Начала математического анализа. По материалам открытого

МБОУ СОШ №7 г. Шахты Ростовской области
Начала математического
анализа
по материалам открытого банка заданий ЕГЭ ФИПИ
Автор: учитель математики
Скокова Татьяна Борисовна
Найдите наименьшее значение функции y=x3+6x2+9x+21 на
отрезке [−3; 0].
Решение.
1. Найдем производную данной функции y'=3x2+12x+9;
2. Найдём стационарные и критические точки, расположенные внутри
отрезка:
для этого решим y'= 0, т.е уравнение 3x2+12x+9 = 0, получим х1= -3; х2=-1;
3. Вычислим значения функции в данных точках, вычислить значения
функции на концах отрезка
у(-3)=(-3)3+6(-3)2+9(-3)+21=- 27+54-27+21=21,
у(-1)=(-1)3+6(-1)2+9(-1)+21= -1+6-9+21= 17,
у(0)=(0)3+6(0)2+9(0)+21= 21;
4. Из полученных значений выбрать наименьшее значение.
Ответ: 17.
Найдите наименьшее значение функции
Решение.
1. Найдем производную данной функции y'=
2. Найдём стационарные и критические точки, расположенные внутри отрезка
. Для этого решим y'= 0, т.е уравнение
, получим х = .
3. Вычислим значения функции в данной точке, вычислить значения функции на
концах отрезка
у( )=
у( )=
у(0)=
4. Из полученных значений выбрать наименьшее значение.
Ответ: -2
Найдите наибольшее значение
функции y = 15x−3sinx+5 на отрезке [− ;0].
Решение.
1. Найдем производную данной функции y'= 15−3cosx .
2. Найдём стационарные и критические точки, расположенные внутри отрезка
[− ;0]. Для этого решим y'= 0, т.е уравнение 15 −3cosx =0, 3cosx =15, cosx=5 – нет
решений т.к. -1 ≤ cosx ≤ 1.
3. Вычислим значения функции на концах отрезка
у( - )= y = 15(- ) −3sin(- )+5 ≈ -15,55
у(0)= 15.0−3sin0+5=5
4. Из полученных значений выбрать наименьшее значение.
Ответ: 5
Найдите точку максимума функции y=(x−2)2(x−4)+5.
Решение.
1. Упростим выражение (x−2)2(x−4)+5 =х3-8х2+20х-11;
2. Найдем производную данной функции y'=3x2-16x+20;
2. Решим y'= 0, т.е уравнение 3x2-16x+20 = 0, получим х1= 2; х2= ;
3. Полученные точки разбивают числовую ось на интервалы:
Если производная меняет свой знак с "+" на "-", т.е. функция меняет
возрастание на убывание в некоторой точке, то такая точка и есть точка
максимума функции.
Если производная меняет свой знак с «-" на «+", т.е. функция меняет убывание
на возрастание в некоторой точке, то такая точка и есть точка минимума
функции.
На интервале (–∞;2) функция возрастает, на интервале (2; ) функция
убывает. Значит х = 2 это точка максимума.
Ответ:
2
Найдите наибольшее значение
функции
Решение.
При решении некоторых заданий на нахождение наибольшего и наименьшего значений
функции (особенно сложных) можно обойтись и без производной.
Сложную функцию u(v(x)) можно представить в виде цепочки простых функций: v(x)промежуточный аргумент, x – независимая переменная. Вид исходной функции: u(v(x))=
-функция монотонно возрастающая на всей области определения
(D(u): 5-4x -x2 ≥0, значит наибольшее значение она будет иметь тогда, когда
наибольшее значение будет иметь функция промежуточного аргумента
v(x)= 5-4x - x2 .
v(x)= 5-4x -x2 – квадратичная функция, графиком которой является парабола
ветвями вниз, т.к. старший коэффициент -1<0.
Следовательно, наибольшее значение квадратичная функция будет иметь при
вершине параболы. x0=-b/2a, x0=4/-2, x0=-2 принадлежит D(u). Следовательно,
исходная функция наибольшее значение, тоже, будет иметь при x0=-2 .
Вычислим его:
.
