Усовершенствование метода Муалема

реклама
УСОВЕРШЕНСТВОВАНИЕ МЕТОДА
МУАЛЕМА-ВАН ГЕНУХТЕНА
ДЛЯ РАСЧЕТА ГИДРАВЛИЧЕСКОЙ
ПРОВОДИМОСТИ ПОЧВЫ
Терлеев Виталий Викторович
[email protected]
Полуэктовские чтения - 2014
Задача исследования
и актуальность работы
Задачей исследования является разработка системы
функций водоудерживающей способности и гидравлической
проводимости почвы с общими физически
интерпретированными параметрами.
Применение указанных функций в расчетах динамики
почвенной влаги позволит повысить точность прогноза
урожайности сельскохозяйственных культур и снизить
трудоемкость процесса подготовки данных для почвенногидрофизических расчетов.
Полуэктовские чтения - 2014
Формула Муалема для расчета отношения
гидравлической проводимости почвы
к коэффициенту фильтрации почвенной влаги
𝒌
𝒌𝒔
=
𝛉
𝛉
𝒅𝛉
𝟎
ψ
𝟏
𝒅𝛉
𝟎
𝟐
ψ
,
(1)
где 𝛉 = 𝛉 − 𝛉𝐦𝐢𝐧 𝛉𝐦𝐚𝐱 − 𝛉𝐦𝐢𝐧 − приведенная объемная
влажность почвы;
ψ – капиллярное давление влаги;
𝒌 − гидравлическая проводимость почвы;
𝒌𝒔 − коэффициент фильтрации почвенной влаги.
Полуэктовские чтения - 2014
Формулы Ван Генухтена для расчета
водоудерживающей способности почвы
и отношения гидравлической проводимости почвы
к коэффициенту фильтрации почвенной влаги
𝛉 = 𝟏 𝟏 + −𝛂ψ
𝒌
𝒌𝒔
=
𝒏 𝒎
𝛉 𝟏− 𝟏−𝛉
(2)
,
𝟐
𝟏 𝒎 𝒎
,
(3)
где 𝛉 = 𝛉 − 𝛉𝐦𝐢𝐧 𝛉𝐦𝐚𝐱 − 𝛉𝐦𝐢𝐧 − приведенная объемная
влажность почвы;
m=1− 𝟏 𝒏 ;
ψ – капиллярное давление влаги;
𝒌 − гидравлическая проводимость почвы;
𝒌𝒔 − коэффициент фильтрации почвенной влаги.
Полуэктовские чтения - 2014
Использование представления о нормальном
распределении логарифмов эффективных
радиусов почвенных пор
По аналогии с работой (Kosugi, 1994) в качестве эффективного радиуса
почвенной поры принята величина 𝒓 = (𝒓 − 𝒓𝐦𝐢𝐧)/(𝒓𝐦𝐚𝐱 − 𝒓),
где 𝒓𝐦𝐢𝐧 − радиус мельчайшей поры (𝒓𝐦𝐢𝐧→0),
𝒓𝐦𝐚𝐱 − радиус самой крупной поры.
С учетом случайного характера поперечного сечения почвенных пор
соотношения для расчета доли объема порового пространства 𝛉𝟏 ,
которая приходится на капилляры, начиная с мельчайших,
и заканчивая порами эффективного радиуса 𝒓 , имеют вид:
𝒅𝛉𝟏 𝒓 𝒅𝒓 = 𝒇 𝒓 = 𝒆𝒙𝒑 −𝟏/(𝟐𝛔𝟐) (𝒓𝛔 𝟐𝛑) ,
𝛉𝟏 𝒓 =
𝒓
𝒇
0
𝒓 𝒅𝒓 ,
где 𝒇 𝒓 − плотность логнормального распределения случайной
величины 𝒓 ; 𝒍𝒏 𝒓𝟎 и 𝛔 − наиболее вероятное значение и
среднеквадратическое отклонение логарифмов эффективных
радиусов почвенных пор, соответственно.
(4)
Полуэктовские чтения - 2014
Капиллярное давление влаги
и закон Лапласа
Разность между значениями абсолютного давления под искривленной
границей раздела «воздух-капиллярная влага» P
и под плоской поверхностью свободной воды Pa
называется капиллярным давлением влаги,
для расчета которого применяется закон Лапласа:
(5)
ψ=P − Pa= − 𝛃/ 𝒓,
где 𝒓 – радиус почвенного капилляра в форме прямого цилиндра,
ψ – капиллярное давление почвенной влаги,
𝛃 = 𝟐𝛄 𝒄𝒐𝒔 𝛗/(g𝛒𝐰) – коэффициент пропорциональности,
γ – показатель поверхностного натяжения почвенной влаги,
φ – краевой угол смачивания поверхности почвенных частиц,
g – ускорение свободного падения,
ρw – плотность воды.
