Лекция 2 Часть 1 МиМПА

Модели и методы прикладного
экономического анализа
территориальных систем
Лекция 2.
Модели и методы
пространственной
эконометрики
Модели и методы
пространственной эконометрики
План
1. Предпосылки пространственной
эконометрики
2. Матрица пространственных весов
3. Показатели пространственной корреляции и
тестирование
4. Модели пространственной эконометрики
5. Примеры: оценка эффективности
инфраструктурного капитала и оценка
пространственных экстерналий в России.
Предпосылки пространственной
эконометрики
• При эмпирическом анализе региональных
данных методом МНК возникает проблема,
состоящая в нарушении предпосылок
теоремы Гауса-Маркова о независимости и
некоррелированности ошибок модели.
• В рамках классической модели
предполагается, что регионы –
независимые географические агенты.
Предпосылки пространственной
эконометрики
• В реальности мобильность трудовых
ресурсов и капитала, межрегиональная
диффузия знаний и технологий,
кооперативные межрегиональные связи
влияют на характеристики развития
отдельных регионов.
• Регионы - соседи, как правило, больше
связаны друг с другом, чем расположенные
на значительном расстоянии.
Метод наименьших квадратов
i =1,..,n – индекс региона
yi – наблюдения над зависимой переменной в регионе i,
xi – вектор наблюдений над независимыми переменными в регионе i.
T
i
i
i
y  x  e
β - вектор коэффициентов регрессии, ei – ошибка регрессии, xiT –
транспонированный вектор наблюдений над независимыми
переменными в регионе i.
 x1i 
 
xi   ... 
x 
 ki 
 1 
 
   ... 
 
 k
Метод наименьших квадратов
Метод наименьших квадратов (Ordinary Least Squares - OLS)
ˆ
OLS
 arg min 
yˆi  xiT ̂
n
T
2
(
y

x

)
 i i
i 1
ˆOLS  ( X T X )1 X T y
eˆi  yi  yˆi
Оценки метода наименьших квадратов являются несмещенными линейными
оценками с минимальной дисперсией, если верны следующие предположения о
стохастической структуре модели:
• E(ei)=0
• E(ei2)=σ2
• E(eiej)=0 для всех i≠j
• rk X=k<n
• xj – детерминированы
В случае пространственных данных ошибки могут коррелировать с объясняющими
переменными и пространственно коррелировать между собой.
Предпосылки пространственной
эконометрики
Пространственная эконометрика снимает
гипотезу классической эконометрики о
независимости наблюдаемых объектов.
Основные предпосылки пространственной
эконометрики:
• исследуемые характеристики разных
объектов могут коррелировать;
• корреляция определяется географией и
пространственными факторами.
Пространственная эконометрика.
Матрица пространственных весов.
Матрица пространственных весов – формализация
предположения о взаимных связях регионов.
Свойства матрицы пространственных весов:
• матрица квадратная (nxn);
• на диагонали стоят 0;
• каждая строка i – веса, с которыми регионы j≠i
влияют на регион i;
• для обеспечения хороших свойств, матрица
стандартизуется по строкам (сумма весов по строке
равна 1).
Пространственная эконометрика.
Матрица пространственных весов.
• Матрица граничных соседей:
1, если регионы i и j имеют общюю границу;


wij 0, если i  j;
0, если район i не граничит с районом j.

• Матрица k ближайших соседей:
1, если d ij  d j (k );

wij  0, если i  j;
0, если d  d (k ).
ij
j

dij – расстояние от региона i до региона j;
di(k) – наибольшее из k наименьших расстояний.
Пространственная эконометрика.
Матрица пространственных весов.
• Матрица расстояний:
0 ,
если i  j;
 
wij (q)  1 dij , если dij  D(q);

если d ij  D(q ).
0 ,
D(q) – квантили расстояний, q=1,2,3,4.
• Матрица рыночных потенциалов:
0 ,
если i  j;


(
q
)

A
d
 j ij , если d ij  D(q );
wij

если d ij  D(q ).
0 ,
Aj – показатель размера или мощности региона j.
Пространственная эконометрика.
Показатели пространственной корреляции.
• Статистика Морана – показатель общей
пространственной автокорреляции:
𝑛
𝐼= ∙
𝑆0
Где 𝑆0 =
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑖=1
𝑛
𝑗=1 𝑤𝑖𝑗 (𝑌𝑖 − 𝑌)(𝑌𝑗
𝑛
2
(𝑌
−
𝑌)
𝑖
𝑖=1
𝑛
𝑗=1 𝑤𝑖𝑗
Пусть Z  Y  Y
Тогда:
𝐼=
𝑛
𝑆0
∙
− 𝑌)
1 n
Y   Yi
n i 1
𝑍′𝑊𝑍
𝑍′𝑍
Пространственная эконометрика.
Показатели пространственной корреляции.
Если тестируются ошибки регрессионной
𝑛 𝜀′𝑊𝜀
модели, то 𝐼 = ∙ ′
𝑆0
𝜀 𝜀
WZ или W𝜀 - пространственно взвешенные
значения или пространственный лаг.
Тестируется наличие линейной связи между
центрированными значениями признака и
вектором пространственно взвешенных
центрированных значений признака в других
регионах.
Пространственная эконометрика.
Показатели пространственной корреляции.
Если пространственная корреляция
отсутствует, то E(I)=-1/(n-1).
Значения I-статистики Морана большие E(I)
означают наличие положительной
пространственной корреляции.
Значения I-статистики Морана меньшие E(I)
означают наличие отрицательной
пространственной корреляции.
Пространственная эконометрика.
Показатели пространственной корреляции.
• Пространственная диаграмма рассеяния –
визуализация разброса значений признака
относительно пространственного лага.
Ось абсцисс – стандартизированные значения
вектора признака: 𝑧𝑖 =
(𝑌𝑖 −𝑌)
𝑛
2
(𝑌
−
𝑌)
𝑖
𝑖=1
Ось ординат – значения вектора Wz
Плюс линия регрессия Wz на z.