ядру плана (ПФЭ или ДФЭ)
2n точек, расположенных на осях координат
факторного пространства на расстоянии  
от центра плана. Эти точки называются
«звездными».
Координаты «звездных» точек ( 
  
Величина  – «звездное плечо».
2. Увеличивают число экспериментов в
центре плана n0: точки с координатами
(0, . . . , 0).
Схема ЦКП для n = 2;
х2
7 
3
1

1
6

0
4

8
5

х1
2
Точки 1234 – ПФЭ 22;точки 5678 – звездные точки с
координатами
(   и (0,  ).
Количество опытов в матрице ЦКП определяется:
N=2n+2n+n0; если n5;
N=2n-1+2·n+n0; если n>5;
Построим композиционный план для n=2.
N=22+22+1=9;
Таблица № 1
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x1
+
–
+
–
+
–
0
0
0
x2
+
+
–
–
0
0
+
–
0
x12
+
+
+
+
2
2
0
0
0
Эта матрица неортогональна, т.к.

x
x0 j x 2 ij  0
2
2
x
ij
uj  0
x22
+
+
+
+
0
0
2
2
0
Ортогональность
композиционных
планов достигается выбором значения
«звездного плеча» .
Приведем
некоторые
значения
ортогональных планов С по n0=1.

n
2(22)
3(23)
4(24)
5(25)

1.0
1.215
1.414
1.547
для
Уравнение регрессии при ортогональном ЦКП в
общем виде будет следующим: (например, для двух
факторов)
ŷ  b0  b1x1  b2 x2  b12 x1x2  b11x1  b22 x2
(1)
Величины x1* и x2* введены для того, чтобы матрица
планирования была ортогональной, и коэффициенты bi
определялись независимо друг от друга.
N
1

2
x
x

x 2

ji
ji
N j1 ji
(2)
j – номер опыта, i – номер фактора.
Для того, чтобы получить уравнение регрессии в обычной
форме
yˆ  b  b x  b x  b x x  b x 2  b x 2
0 1 1 2 2 12 1 2 11 1
22 2
(3)
Находят величину
b
b
N
b  b   11  x 2  22  x 2;
0 0 N j1 ji
j2
N
(4)
Приведем матрицу ортогонального ЦКП для
n=2, =1.
Таблица № 2
N
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x1
x2
x1x2 x1
x 2
-1
-1
+1 0.33 0.33
+1
-1
-1 0.33 0.33
-1
+1
-1 0.33 0.33
+1
+1
+1 0.33 0.33
0
0 0.33 -0.67
+(+1)
0
0 0.33 -0.67
-(-1)
0 +(+1)
0 -0.67 0.33
0 -(-1)
0 -0.67 0.33
0
0
0 -0.67 -0.67
y
Вычисляем по формуле (2):
x   12  6  1 0.67  0.33
11
9
x   1 6  0.33
51
9
x   0  6  0.67
52
9
Для перехода к натуральным единицам пользуются формулой
xi  xi0
Xi 
;
xi
xi  X i  xi  xi0
Эта матрица ортогональна, т.к.
 x0 j xij 2  0;  xij2 xuj 2  0;
(j – номер опыта).
но не ротатабельна
Коэффициенты регрессии определяются по формулам:
N
1

b

y j;

0
N j 1
N
 xij y j
bi  j 1
;
2
N 

x
  ij 

j 1
N
 xij xuj y j
biu  j 1
;
N
 ( xij xuj )2
j 1
N 
 x ij y j
bii  j 1
N    2
  x ij 

i1
Регрессионный анализ уравнения проводится по схеме,
приведенной ранее. Для расчета дисперсий при определении
коэффициентов используют выражение :
2
S
воспр
.
S 2bo 
;
N
nSbii
2
2

Sb
S b 
x ji 2 ;

0
N
0
2
S
воспр
.
Sb 2 
;
2
N
i
  x ji 

j 1
2
S
воспр
.
Sb 2 
;
2
N
iu
  x ji x ju 

j 1
S 2 воспр.
2
Sb

ii
N   2
  x ji 

j 1
bj
ti 
Sbj
Коэффициент значим, если tj>tT(q,f2); f2 – число степеней свободы
S2воспр. Заключительный этап – проверка на адекватность по
критерию Фишера.
Ротатабельные планы второго порядка.
Ротатабельные планы были предложены в 1957 году Боксом и
Хантером. Этот метод планирования эксперимента позволяет получить
более точное математическое описание поверхности отклика по сравнению
с ортогональным ЦКП. Это достигается за счет увеличения число опытов в
центре плана и специального выбора величины звездного плеча .
Величину  выбирают следующим образом:
n1
 2 4
n
  24








при n<5 ПФЭ
при n>5 ДФЭ
Приведем некоторые значения  и n0 для различного числа факторов n.
Параметр
плана.
2
3
Ядро
22
23
плана

1.414 1.682
n0
5
6
4
24
Количество факторов
5
5
6
25
25-1
26
6
26-1
7
27
7
27-1
2.0
2.378
2.0
2.83
2.38
3.36
2.83
7
10
6
15
9
21
14
Составим матрицу ротатабельного планирования второго порядка
для n=2.
n=2;=1.414, n =5
0
Nn
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
x0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
x1
+
+
+1.414
-1.414
0
0
0
0
0
0
0
x2
+
+
0
0
+1.414
-1.414
0
0
0
0
0
х1х2
+
+
0
0
0
0
0
0
0
0
0
x12
+
+
+
+
2
2
0
0
0
0
0
0
0
х22
+
+
+
+
0
0
2
2
0
0
0
0
0
Матрица ротатабельного планирования второго порядка
неортогональна, т.к.
N
 x0 j xij2  0;
j1
N 2 2
 xij xuj  0;
j1
Формулы для расчета коэффициентов имеют вид:


n


2
AB


b 
 S B n  2   C  S ;
ii

0
N  0 
i1 
C 2Sij
C  Si
bi 
;
b ji 
; i  j;
N
BN


n
 



AC



bii 
S C  B n  2   n  C 1 B   S  2BS ;
ii



0

N  ii  
i1

А, В, С – константы, которые определяются:
A
1
2Bn  2B  n ;
B
nN
n  2 N  N

C

0 
;
N
;
NN
0
n – число факторов;
N – число опытов;
N0 – число опытов в центре плана.
По результатам эксперимента вычисляют суммы:
N
N
S y;
S   x y ;
i  1,...n;
i j1 ji j
0 j1 j
N
N 2
S   x x y ;
S  x
y ;
iu j1 ij uj j
ii j1 ji j
Оценки дисперсий в определении коэффициентов:
S 2b  2 AB n  2 S 2воспр.;
0
N
2воспр.
S
2
S b
; i  1,...n ;
i N N
0
2S 2воспр.
C
2
S b 
;
iu
N
2S 2воспр.
AC
2
Bn 1 n 1;
S b 
ii
N
Коэффициенты значимы, если
b S t
i b
i
N э

p

  S 2воспр. N 1
y

y
 j
j 
 0

2

S ост. 
;



n

2
n

1


N
  N 1
2
 0

fост.  N  n  2n 1   N 1;
2
 0

Проверку адекватности уравнения проводят по
критерию Фишера.
После того, как получено уравнение регрессии второго
порядка, адекватно описывающее почти стационарную
область, его исследуют для выбора оптимальных условий
технологического процесса. Полученное уравнение дает
информацию о форме поверхности отклика.
Для изучения конфигурации поверхности отклика
уравнение приводят к канонической форме
(эллиптический параболоид, седло, и т.д.) и исследуют на
локальный экстремум.