Ответ: 3
Найдите точку максимума функции
y=log2(2+2x−x2)−2
Решение:
Исходную функцию можно представить в виде u(v(x)) =log2v(x)−2, v(x)= 2+2x−x2
(свободный член −2, при определении точек экстремума не играет никакой роли).
D(u): (2+2x−x2)−2≥0.
Логарифмическая функция с основанием 2 монотонно возрастающая на всей
области определения, поэтому точка максимума функции v(x)= 2+2x−x2
автоматически будет являться точкой максимума функции
u(v(x)) =log2v(x)−2.
v(x)= 2+2x−x2 - квадратичная функция, графиком которой является парабола
ветвями вниз, т.к. старший коэффициент -1<0.
Следовательно, наибольшее значение квадратичная функция будет иметь при
вершине параболы. x0=-b/2a, x0=-2/-2, x0=1 - принадлежит D(u).
То есть x0=1-точка максимума функции v(x)= 2+2x−x2, а значит, и
функции y=log2(2+2x−x2)−2.
Ответ: 1
На рисунке изображены график
функции y=f(x) и касательная к
нему в точке с
абсциссой x0. Найдите значение
производной функции f(x) в
точке x0
Решение.
1 способ.
f ′(хo) = k.
Воспользуемся формулой (y2-y1)= k(x2-x1) где k –угловой коэффициент
касательной к графику функции в точке x0 , отсюда k = (y2- y1) / (х2 -х1).
Для этого на касательной найдем две точки с целыми значениями, в нашем
случае это А(0;-2) и В(5;8), подставим их значения в формулу и вычислим.
k = (-2-8) / (0 -5)= -10/-5=2.
Ответ: 2
На рисунке изображены график
функции y=f(x) и касательная к нему
в точке с абсциссой x0. Найдите
значение
производной
функции f(x) в точке x0.
Решение.
2 способ
Значение производной функции f ′(хo) = tg α = k равно угловому коэффициенту
касательной, проведенной к графику этой функции в данной точке. В нашем
случае k < 0, так как α – тупой угол (tg α < 0).
Чтобы найти угловой коэффициент, выберем две точки А и В, лежащие на
касательной, абсциссы и ординаты которых − целые числа.
Теперь определим модуль углового коэффициента. Для этого построим
треугольник ABC.
tg(180°− α) = ВС : АС = 1 : 5 = 0,2, тогда tg α = − tg (180°− α) = −0,2
Ответ: -0,2
На рисунке изображен
график функции f(x),
определенной на
интервале (−5;5). Найдите
количество точек, в
которых производная
функции f(x) равна 0.
Решение.
Если производная функции равна нулю, то угловой коэффициент касательной,
проведённой к графику функции в этой точке (или тангенс угла наклона
касательной к положительному направлению оси ОХ) тоже равен нулю.
Иначе говоря, касательная к графику функции в этой точке параллельна оси ОХ.
Осталось посчитать, сколько горизонтальных касательных можно провести.
Ответ: 4
На рисунке изображен график
функции y=f(x), определенной на
интервале (−6;8). Найдите
количество точек, в которых
касательная к графику функции
параллельна прямой y=5.
Решение.
Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = 5 или
совпадает с ней, то ее угловой коэффициент k = 0, а значит нам нужно найти
количество точек, в которых производная функции f ′(x) = 0.
Для этого на графике производной проведем прямую у = 0 (она совпадает с
осью Ох) и посчитаем количество точек графика производной, лежащих на
этой линии.
Таких точек 4.
Ответ: 4
На рисунке изображен
график y=f′(x) — производной
функции f(x), определенной на
интервале (−6;6). Найдите количество
точек, в которых касательная к
графику функции f(x) параллельна
прямой y=−3x−11 или совпадает с
ней.
Решение.
Если касательная к графику функции f(x) параллельна прямой у = -3х - 11 или
совпадает с ней, то ее угловой коэффициент k = -3, а значит нам нужно найти
количество точек, в которых производная функции f ′(x) = -3.
Для этого на графике производной проведем прямую у = -3 и посчитаем
количество точек графика производной, лежащих на этой линии.
Таких точек 4.
