Р а з д е л 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

В. А. М Е Р К У Л О В
КУРС
ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ
Избранные разделы
Раздел 1
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Волгоград 2004
УДК 51
ББК 22.1
М 523
Рецензенты:
В.В. Горяйнов, д-р физ.-мат. наук, профессор, зам. директора
по научной работе Волжского гуманитарного института
Волгоградского государственного университета;
кафедра высшей математики Волжского филиала Московского
энергетического института (ТУ)
(зав. кафедрой канд. физ.-мат. наук, доцент Х.Х. Усманов,
доцент, канд. техн. наук Ю.И. Дорогов)
Меркулов В.А.
М 523 Курс высшей математики. Избранные разделы. Разд. 1:
Аналитическая геометрия: Учеб. пособие / ВолгГАСУ. –
Волгоград, 2004. – 88 с.
ISBN 5-98276-052-8
Учебное пособие написано в соответствии с требованиями государственных общеобразовательных стандартов по математике для инженерностроительных и технических специальностей вузов. Оно содержит четыре
независимых друг от друга раздела: «Аналитическая геометрия», «Элементы
линейной алгебры», «Введение в анализ», «Теория вероятностей».
Раздел 1 «Аналитическая геометрия» состоит из глав 1 – 5: «Метод координат», «Прямая линия», «Кривые второго порядка», «Векторная алгебра», «Поверхности и линии в пространстве». Дополнительно к традиционному изложению в главе 4 «Векторная алгебра» рассматриваются двойное
векторное произведение трех векторов и действия с размерностями векторов.
В основу пособия положены лекции, читаемые автором с 1974 года в
ВИСТех (филиале) ВолгГАСУ.
Предназначено для самостоятельного изучения указанных разделов
студентами дневной и заочной форм обучения.
Илл. 58.
Библиогр. 10 назв.
УДК 51
ББК 22.1
ISBN 5-98276-052-8
© Волгоградский государственный
архитектурно-строительный
университет, 2004
© В.А. Меркулов, 2004
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие……………………………………………………………
Раздел 1. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ...........................
Глава 1. Метод координат ...............................................................
1.1. Декартовы координаты на прямой .......................................
1.2. Декартовы и полярные координаты на плоскости ..............
1.3. Простейшие задачи на плоскости ......................................
1.4. Линии и их уравнения .............................................................
Глава 2. Прямая линия .......................................................................
2.1. Угловой коэффициент прямой ..............................................
2.2. Различные виды уравнения прямой ....................................
2.3. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности и
перпендикулярности двух прямых .....................................…......
2.4. Расстояние от точки до прямой ...........................................
2.5. Нахождение прямой, проходящей через точку пересечения двух данных прямых и удовлетворяющей еще одному
условию
...............................................................…………………….
Глава 3. Кривые второго порядка ....................................................
3.1. Окружность .............................................................................
3.2. Парабола ..................................................................................
3.3. Эллипс ......................................................................................
3.4. Гипербола ..............................................................................
Глава 4. Векторная алгебра ................................................................
4.1. Скаляры и векторы. Равенство векторов .............................
4.2. Линейные операции над векторами ....................................
4.3. Декартовы координаты точки в пространстве.
Радиус-вектор точки ....................................................................
4.4. Координаты вектора. Линейные операции над векторами,
заданными в координатной форме .............................................
4.5. Скалярное произведение двух векторов. Длина и направляющие косинусы вектора .............................................................
4.6. Векторное произведение двух векторов ...............................
4.7. Смешанное произведение трех векторов .............................
4.8. Двойное векторное произведение трех векторов. Размерность операций над векторами .......................................................
4
5
6
6
6
7
10
12
17
17
17
22
23
24
28
28
29
31
35
39
39
40
44
46
47
52
56
61
Глава 5. Поверхности и линии в пространстве ............................
5.1. Уравнение поверхности и уравнения линии в пространстве
5.2. Различные виды уравнения плоскости ................................
5.3. Взаимное расположение двух плоскостей ...........................
5.4. Расстояние от точки до плоскости ........................................
5.5. Прямая линия в пространстве ...............................................
5.6. Взаимное расположение двух прямых и прямой
с плоскостью ...................................................................................
5.7. Поверхности второго порядка ................................................
Литература .............................................................................................
5
64
64
66
69
70
71
75
77
87
ПРЕДИСЛОВИЕ
Математика определяется как наука, изучающая пространственные формы и математические модели явлений реального мира. Для нее
важна не природа рассматриваемых объектов, а лишь существующие
между ними количественные и качественные соотношения и их форма.
В силу большой абстрактности одна и та же математическая модель может описывать с определенным приближением свойства очень
далеких друг от друга по своему содержанию реальных явлений. Для
описания некоторых из них нередко бывает достаточно лишь интуитивных представлений о соответствующих математических понятиях.
