Чтение графика функции или графика производной функции

Элементы
математического анализа
в ЕГЭ
Малиновская Галина Михайловна
[email protected]
Справочный материал
Таблица производных основных
функций.
 Правила дифференцирования
(производная суммы, произведения,
частного двух функций).
 Производная сложной функции.
 Геометрический смысл производной.
 Физический смысл производной.

Справочный материал
Точки экстремума (максимума или
минимума)
функции,
заданной
графически.
 Нахождение
наибольшего
(наименьшего) значения функции,
непрерывной на заданном отрезке.
 Первообразная функции. Формула
Ньютона-Лейбница.
Нахождение
площади криволинейной трапеции.

Физические приложения
 1.1 Материальная точка движется
прямолинейно по закону 𝑥 𝑡 =
−𝑡 4 +6𝑡 3 +5𝑡 + 23 , где x —
расстояние от точки отсчета в метрах,
t — время в секундах, измеренное с
начала движения. Найдите ее скорость
(в метрах в секунду) в момент времени
t= 3с.
 1.2
Материальная точка движется
1 3
прямолинейно по закону 𝑥 𝑡 = 𝑡 −
3
3𝑡 2 − 5𝑡 + 3 , где x — расстояние от
точки отсчета в метрах, t — время в
секундах, измеренное с начала
движения. В какой момент времени (в
секундах) ее скорость была равна 2
м/с?
Решение:
Ищем производную х(t) (функции пути по
времени).
 В задаче 1.1 подставляем вместо t его
значение и считаем скорость (Ответ: 59).
 Во задаче 1.2 приравниваем найденную
производную к данному числу и решаем
уравнение относительно переменной t.
(Ответ: 7).

Геометрические приложения
2.1 Прямая 𝑦
= 7𝑥 −
5 параллельна
касательной к графику
2
функции 𝑦 = 𝑥 + 6𝑥 − 8
. Найдите абсциссу точки
касания.
2.2
Прямая 𝑦 = 3𝑥 + 1
является касательной к
2
графику функции 𝑎𝑥 +
2𝑥 + 3 . Найдите a.
2.3 Прямая
𝑦 = −5𝑥 + 8
является касательной к
2
графику функции 28𝑥 +
𝑏𝑥 + 15 . Найдите b,
учитывая, что абсцисса точки
касания больше 0.
2.4
Прямая
𝑦 = 3𝑥 + 4 является
касательной к графику
2
функции 3𝑥 − 3𝑥 + 𝑐.
Найдите c.
Решение:
В задаче 2.1 ищем производную функции и
приравниваем к угловому коэффициенту
прямой (Ответ: 0,5).
 В задачах 2.2-2.4 составляем систему из
двух уравнений. В одном приравниваем
функции, в другом приравниваем их
производные. В системе с двумя
неизвестными (переменной x и параметра)
ищем параметр. (Ответы: 2.2) a=0,125; 2.3)
b=-33; 2.4) c=7).

 2.5
На рисунке изображены график
функции y=f(x) и касательная к
нему в точке с абсциссой 𝑥0 .
Найдите значение производной
функции f(x) в точке 𝑥0 .
 2.6
На рисунке изображены
график функции y=f(x) и
касательная к нему в точке с
абсциссой 𝑥0 . Найдите значение
производной функции f(x) в точке
𝑥0 .
 2.7
На рисунке изображен график
функции y=f(x). Прямая, проходящая
через начало координат, касается
графика этой функции в точке с
абсциссой 10. Найдите значение
производной функции в точке .x=10.
𝑥0 = 0
Решение:




Значение производной функции в точке - это тангенс
угла наклона касательной к графику функции,
проведенной в данной точке.
«Дорисовываем» прямоугольный треугольник и
ищем тангенс соответствующего угла, который
берем положительным, если касательная образует
острый угол с положительным направлением оси Ох
(касательная «растёт») и отрицательным, если угол
тупой (касательная убывает).
В задаче 2.7 необходимо провести касательную
через указанную точку и начало координат.
Ответы: 2.5) 0,25; 2.6) -0,25; 2.7) -0,6.
Чтение графика функции или
графика производной функции

3.1 На рисунке изображен график функции
y=f(x), определенной на интервале (6;8).
Определите количество целых точек, в
которых производная функции
положительна.

3.2 На рисунке изображен график функции
y=f(x), определенной на интервале (-5;5).
Определите количество целых точек, в
которых производная функции
f(x) отрицательна.
Решение:
Знак производной связан с поведением функции.
 Если производная положительна, то выделяем ту
часть графика функции, где функция возрастает.
Если производная отрицательна то там, где
функция убывает. Выделяем соответствующий
этой части промежуток на оси Ох.
 В
соответствии с вопросом задачи или
пересчитываем количество целых чисел, входящих
в данный промежуток или находим их сумму.
 Ответы: 3.1) 4; 3.2) 8.

 3.3
На рисунке изображен график
функции y=f(x), определенной на
интервале (-2;12). Найдите сумму
точек экстремума функции f(x).
В первую очередь смотрим, что на рисунке:
график функции или график производной.
 Если это график производной, то нас
интересуют только знаки производной и
абсциссы точек пересечения с осью Ох.
 Для наглядности можно нарисовать более
привычный
рисунок
со
знаками
производной по полученным промежуткам
и поведением функции.
 В соответствии с рисунком ответить на
вопрос задачи. (Ответ: 3.3) 44).