Ответ: 4
На рисунке изображён
график y=f′(x) — производной
функции f(x), определенной на
интервале (−8;3). В какой точке
отрезка [−3;2] функция f(x)
принимает наибольшее значение?
Решение.
На отрезке [–3; 2] производная функции отрицательна, значит, сама
функция убывает, а значит, наименьшее значение на этом отрезке она
принимает на правом конце отрезка, то есть в точке 2.
Ответ: 2
На рисунке изображен график
функции y=f(x), определенной на
интервале
(−6;8).
Определите
количество целых точек, в которых
производная функции положительна.
Решение.
Производная функции положительна, если сама функция f(x) возрастает, а
значит, необходимо найти количество целых точек, входящих в промежутки
возрастания функции.
Таких точек 4.
x1=-2; x2=-1; x3=5; x4=6.
Ответ: 6
На
рисунке
изображен
график y=f′(x) — производной
функции f(x), определенной на
интервале
(−7;14).
Найдите
количество точек максимума
функции f(x), принадлежащих
отрезку [−6;9].
Решение.
Если производная на интервале положительна, то функция на этом интервале
возрастает. Если производная отрицательна, то функция убывает.
Если производная меняет свой знак с "+" на "-", т.е. функция меняет возрастание
на убывание в некоторой точке, то такая точка и есть точка максимума
функции.
В нашем случае это точка х=7 и она единственная.
Ответ: 1
На рисунке изображен
график y=f′(x) — производной
функции f(x), определенной на
интервале (−11;11). Найдите
количество точек экстремума
функции f(x), принадлежащих
отрезку [−10;10].
Решение.
Если производная на интервале положительна, то функция на этом интервале
возрастает, если производная отрицательна, то функция убывает.
Точка экстремума - это точка, в которой достигается максимальное или
минимальное значение функции.
Если производная меняет свой знак с "+" на "-", т.е. функция меняет
возрастание на убывание в некоторой точке, то такая точка и есть точка
максимума функции.
Если производная меняет свой знак с «-" на «+", т.е. функция меняет убывание
на возрастание в некоторой точке, то такая точка и есть точка минимума
функции.
В нашем случае таких точек 5.
Ответ: 5
На рисунке изображен график y=f(x) —
производной функции y=f′(x),
определенной на интервале f(x). Найдите
промежутки убывания функции (−5;7). В
ответе укажите сумму целых точек,
входящих в эти промежутки.
Решение.
Если производная отрицательна, то функция убывает.
Осталось найти сумму целых точек, входящих в этот промежуток:
-2+(-1)+0+1+2+3+4+5+6 = 18.
Ответ: 18
На рисунке изображён график y=f′(x) —
производной функции f(x). На оси
абсцисс отмечено восемь
точек: x1, x2, x3, …, x8. Сколько из этих
точек лежит на промежутках
возрастания функции f(x)?
Решение.
Если производная на интервале положительна, то функция на этом интервале
возрастает.
Очевидно, что на промежутке возрастания функции лежит 3 точки.
Ответ: 3
На рисунке изображен
график y=f(x) — производной
функции y=f′(x), определенной на
интервале f(x). Найдите
промежутки убывания
функции (−11;3). В ответе укажите
длину наибольшего из них.
Решение.
На промежутках (-10;-6) и (-2;2) производная функции отрицательна, значит
на этих промежутках функция убывает.
Найдем длины этих промежутков:
Длины промежутков убывания функции одинаковые.
Ответ: 4
На рисунке изображен график
функции y=f(x) и отмечены
точки −2, −1, 1, 2. В какой из этих
точек значение производной
наибольшее? В ответе укажите эту
точку.
Решение.
f ′(хo) = tg α = k.
В точках –1 и 1 производная имеет отрицательное значение, в точках –2 и 2 она
имеет положительное значение.
Следовательно в данном случае необходимо проанализировать точки –2 и 2 и
определить в какой из них значении будет наибольшим. Построим
касательные проходящие через указанные точки (см. рис. выше).
При изменении угла наклона прямой от 0о до 90о значение тангенса, а значит и
производной, изменяется соответственно от 0 до +∞;
Значение тангенса угла между прямой a и осью абсцисс будет больше значения
тангенса угла между прямой b и этой осью. Это означает, что значение
производной в точке –2 будет наибольшим.