Однако, когда математика применяется в качестве метода исследования, необходимо иметь ясное представление о математических понятиях, уметь правильно обращаться с математическим аппаратом, знать
границы допустимого использования рассматриваемой математической модели. Только в этом случае может быть уверенность в правильности сделанных выводов.
Абстрактность математики порождает и определенную трудность
ее изучения, связанную во многих случаях с несвоевременным туманным и нечетким изложением основополагающих математических понятий на интуитивном уровне, при котором эти понятия оказываются
недостаточно хорошо и полно разъяснены и потому остаются непонятными. Напротив, точное и строгое определение каждого математического понятия позволяет его правильно использовать и не нуждается в
дополнительных пояснениях.
Несмотря на то, что область математики, находящая себе применение в технике и строительстве все время расширяется, фундаментом
для ее изучения остаются доведенные до уровня умения прочные знания таких разделов как аналитическая геометрия, линейная алгебра,
элементы высшего анализа и теория вероятностей.
Основная цель предлагаемой книги помочь студентам инженернотехнических и строительных специальностей приобрести необходимые
математические знания по указанным разделам за разумный срок и
развить у них способность применять эти знания. Курс написан на основе лекций, которые читаются автором с 1974 г. в ВИСТех (филиале)
ВолгГАСУ.
6
Раздел 1
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
ГЛАВА 1. МЕТОД КООРДИНАТ
1.1. Декартовы координаты на прямой
Аналитическая геометрия есть область математики, изучающая
свойства геометрических объектов при помощи метода, в основу которого положено понятие координат.
Ввести координаты на прямой – это значит установить взаимно
однозначное соответствие между множеством точек прямой и множеством действительных чисел. Для этого проведем на плоскости горизонтальную прямую. Выберем на ней положительное направление,
указываемое стрелкой, точку отсчета О и единицу масштаба (рис. 1).
Если на прямой выбрано
направление, начальная точка О
х<0
х>0
и единица масштаба, то говорят, что на этой прямой введена
0
1
М
х
декартова система координат.
При этом сама прямая, обознаРис. 1
чаемая Ох, называется координатной осью, а точка О – началом координат.
Возьмем на оси Ох точку М, лежащую слева или справа от начала
координат. Отрезок оси с началом в точке О и концом в точке М
называется направленным и обозначается ОМ , а его длина обозначается ОМ .
Кроме длины с каждым направленным отрезком сопоставляется
его числовая характеристика – так называемая величина направленного
отрезка. Величиной ОМ направленного отрезка ОМ называется число, равное длине отрезка ОМ , взятой со знаком плюс, если направление ОМ совпадает с направлением оси Ох, и со знаком минус, если
направление ОМ противоположно направлению оси Ох.
Из определения величины направленного отрезка следует, что величины отрезков ОМ и МO , направленных в противоположные стороны данной оси, отличаются лишь знаком, т. е.
ОМ = – МО .
(1.1)
7
Декартовой координатой точки М называется число х, равное величине ОМ направленного отрезка ОМ : х = ОМ.
Тот факт, что точка М имеет координату х, символически обозначают так: М(х). При этом координата начала О считается равной нулю.
Таким образом при помощи декартовой системы координат на
прямой устанавливается взаимно однозначное соответствие между
множеством всех точек прямой и множеством всех действительных
чисел: любой точке прямой соответствует определенное действительное число, а любому действительному числу – определенная точка на
прямой.
Пусть М1(х1) и М2(х2) – две заданные точки, лежащие на оси Ох.
Используя равенство (1.1) и определение декартовой координаты точки
нетрудно установить, что при любом расположении точек О, М1 и М2
на координатной оси величина направленного отрезка М 1М 2 будет
равна разности величин отрезков ОМ 2 и ОМ1 :
М1М2 = ОМ2 – ОМ1 = х2 – х1 .
(1.2)
Расстояние между точками М1 и М2 (обозначим его d) равно длине
отрезка М1М 2 , следовательно, равно модулю величины этого отрезка
и находится по формуле
d = | х2 – х1 | .
(1.3)
1.2. Декартовы и полярные координаты на плоскости
Ввести координаты на плоскости – это значит установить взаимно
однозначное соответствие между множеством точек плоскости и множеством упорядоченных пар действительных чисел.
1. Д е к а р т о в ы к о о р д и н а т ы н а п л о с к о с т и. Проведем на плоскости две взаимно перпендикулярные оси Ох и Оу, имеющие общее начало О и одинаковую
единицу
масштаба
у
(рис.
2).
Указанная
совокупМ
Му
ность осей называется декартовой прямоугольной систе1
мой координат на плоскости.
Ось Ох называют осью абсцисс,
0
1
Мх
х а ось Оу – осью ординат. Эти
оси называют также координатными осями. Обозначим
Рис. 2
через Мх и Му соответственно
проекции произвольной точки М плоскости на оси Ох и Оу.
8
Декартовыми прямоугольными координатами х и у точки М будем называть соответственно величины направленных отрезков ОМ x
и ОМ y : х = ОМх, у = ОМу.
Декартовы координаты х и у точки М называются соответственно
ее абсциссой и ординатой. Тот факт, что точка М имеет координаты х
и у, символически обозначают так: М(х; у).
Плоскость, на которой
у
введена
декартова прямоII
I
угольная система координат, называется координатной и обозначается Оху. Кох<0, у>0
х>0, у>0
ординатные оси разбивают
плоскость на четыре части,
0
называемые
четвертями,
х
квадрантами или коордих<0, у<0
х > 0, у < 0
натными углами. Их нумеруют согласно рис. 3, где
указаны знаки координат
III
IV
точек в зависимости от расположения точек в том или
Рис. 3
ином квадранте.
2. П о л я р н ы е к о о р д и н а т ы. Полярные координаты на
плоскости вводятся следующим образом. Зафиксируем на плоскости
точку О и выходящую из нее полупрямую Ор, а также выберем единицу масштаба (рис. 4). Точка О называется полюсом, полупрямая Ор –
полярной осью.
М
у
М
r
r
у