Полуэктовские чтения - 2014
Физически обоснованная функция
приведенной дифференциальной
влагоемкости почвы
Из соотношений (4) и (5) с учетом физически обоснованного тождества
𝛉𝟏 𝒓 ≡ 𝛉 𝒓 = 𝛉 𝒓 − 𝛉𝐦𝐢𝐧 𝛉𝐦𝐚𝐱 − 𝛉𝐦𝐢𝐧 получена функция
приведенной дифференциальной влагоемкости:
𝛍 = 𝒅𝛉 𝒅ψ =
=
− 𝒏 𝟒 ψ − ψ𝐚𝐞 𝒆𝒙𝒑 −𝛑 𝒏 𝟒 𝟐 𝒍𝒏𝟐 −𝛂 ψ − ψ𝐚𝐞
при ψ < ψ𝐚𝐞 , (6)
𝟎 при ψ ≥ ψ𝐚𝐞 .
Полуэктовские чтения - 2014
Физически обоснованная функция
водоудерживающей способности почвы
и аппроксимация данной функции
На основе соотношения (6) построена логнормальная модель
водоудерживающей способности почвы в виде зависимости
приведенной объемной влажности почвы от капиллярного давления
почвенной влаги:
𝛉=
𝟏/𝟐 𝒆𝒓𝒇𝒄
𝒏 𝛑/𝟒 𝒍𝒏 −𝛂 ψ − ψ𝐚𝐞
при ψ < ψ𝐚𝐞 ,
𝟏 при ψ ≥ ψ𝐚𝐞 .
(7)
с использованием формулы Виницкого получена аппроксимация
данной зависимости в классе элементарных функций:
𝟏/(𝟏 + −𝛂 ψ − ψ𝐚𝐞
𝛉≈
𝟏 при ψ ≥ ψ𝐚𝐞 .
𝒏)
при ψ < ψ𝐚𝐞 ,
(8)
Полуэктовские чтения - 2014
Параметры физически обоснованной ОГХ почвы
α = −1/(ψ0 − ψae) = 𝒓𝐦𝐚𝐱𝒓𝟎/𝛃,
n = 4/ 𝛔 𝟐𝛑 ,
ψ0 = ψae − 𝛃/ (𝒓𝐦𝐚𝐱𝒓𝟎),
где 𝒓𝟎 = 𝒓𝟎 /(𝒓𝐦𝐚𝐱 − 𝒓𝟎); 𝒓𝟎 − радиус почвенной поры,
соответствующий наиболее вероятному значению логарифмов
эффективных радиусов почвенных пор 𝒍𝒏(𝒓𝟎); 𝒓𝐦𝐚𝐱 − радиус самой
крупной поры; 𝛔 − среднеквадратическое отклонение логарифмов
эффективных радиусов почвенных пор;
ψae – капиллярное давление влаги, соответствующее «входу воздуха»;
𝛃 = 𝟐𝛄 𝒄𝒐𝒔 𝛗/(g𝛒𝐰) – коэффициент пропорциональности
в формуле Лапласа; γ – показатель поверхностного натяжения
почвенной влаги; φ – краевой угол смачивания поверхности
почвенных частиц; g – ускорение свободного падения,
ρw – плотность воды.
Полуэктовские чтения - 2014
Усовершенствованный метод расчета
отношения гидравлической проводимости
почвы к коэффициенту фильтрации
почвенной влаги
𝒌
𝒌𝒔
=
𝛉
𝛉
𝒅𝛉
𝟎
ψ
𝟏
𝒅𝛉
𝟎
ψ
=
ψ
ψ𝐚𝐞
==
𝛉
−∞
𝟏
𝒏 𝛑 𝟒 𝒍𝒏 −𝛂 ψ − ψ𝐚𝐞
𝟒 𝟐
× 𝒆𝒓𝒇𝒄
𝒆𝒓𝒇𝒄
−∞
ψ𝐚𝐞
𝒅𝛉 𝒅ψ 𝒅ψ ψ
𝟐
𝒅𝛉 𝒅ψ 𝒅ψ ψ
ψ
𝛉 −∞ 𝛍 𝒅ψ ψ
−∞
=
𝟐
𝛍 𝒅ψ ψ
𝒏 𝛑 𝟒 𝒍𝒏 −𝛂 ψ − ψ𝐚𝐞
𝟏, ψ ≥ ψ𝐚𝐞 .