Ответ: -2
Прямая у = 4х + 11 параллельна касательной к графику
функции у = х2 + 8х + 6.
Найдите абсциссу точки касания.
Решение:
Если прямая параллельна касательной к графику функции в какой-то точке
(назовем ее хо), то ее угловой коэффициент равен значению производной
функции в точке хо.
В нашем случае угловой коэффициент касательной к графику функции k = 4, т.к.
из уравнения у = 4х +11
k = f ′(xo) = 4
Производная функции
f ′(x) = (х2 + 8х + 6)′ = 2x + 8.
Значит, для нахождения искомой точки касания необходимо, чтобы 2хo + 8 = 4,
откуда хо = – 2.
Ответ: -2
Прямая y=−5x+8 является касательной к
графику функции 28x2+bx+15. Найдите b,
учитывая, что абсцисса точки касания
больше 0.
Решение.
Производная функции в точке касания совпадает с угловым коэффициентом
прямой, т.е. у1' = y2‘, получим
-5 = 56х + b, отсюда b=-5 -56х .
Подставим полученное выражение в исходное значение функции и упростим:
28x2+(-5-56x)x+15= -28x2+7.
Точка касания принадлежит и прямой и параболе, т.е. у1 = у2, поэтому
-28x2+7 = −5x+8. Решив полученное уравнение имеем
х1 = –0,5 – не удовлетворяет условию задачи, т.к. абсцисса точки касания
больше 0; х2 = 0,5.
Подставим х2 = 0,5 в b=-5 -56х, получим b=-33.
Ответ: -33
Материальная
точка
движется
прямолинейно
по
закону x(t)=6t2−48t+17, где x — расстояние от точки отсчета в
метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения.
Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t=9 с.
Решение.
Физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость
движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста
бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач
множество).
Найдем закон изменения скорости: v (t) = x′(t) = 12t – 48 м/с.
При t = 9 имеем:
v (9) = 12.9 – 48 = 60 м/с.
Ответ: 60
На рисунке изображён график
некоторой функции y=f(x).
Функция F(x)=x3+30x2+302x−158 —
одна из первообразных
функции f(x). Найдите площадь
закрашенной фигуры.
Решение.
Интеграл это есть площадь фигуры ограниченной графиком функции f (x),
прямыми х = а и х = b и осью Оx.
Теорема (Ньютона–Лейбница):
Таким образом, задача сводится к вычислению определённого интеграла данной
функции на интервале от –11 до –9, или другими словами нам необходимо найти
разность значений первообразных вычисленных в указанных точках:
F(-9)= (-9)3+30(-9)2+302(-9)−158 = -279+2430-2718-158= -725;
F(-11)= (-11)3+30(-11)2+302(-11)−158 = - 1331+3630-3322-158=-1181;
F(-9)-F(-11) = -725- (-1181)=456.
Ответ: 456
На рисунке изображён график
функции y=f(x) (два луча с общей
начальной точкой). Пользуясь
рисунком, вычислите F(8)−F(2),
где F(x) — одна из первообразных
функции f(x).
Решение.
Интеграл это есть площадь фигуры ограниченной графиком функции f (x),
прямыми х = а и х = b и осью Оx.
Теорема (Ньютона–Лейбница):
Таким образом, задача сводится к нахождению площади трапеции (интервал
от 2 до 8).
Но её можно вычислить по клеткам.
Ответ: 7
На рисунке изображён график
функции y = F (x) — одной из
первообразных некоторой функции
f (x), определённой на интервале
(–3;5).
Пользуясь рисунком, определите
количество решений уравнения
f (x) = 0 на отрезке [–2;4].
Решение.
Нам нужно определить сколько имеется точек на данном графике, в которых
F′(x) = 0.
Мы знаем, что производная равна 0 в тех точках, где касательная к графику
функции параллельна оси ох.
На интервале [–2;4]таких точек 10.
Ответ: 10
Используемые материалы
1. http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege;
2. http://matematikalegko.ru/proizvodnaya-pervoobraznaya/zadachina-pervoobraznuyu.html;
3. http://matematikalegko.ru/?s=задачи+на+производную.