0

1
0
р
Рис. 4
х
х
Рис. 5
Полярными координатами точки М (отличной от О) называются
два числа r и , первое из которых (полярный радиус r) равно расстоя9
нию точки М от полюса О, а второе (полярный угол ) – угол, на который нужно повернуть против часовой стрелки полярную ось Ор до
совмещения с полупрямой ОМ.
Точку М с полярными координатами r и  обозначают символом
М(r ; ). Полярный угол  измеряется в радианах. Полюсу О соответствует полярный радиус r = 0, полярный угол для него не определен.
Для того чтобы соответствие между отличными от полюса точками плоскости и упорядоченными парами полярных координат (r ; )
было взаимно однозначным, обычно считают, что r и  изменяются в
следующих границах:
0  r   ,
0    2 .
(1.4)
Установим связь между декартовыми координатами точки и ее
полярными координатами. При этом будем предполагать, что начало
декартовой прямоугольной системы координат находится в полюсе, а
положительную полуось Ох примем за полярную ось (рис. 5). Такие
две системы координат называются согласованными.
Пусть точка М имеет декартовы координаты (х; у) и полярные координаты (r ; ). Из рис. 5 очевидно, что
x  r cos  ,
y  r sin  ,
(1.5)
y
.
(1.6)
x
Формулы (1.5) выражают декартовы координаты точки М через ее
полярные координаты. Это можно доказать для любого расположения
точки М на координатной плоскости. Формулы (1.6) выражают полярные координаты точки М через ее декартовы координаты и тоже верны
при любом положении точки М, если она не лежит на оси Оу, т. е. если
х  0. Заметим, что вторая из формул (1.6) дает два значения . Поэтому для вычисления полярного угла  точки М по ее декартовым координатам х и у предварительно выясняют, в каком квадранте лежит точка М.
В заключение отметим, что иногда на плоскости вводят и другие
координаты. Примером могут служить эллиптические координаты – им
соответствуют взаимно перпендикулярные семейства эллипсов и гипербол. Такие координаты оказываются удобными при рассмотрении
некоторых конкретных задач механики и физики. Однако, в большинстве случаев пользуются самыми простыми координатами – декартовыми прямоугольными координатами.
r
x2  y2 ,
tg  
10
1.3. Простейшие задачи на плоскости
1. Р а с с т о я н и е м е ж д у д в у м я т о ч к а м и. Найдем расстояние d между двумя данными точками М1(х1; у1) и М2(х2; у2) (рис. 6).
Из прямоугольного треугольника М1NМ2 по теореме Пифагора имеем:
d  М 1 М 2  M 1 N 2  NM 22 .
Но, согласно рис. 6 и формуле (1.3), |М1N| = |A1A2| = |х2 – х1|,
|NМ2| = |B1B2| = |у2 – у1|. Поэтому
x2  x1 2  y2  y1 2
d
.
(1.7)
2. Д е л е н и е о т р е з к а в д а н н о м о т н о ш е н и и.
Рассмотрим на плоскости две различные точки М1(х1; у1) и М2(х2; у2) и
прямую, определяемую этими точками. Выберем на этой прямой некоторое направление. На полученной оси точки М1 и М2 определяют
направленный отрезок М 1М 2 .Пусть М(х; у) – любая, отличная от М2
точка указанной выше оси (рис. 7).
у
B2
у
M2
M2
M
d
B1
0
M1
M1
N
А1
А2
x
Рис. 6
0
А1
А
А2
x
Рис. 7
О п р е д е л е н и е. Число

M 1M
,
MM 2
(1.8)
где М1М, ММ2 – величины отрезков М 1М и ММ 2 , называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок М 1М 2 .
11
З а м е ч а н и е. При изменении направления на прямой, проходящей через точки М1 и М2, меняют знак величины всех направленных
отрезков. Поэтому отношение  в формуле (1.8) не зависит от выбора
направления на прямой.
Задача о делении отрезка в данном отношении состоит в том, чтобы по данному отношению  и данным точкам М1(х1; у1) и М2(х2; у2)
найти координаты точки М. Для ее решения опустим из точек М1, М и
М2 перпендикуляры на ось Ох (рис. 7), получим на основании теоремы
элементарной геометрии о пропорциональности отрезков прямых, заключенных между параллельными прямыми, равенство
M 1M A1 A