𝟐
=
=
+𝟐 𝒏 𝛑
×
𝟐
, ψ < ψ𝐚𝐞 ,
(𝟗)
Полуэктовские чтения - 2014
Аппроксимация отношения гидравлической
проводимости почвы к коэффициенту
фильтрации почвенной влаги
𝒌
𝒌𝒔
=
=
𝛉
𝛉
𝒅𝛉
𝟎
𝟏
𝟒 𝟐
× 𝒆𝒓𝒇𝒄
ψ
𝟏
𝒅𝛉
𝟎
𝒆𝒓𝒇𝒄
𝟐
ψ
=
𝒏 𝛑 𝟒 𝒍𝒏 −𝛂 ψ − ψ𝐚𝐞
𝒏 𝛑 𝟒 𝒍𝒏 −𝛂 ψ − ψ𝐚𝐞
×
+𝟐 𝒏 𝛑
𝟐
, ψ < ψ𝐚𝐞 ,
𝟏, ψ ≥ ψ𝐚𝐞 ;
𝒌
𝒌𝒔
≈
𝟏
𝟏 + −𝛂 ψ − ψ𝐚𝐞
𝟏, ψ ≥ ψ𝐚𝐞 .
𝒏
𝟏 + 𝒆𝒙𝒑 𝟖 𝒏𝛑
−𝛂 ψ − ψ𝐚𝐞
𝒏 𝟐
, ψ < ψ𝐚𝐞 ,
Полуэктовские чтения - 2014
Сравнение методов расчета гидравлической проводимости
и дифференциальной влагоемкости почвы
Дифференцирование
Аппроксимация
ОГХ 𝛉=𝛉(ψ)
𝛍 = 𝒅𝛉 𝒅ψ
Дифференцирование
𝒌
𝒌𝒔
=
𝛉
𝛉
𝒅𝛉
𝟎
ψ
𝟏
𝒅𝛉
𝟎
𝟐
Уравнение Ричардса (расчет
динамики почвенной влаги)
ψ
Физически обоснованная модель
дифференциальной влагоемкости почвы 𝛍 = 𝛍(ψ)
Интегрирование
Логнормальная
модель 𝛉=𝛉(ψ)
Аппроксимация
ОГХ 𝛉=𝛉(ψ)
𝒌
=
𝒌𝒔
ψ
𝛉
𝛍 𝒅ψ ψ
−∞
ψ𝐚𝐞
𝟐
𝛍 𝒅ψ ψ
−∞
Уравнение Ричардса
(расчет динамики почвенной влаги)
Полуэктовские чтения - 2014
Сравнение результатов
расчета отношения
гидравлической проводимости
почвы к коэффициенту
фильтрации почвенной по
данным о водоудерживающей
способности почвы
(Beit Netofa clay)
Рис. 1. Водоудерживающая способность почвы.
Рис. 2. Приведенная влагопроводность почвы.
Общий для сравниваемых гидофизических функций
интервал капиллярного давления почвенной влаги
0,45
1
0,40
0,1
0,35
0,01
0,30
1E-3
0,25
1E-4
0,20
Приведенная влагопроводность почвы
Объемная влажность почвы, куб.см/куб.см
10
1E-5
10000
1000
100
10
1
Капиллярное давление влаги (абс.значение), см вод. ст.
Полуэктовские чтения - 2014
Выводы по результатам работы:
Представлено теоретическое обоснование функции дифференциальной
влагоемкости почвы и первообразной этой функции в виде ОГХ.
Усовершенствован метод Муалема-Ван Генухтена: в расчетах отношения
функции гидравлической проводимости почвы к коэффициенту
фильтрации почвенной влаги модель с проблемным соотношением
параметров не применятся, а используется теоретически обоснованная
функция дифференциальной влагоемкости почвы.
Параметры системы почвенно-гидрофизических функций адекватно
интерпретированы в рамках представлений о почве как капиллярнопористом теле.
Для ОГХ и отношения гидравлической проводимости почвы к
коэффициенту фильтрации влаги предложены достаточно точные
аппроксимации в классе элементарных функций, общие параметры которых
оценены с использованием статистик логнормального распределения
эффективных радиусов пор и показателей капиллярности почвы.
Полуэктовские чтения - 2014
Скачать