 3.4
На рисунке изображен график
′
y=𝑓 (𝑥) — производной функции f(x),
определенной на интервале (-7;14].
Найдите количество точек максимума
функции f(x), принадлежащих отрезку
[-6;9].

3.5 На рисунке изображен график y=𝑓 ′ (𝑥) —
производной функции f(x), определенной на
интервале (-11;11) . Найдите количество
точек экстремума функции f(x),
принадлежащих отрезку [-10;10].
Решение:
Ищем точки пересечения графика производной с
осью Ох, выделяя ту часть оси, которая указана в
задаче.
 Определяем знак производной на каждом из
полученных
промежутков
(если
график
производной ниже оси-то «-», если выше-то «+»).
 Точками максимума будут те, где знак сменился с
«+» на «-», минимума- с «-» на «+». Точками
экстремума те и другие.
 Ответы: 3.4) 1; 3.5) 5.

 3.6
На рисунке изображен график
y=𝑓 ′ (𝑥) — производной функции f(x),
определенной на интервале (-8;3). В
какой точке отрезка [-3;2] функция f(x)
принимает наибольшее значение.
 3.7 На рисунке изображен график
′
y=𝑓 (𝑥) — производной функции f(x),
определенной на интервале (-8;4). В
какой точке отрезка [-7;-3] функция
f(x) принимает наименьшее значение.
Решение:



Если
производная
меняет
знак
на
рассматриваемом отрезке, то решение
основано на теореме: если непрерывная на
отрезке функция имеет на нем единственную
точку экстремума и это точка максимума
(минимума), то наибольшее (наименьшее)
значение функции на этом отрезке
достигается в данной точке.
Если непрерывная на отрезке функция
монотонна, то она достигает своих
наименьшего и наибольшего значений на
данном отрезке на его концах.
Ответы: 3.6) -3; 3.7) -7.

3.8 На рисунке изображен график функции
y=f(x), определенной на интервале (-5;5).
Найдите количество точек, в которых
касательная к графику функции
параллельна прямой y=6 или совпадает с
ней.

3.9 На рисунке изображён график функции
y=f(x) и восемь точек на оси абсцисс:
𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥12 . В скольких из этих точек
производная функции f(x) положительна?

4.2 На рисунке изображен график
y=𝑓 ′ (𝑥) — производной функции f(x),
определенной на интервале (-5;7). Найдите
промежутки убывания функции f(x). В
ответе укажите сумму целых точек,
входящих в эти промежутки.

4.5 На рисунке изображен
график y=𝑓 ′ (𝑥)— производной функции
f(x), определенной на интервале (-4;8).
Найдите точку экстремума функции f(x),
принадлежащую отрезку [-2;6].

4.6 На рисунке изображен
график y=𝑓 ′ (𝑥)— производной функции
f(x), определенной на интервале (-10;2).
Найдите количество точек, в которых
касательная к графику функции f(x)
параллельна прямой y=-2x-11 или
совпадает с ней.
Решение:
4.6 Так как на рисунке изображен
график производной, а касательная
параллельна данной прямой, то
производная функции в этой точке
равна -2. Ищем точки на графике
производной с ординатой равной -2 и
считаем их количество. Получаем 5.
 Ответы: 3.8) 4; 3.9) 5; 4.2) 18; 4.5) 4; 4.6)
5.


4.8 На рисунке изображен
график y=𝑓 ′ (𝑥)— производной функции
f(x). Найдите абсциссу точки, в которой
касательная к графику y=f(x) параллельна
оси абсцисс или совпадает с ней.
Решение:
Если прямая параллельна оси Ох, то её
угловой коэффициент равен нулю.
 Угловой коэффициент касательной равен
нулю, значит производная равна нулю.
 Ищем абсциссу точки пересечения
графика производной с осью Ох.
 Получаем -3.


4.9 На рисунке изображён график функции
y=𝑓 ′ (x) производная функции f(x) и восемь
точек на оси абсцисс: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥8 . В
скольких из этих точек производная
функции f(x) возрастает?
Геометрический смысл
определенного интеграла

5.1 На рисунке изображён график
некоторой функции y=f(x) (два луча с
общей начальной точкой). Пользуясь
рисунком, вычислите F(8)-F(2),
где F(x) — одна из первообразных
функции f(x).
Решение:




Площадь
криволинейной
трапеции
вычисляется через определённый интеграл.
Определённый интеграл вычисляется по
формуле Ньютона-Лейбница как приращение
первообразной.
В задаче 5.1 считаем площадь трапеции по
известной формуле курса геометрии (это и
будет приращение первообразной).
В задачах 5.2 и 5.3 уже дана первообразная.
Необходимо вычислить её значения на
концах отрезка и посчитать разность.

5.2 На рисунке изображён график
некоторой функции y=f(x). Функция 𝐹 𝑥 =
15
3
2
𝑥 + 30𝑥 + 302𝑥 − — одна из
8
первообразных функции f(x). Найдите
площадь закрашенной фигуры.
Решение:




Площадь
криволинейной
трапеции
вычисляется
через
определённый
интеграл.
Определённый интеграл вычисляется по
формуле
Ньютона-Лейбница
как
приращение первообразной.
В задаче 5.1 считаем площадь трапеции
по известной формуле курса геометрии
(это
и
будет
приращение
первообразной).
В задаче 5.2 уже дана первообразная.
Необходимо вычислить её значения на
концах отрезка и посчитать разность.
Удачи на
ЕГЭ
по математике 