.
MM 2 AA2
При выбранном расположении точек согласно формуле (1.2) имеем:
А1А = х – х1, АА2 = х2 – х. Поэтому заданное отношение (1.8) принимает вид:
x  x1
 .
x2  x
Решая его как линейное уравнение относительно х, получим
x
x1  x2
.
1 
(1.9)
Совершенно аналогично вычисляется координата у:
y
y1  y 2
.
1 
(1.10)
Соотношения (1.9), (1.10) имеют смысл при любых значениях
  –1. Они называются формулами деления отрезка в данном отношении . Очевидно, если  = 1, то точка М делит отрезок М 1М 2 пополам. Получающиеся при этом формулы
x1  x2
y  y2
, y 1
2
2
называются формулами деления отрезка пополам.
x
(1.11)
Для положительных значений  точка М лежит между точками М1
и М2, а для отрицательных значений – вне отрезка М 1М 2 . В первом
случае говорят, что точка М делит отрезок М 1М 2 внутренним образом, а во втором случае – внешним образом.
12
3. П л о щ а д ь т р е у г о л ь н и к а. Пусть даны три точки
М1(х1; у1), М2(х2; у2) и М3(х3; у3),
не лежащие на одной прямой.
M3
Найдем площадь S треугольника
М1М2М3 .
Опустим из точек М1, М2, М3
M2
M1
перпендикуляры на ось Ох (рис. 8).
у
Неотрицательную
А1
0
А3
А2
площадь
треугольника М1М2М3 выразим че-
x
рез
Рис. 8
площади
соответствующих
трапеций:
S 
SA M M
1
1
A
3 3

A1M 1  A3 M 3

y1  y3
2
2
 SA M
3
3
A1 A3 
x3  x1  
 SA M M
M 2 A2
1
1
A3 M 3  A2 M 2
2
y3  y 2
2
A

2 2
A3 A2 
x2  x3  
A1M 1  A2 M 2
2
y1  y 2
2
A1 A2 
x2  x1  .
Раскрыв скобки и приведя подобные члены, получим






1
(1.12)
x1 y 2  y 3  x 2 y 3  y1  x3 y1  y 2 .
2
Для любого другого расположения данных точек формула (1.12)
выводится аналогично. Если площадь треугольника равна нулю, то это
будет означать, что точки М1, М2, М3 лежат на одной прямой.
S 
1.4. Линии и их уравнения
1. Л и н и я к а к г е о м е т р и ч е с к о е м е с т о т о ч е к. В
аналитической геометрии линии рассматриваются как геометрические
места точек, их составляющих. Например, окружность определяется
как геометрическое место точек плоскости, равноотстоящих от некоторой фиксированной точки плоскости (центра окружности). Биссектрису плоского угла можно рассматривать как геометрическое место точек, равноотстоящих от сторон этого угла, и т. д.
2. П о н я т и е о б у р а в н е н и и л и н и и. Сущность метода
координат на плоскости заключается в том, что всякой плоской линии
13
сопоставляется ее уравнение, а затем свойства этой линии изучаются
путем аналитического исследования соответствующего уравнения.
Предположим, что на плоскости заданы декартова прямоугольная
система координат Оху и некоторая линия L (рис. 9). Координаты х и у
точки М, лежащей на этой линии, не могут быть произвольу
ными; они должны быть подчинены известным ограничениМ
L
у
ям, обусловленным геометрическими свойствами данной
линии.
Тот факт, что числа х и у
x
x
0
являются координатами точки,
лежащей на данной линии, аналитически записывается в виде
Рис. 9
некоторого уравнения, которое
выделяет среди всех точек плоскости точки данной линии. Так как линия рассматривается как геометрическое место точек, то можно сказать, что уравнение линии представляет собой запись свойства, определяющего данное геометрическое место точек.
Сформулируем теперь точнее определение уравнения линии. Рассмотрим некоторое уравнение, связывающее две переменные величины
х и у, вида
(1.13)
F x ; y   0.
О п р е д е л е н и е. Уравнение (1.13) называется уравнением линии L (относительно заданной системы координат), если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии
L, и не удовлетворяют координаты х и у ни одной точки, не лежащей на
линии L.
Если рассматриваемое уравнение вида (1.13) является уравнением
линии L, то мы будем говорить, что это уравнение определяет линию L.
Сама линия L в этом случае представляет геометрическое место точек,
координаты которых удовлетворяют уравнению (1.13).
Пусть точка М(х; у) передвигается по линии L, тогда ее координаты х и у, изменяясь, все время удовлетворяют уравнению этой линии.
Поэтому координаты точки М(х; у) называются текущими координатами точки линии L.
Задача о нахождении точек пересечения двух линий, имеющих
уравнения F(х; у) = 0 и Ф(х; у) = 0, сводится к отысканию точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям обеих линий, т. е. сводится к решению системы двух уравнений с двумя неизвестными:
14
F x; y   0,
(1.14)
Фx; y   0.

Если эта система не имеет действительных решений, то линии не пересекаются.
3. П а р а м е т р и ч е с к о е п р е д с т а в л е н и е л и н и и.
Для аналитического представления линии L часто бывает удобно выражать текущие координаты х и у точек этой линии при помощи третьей вспомогательной переменной (параметра) t двумя уравнениями
вида
(1.15)
x  xt , y  y t 
в некоторой области изменения параметра t. Они называются параметрическими уравнениями линии L. Исключение из двух уравнений
(1.15) параметра t приводит к рассмотренному выше уравнению вида
(1.13).
Параметрическое представление линии на плоскости естественно
возникает, если эту линию рассматривать как путь, пройденный материальной точкой, непрерывно движущейся по определенному закону.
В самом деле, если переменная t представляет собой время, отсчитываемое от некоторого начального момента, то задание закона движения и
представляет собой задание координат х и у движущейся точки как некоторых функций x  xt  и y  yt  времени t.
Разумеется, роль парамету
ра t могут играть также некоторый угол, длина дуги или друR
гая неименованная переменная.
П р и м е р. Установим паМ
R
раметрические
уравнения
окружности радиуса R > 0 с
t
центром в начале координат.
x
0
R
Пусть М(х; у) – любая точка
этой окружности, а t – угол
между
радиусом-вектором
OM и осью Ох, отсчитываемый против часовой стрелки
Рис. 10
(рис. 10). Очевидно, что тогда
(1.16)
x  R cos t , y  R sin t , 0  t  2.
Заметим, что для исключения параметра t из уравнений (1.16) достаточно
возвести в квадрат и сложить эти уравнения. С учетом тождества
cos 2 t  sin 2 t  1 мы получим при этом уравнение окружности вида (1.13):
15
(1.17)
x 2  y 2  R2 .
З а м е ч а н и е. Часто линию L определяют не уравнением (1.13),
а разрешенным (например, относительно у) уравнением
y  f x .
(1.18)
Подчеркнем, что определение линии разрешенным уравнением (1.18)
представляет собой частный случай параметрического определения
этой линии (при х = t, у = f (t)).
4. У р а в н е н и е л и н и и в р а з л и ч н ы х с и с т е м а х
к о о р д и н а т. Вид уравнения линии L зависит не только от вида самой линии L, но и от выбора системы координат. Уравнение линии меняется как при переходе от одной декартовой системы координат к
другой, так и при переходе от декартовых координат к каким-нибудь
другим координатам.
Если (1.13) представляет собой уравнение линии L относительно
заданной декартовой прямоугольной системы координат Оху, то, чтобы получить уравнение той же линии L относительно любой другой
системы координат, достаточно подставить в (1.13) на место х и у их
выражения через новые координаты.
Так, например, линия L, определяемая в декартовой системе Оху
уравнением (1.13), в полярной системе будет определяться уравнением
F1 r ;   0,
(1.19)
где, согласно формулам (1.5), введено обозначение
F1 r ;   F r cos  ; r sin  .
Использование для определения некоторых линий недекартовых
систем координат объясняется тем, что уравнение линии имеет при
этом более простой вид. В частности, уравнение окружности (1.17) в
полярных координатах (после подстановки в него х и у, выраженных
через r и  согласно формулам (1.5)), примет вид
r=R.
(1.20)
5. А л г е б р а и ч е с к и е л и н и и. Д в е о с н о в н ы е
з а д а ч и. Уравнение F(х; у) = 0 называется алгебраическим, если выражение F(х; у) есть сумма конечного числа слагаемых вида Axk y m ,
где k и m – целые неотрицательные числа, А – действительное число.
При этом наибольшая из сумм n = k + m называется степенью уравнения. Так, например, уравнения
x  y  5  0, xy  4 x  3 y  0, x 2 y 3  2 x  y  6  0
будут алгебраическими. Степени их соответственно равны 1, 2, 5.
16
Общий вид алгебраического уравнения первой степени:
(1.21)
Ax  By  C  0 ,
где А, В, С – некоторые числа, называемые коэффициентами уравнения.
Общий вид алгебраического уравнения второй степени:
(1.22)
Ax 2  Bxy  Cy 2  Dx  Ey  F  0 ,
где А, В, С, D, E, F – коэффициенты уравнения.
О п р е д е л е н и е. Линия L называется алгебраической линией
порядка n, если в некоторой декартовой прямоугольной системе координат она определена алгебраическим уравнением степени n с двумя
переменными.
Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной.
В дальнейшем курсе аналитической геометрии мы будем изучать
алгебраические линии первого и второго порядков, определяемые
уравнениями (1.21) и (1.22). В связи с аналитическим представлением
линии этими уравнениями возникают задачи двух типов:
1) по заданным геометрическим свойствам линии составить ее
уравнение;
2) по заданному уравнению линии выяснить ее геометрические
свойства.
17
ГЛАВА 2. ПРЯМАЯ ЛИНИЯ
Эта глава посвящена изучению прямых линий на плоскости. Мы
введем в рассмотрение различные виды уравнений прямой и остановимся на их использовании для решения некоторых важнейших задач.
Во всех случаях будем предполагать, что на плоскости задана декартова прямоугольная система координат Оху.
2.1. Угловой коэффициент прямой
Рассмотрим любую прямую, не параллельную оси Ох (рис. 11).
Обозначим
через
α
наименьший положительу
ный угол 0  α  π  , на
который надо повернуть
против часовой стрелки ось
Ох до совмещения с прямой, и назовем его углом
α
α
наклона прямой к оси Ох.
Если прямая парал0
x
лельна оси Ох или совпадает с ней, то ее угол наклона
Рис. 11
будем считать равным нулю.
Тангенс угла наклона прямой к оси Ох назовем угловым коэффициентом этой прямой и обозначим буквой k: k  tg α .
Заметим, что если угол наклона прямой к оси Ох острый, то
k > 0, если тупой, то k < 0. Для прямой, параллельной оси Ох, k = 0, а
для прямой, перпендикулярной оси Ох, угловой коэффициент не существует. В последнем случае формально говорят, что угловой коэффициент равен бесконечности.
В дальнейшем мы увидим, что угловой коэффициент прямой играет очень важную роль.
2.2. Различные виды уравнения прямой
1. У р а в н е н и е п р я м о й, п р о х о д я щ е й ч е р е з
д а н н у ю т о ч к у в д а н н о м н а п р а в л е н и и. Пусть прямая

проходит через точку М1(х1; у1) и образует с осью Ох угол  
2
(рис. 12). Возьмем на прямой произвольную точку М(х; у). Если провести
18
у
прямые M 1 N
М
у
М1
у1
α
параллельные осям, то
образуется прямоугольный
треугольник
M1NM .
N
b
α
0
x1
x
x
Рис. 12
tg  = k ) получим искомое уравнение
y  y1  k x  x1 .


и MN ,
Ясно, что
N M  tg   M 1 N ,
M1N  x  x1 ,
N M  y  y1 .
Отсюда (вспоминая, что
(2.1)
Если бы для той же прямой мы взяли точку М(х; у) не в первом
квадранте или рассмотрели бы другую прямую, у которой угол α был
бы тупым, то рассуждение, естественно, усложнилось бы. Мы не будем
рассматривать всех возникающих здесь возможностей. Отметим лишь,
что во всех случаях получится то же уравнение (2.1).
2. У р а в н е н и е п р я м о й с у г л о в ы м к о э ф ф и ц и е н т о м. Если мы теперь обозначим через «b» постоянную b = y1 – kx1, то
уравнение (2.1) примет вид
y  kx  b .
(2.2)
Уравнение (2.2) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В нем «b» представляет собой величину отрезка, отсекаемого данной прямой на оси Оу, начиная от начала координат. Чтобы
убедиться в этом, достаточно найти координаты точки пересечения оси
Оу и прямой (2.2): х = 0, у = b. Величина «b» носит название начальной
ординаты прямой. Если b = 0, то получаем уравнение прямой, проходящей через начало координат
y  kx.
(2.3)
3. У р а в н е н и е п у ч к а п р я м ы х с ц е н т р о м в
д а н н о й т о ч к е. Совокупность лежащих на плоскости прямых,
проходящих через некоторую точку этой плоскости, принято называть
пучком прямых с центром в данной точке.
Если в уравнении (2.1) угловой коэффициент k – произвольное
число, то это уравнение определяет пучок прямых с центром в точке
М1(х1; у1), кроме прямой, перпендикулярной оси Ох и не имеющей углового коэффициента.
19
4. У р а в н е н и е п р я м о й, п р о х о д я щ е й ч е р е з д в е
д а н н ы е т о ч к и. Пусть даны две точки М1(х1; у1), М2(х2; у2) и
х1 ≠ х2, у1 ≠ у2.
Для составления уравнения прямой М1М2 запишем уравнение
пучка прямых с центром в точке М1 в виде равенства (2.1). Так как точка М2(х2; у2) лежит на прямой, то ее координаты должны удовлетворять
уравнению пучка: y2  y1  k x2  x1 .
Отсюда находим угловой коэффициент прямой по двум ее точкам:
y  y1
k 2
.
(2.4)
x2  x1
Подставляя найденное значение k в (2.1), после очевидного преобразования получим уравнение прямой, проходящей через две данные
точки М1 и М2 в виде
y  y1
x  x1

.
(2.5)
y2  y1
x2  x1
Записывая это же уравнение в форме
 y  y1 x2  x1   x  x1  y2  y1 ,
нетрудно установить, что если у1 = у2, то уравнение искомой прямой,
параллельной оси Ох, будет
y  y1 .
(2.6)
Если х2 = х1, то прямая параллельна оси Оу и ее уравнение
x  x1 .
(2.7)
5. У р а в н е н и е п р я м о й в о т р е з к а х. Найдем уравнение прямой, отсекающей на оси Ох отрезок величины а (а ≠ 0), а на
оси Оу – отрезок величины b, b ≠ 0.
Используя (2.5), уравнение
у
прямой, проходящей через точки
А(а; 0) и В(0 ; b) (рис. 13), запишем в виде
В(0; b)
y0 xa

,
b
А(а; 0)
b0 0a
0
x
или после преобразований
a
x y
  1.
(2.8)
Рис. 13
a b
Уравнение (2.8) называется уравнением прямой в отрезках на
осях. В этом уравнении х и у – текущие координаты, а и b – параметры.
Заметим, что это уравнение удобно использовать для геометрического
построения прямой.
20
6. У р а в н е н и е п р я м о й в п о л я р н ы х к о о р д и н а т а х.
Зададим на плоскости согласованные декартову и полярную системы
координат. Начало О декартовой системы координат поместим в полюсе, а положительную полуось
Ох примем за полярную ось.
у
Пусть дана какая-нибудь
прямая, не проходящая через
полюс О (рис. 14). Проведем из
N
полюса луч ON, перпендикулярp
ный данной прямой. Пусть α –
M(r;  )
r
угол между полярной осью Ох и
α

лучом ON, p – расстояние от по0
x
люса О до данной прямой,
р = | ON |.
Рис. 14
Выведем уравнение данной
прямой, считая известными величины α и р. Пусть М(r ; ) – произвольная точка данной прямой. Из прямоугольного треугольника
ONM имеем:
r cos     p .
(2.9)
Уравнение (2.9) называется уравнением прямой в полярных координатах.
7. Н о р м а л ь н о е у р а в н е н и е п р я м о й. Перепишем
уравнение (2.9) в виде
r coscosα  r sin sin α  p  0 .
Отсюда, учитывая зависимость (1.5) между декартовыми и полярными координатами точки, получим
x cos α  y sin α  p  0 .
(2.10)
Уравнение (2.10) называется нормальным уравнением прямой.
Числа р и α , где р – расстояние от начала О до заданной прямой, а α –
угол наклона нормали ON к оси абсцисс, являются параметрами
уравнения.
8. О б щ е е у р а в н е н и е п р я м о й. В предыдущих пунктах было показано, что любая прямая на плоскости в заданной декартовой прямоугольной системе координат определяется уравнением
первой степени относительно переменных x и y. Установим теперь
общий факт, что любую прямую без каких-либо ограничений можно
задать алгебраическим уравнением первой степени.
21
Т е о р е м а. Каждое уравнение первой степени относительно
x и y вида
(2.11)
Ax  By  C  0 ,
где А и В – коэффициенты, одновременно не равные нулю, определяет
в декартовой прямоугольной системе координат некоторую прямую.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим возможные случаи.
1) А ≠ 0, В ≠ 0, С ≠ 0. Разделив все члены уравнения на В и определяя из него y, запишем уравнение (2.11) в виде
A
C
y x .
B
B
C
A
Обозначая k  
, b   , получим уравнение y  kx  b . Это
B
B
уравнение прямой с угловым коэффициентом (2.2).
2) В ≠ 0, С ≠ 0, А = 0. В этом случае уравнение принимает вид
By  C  0 , или y  b . Это уравнение прямой, параллельной оси Ox
вида (2.6), отсекающей на оси ординат отрезок, величина которого
C
равна b , где b   .
B
3) А ≠ 0, С ≠ 0, В = 0. Уравнение (2.11) принимает вид
Ax  C  0 , или x  a . Это уравнение прямой, параллельной оси Oy
вида (2.7), отсекающей от оси абсцисс отрезок, величина которого равC
на a , где a   .
A
4) А ≠ 0, В ≠ 0, С = 0. Уравнение (2.11) имеет вид Ax  By  0 ,
A
. Это уравнение прямой, проходящей через
B
начало координат (2.3) .
5) А ≠ 0, В = 0, С = 0. Уравнение имеет вид
(2.12)
x  0.
Это – уравнение оси ординат.
6) В ≠ 0, А = 0, С = 0. Уравнение имеет вид
(2.13)
y 0.
Это уравнение является уравнением оси абсцисс.
Таким образом, во всех случаях уравнение Ax  By  C  0 является уравнением прямой линии. Тем самым теорема доказана.
Уравнение (2.11), где А и В одновременно не равны нулю, называется общим уравнением прямой.
Итак, в декартовой прямоугольной системе координат всякая
прямая может быть определена уравнением первой степени, и наобоили y  kx , где k  
22
рот, каждое уравнение первой степени относительно x и y определяет
некоторую прямую линию.
9. П р и в е д е н и е о б щ е г о у р а в н е н и я п р я м о й к
н о р м а л ь н о м у у р а в н е н и ю. Если дано общее уравнение
прямой (2.11), то его можно привести к виду нормального уравнения (2.10) умножением на нормирующий множитель
1
 
.
(2.14)
 A2  B 2
В результате получим
Ax  By  C
(2.15)
0.
 A2  B 2
Сравнивая уравнения (2.10) и (2.15), заключаем, что
C
A
B
, sin  
, p
.
(2.16)
cos  
2
2
2
2
 A B
 A B
 A2  B 2
Третье из равенств (2.16) позволяет решить вопрос о выборе знака
числа  . Так как p > 0, то знак  выбирается противоположным
знаку коэффициента С общего уравнения прямой. Если С = 0, то для
 можно выбрать любой знак.
Итак, общее уравнение прямой (2.11) приводится к нормальному
уравнению в форме (2.15) путем умножения его на нормирующий
множитель  вида (2.14), где знак перед квадратным корнем выбирается противоположным знаку коэффициента С общего уравнения.
2.3. Угол между двумя прямыми. Условия параллельности
и перпендикулярности двух прямых
Пусть две прямые L1 и L2 заданы уравнениями с угловым коэффициентом
и
y  k1x  b1
у
L2
y  k2 x  b2 . Если α1 и α2 – углы
L1
наклона прямых L1 и L2 к оси
Ox , а  – один из углов между

α2
этими прямыми, то из геометриα1
ческих соображений (рис. 15)
α2
вытекает, что
α1
   2  1 .
0
x
При этом под  0    
мы
подразумеваем
тот
Рис. 15
наименьший угол, на который
23
надо повернуть (против часовой стрелки) первую прямую L1, чтобы
она совпала со второй прямой L2. Таким образом, наши прямые не рав
ноправны. Если   , то
2
tg  2  tg 1
k  k1
tg   tg   2  1  
 2
.
1  tg 1 tg  2
1  k1k 2
Мы получаем следующую формулу для определения угла  между
двумя неперпендикулярными прямыми:
k  k1
tg   2
.
(2.17)
1  k1k 2
Если в этой формуле поменять ролями k1 и k2 (от чего фактически лишь
изменится знак на противоположный), то формула определит нам
другой угол между прямыми, смежный по отношению к прежнему углу  и равный    .
Прямые L1 и L2 параллельны, когда тангенс угла между ними равен нулю, т. е. условие параллельности имеет вид
k1  k 2
(2.18)
(при этом числитель в (2.17) равен нулю, а знаменатель строго положителен).
Если же тангенс угла  не существует, т. е. знаменатель в форму
ле (2.17) обращается в нуль, то котангенс угла  равен нулю и   .
2
При этом
k1 k 2  1  0 .
Отсюда условие перпендикулярности прямых L1 и L2 принимает вид
1
(2.19)
k2  
.
k1
2.4. Расстояние от точки до прямой
Найдем расстояние d от данной точки М0(х0; у0) до прямой L
(рис. 16), заданной нормальным уравнением (2.10):
x cos α  y sin α  p  0 .
Под расстоянием d будем понимать длину перпендикуляра, опущенного из М0 на L. Проведем через точку М0 прямую L1, параллельную L. Запишем нормальное уравнение прямой L1 :
x cos α  y sin α   p  d   0 .
24
L1
у
L
L
у
L1
d
p
M0
p
α
α
0
x
d
M0
0
x
Рис. 17
Рис. 16
Прямая L1 проходит через точку М0(х0; у0), поэтому
x0 cos α  y0 sin α   p  d   0 .
Отсюда находим
(2.20)
d  x0 cosα  y0 sin α  p .
Если точка М0(х0; у0) и начало координат лежат по одну сторону
от прямой L (рис. 17), то аналогично найдем
(2.21)
d   x0 cos α  y0 sin α  p .
Из равенств (2.20) и (2.21) следует, что
(2.22)
d  | x0 cos α  y0 sin α  p |.
Если прямая L задана общим уравнением
Ax  By  C  0 ,
то после приведения его к нормальному уравнению в форме (2.15)
формула (2.22) принимает вид
Ax0  By0  C
.
(2.23)
d
A2  B 2
Формулы (2.22) и (2.23) решают поставленную задачу: чтобы
найти расстояние от данной точки до данной прямой, надо уравнение
прямой привести к нормальному виду, вместо текущих координат подставить в левую часть уравнения координаты данной точки и взять по
абсолютной величине полученный результат.
2.5. Нахождение прямой, проходящей через точку
пересечения двух данных прямых и удовлетворяющей еще одному условию
Выше были рассмотрены типовые задачи на прямую линию на
плоскости: нахождение угла между двумя прямыми, установление
условий параллельности и перпендикулярности двух прямых, вычисление расстояния от точки до прямой.
25
Рассмотрим еще четыре задачи, в которых требуется найти уравнение прямой L , проходящей через точку пересечения двух данных
прямых L1 и L2 , определяемых соответственно уравнениями
A1 x  B1 y  C1  0 и A2 x  B2 y  C2  0 ,
и, кроме того, удовлетворяющей одному из следующих четырех условий (рис. 18):
M1(a; b)
а) проходящей через данную
M(x; y)
L1
точку M1 (а; b);
б) параллельной прямой L3,
заданной уравнением
M(x; y)
M0
A3 x  B3 y  C3  0 ;
в) перпендикулярной прямой
L3, заданной уравнением
L3
A3 x  B3 y  C3  0 ;
L2
г) являющейся биссектрисой
Рис. 18
угла, образованного прямыми
L1 и L2 .
При решении подобных задач бывает удобным уметь писать
уравнение любой прямой, проходящей через точку пересечения двух
данных прямых L1 и L2 , не вычисляя координат этой точки пересечения M 0 .
Для этого составим уравнение
( A1x + B1 y + C 1) –  ( A2 x + B2 y + C 2 ) = 0,
(2.24)
где α и  – какие угодно не равные одновременно нулю числа.
Уравнение (2.24), как уравнение первой степени относительно x и
y, есть уравнение прямой линии при любых числах α и , не равных одновременно нулю.
Эта прямая заведомо проходит через точку M 0  x0 ; y0  пересечения двух данных прямых L1 и L2 . В самом деле, так как M 0  x0 ; y0 
принадлежит каждой из двух указанных прямых, то справедливы равенства
A1 x0  B1 y 0  C1  0
A2 x0  B2 y 0  C2  0 ,
и
из которых вытекает, что при любых  и 
α  A1 x0  B1 y0  C1    A2 x0  B2 y0  C2   0 ,
т. е. координаты x0 и y0 точки М0 удовлетворяют уравнению (2.24).
Задавая в уравнении (2.24) произвольно два числа  и , мы будем
получать всевозможные прямые, проходящие через точку М0(x0; y0).
26
Совокупность таких прямых называется пучком прямых, а (2.24) называется уравнением пучка прямых с центром в точке пересечения двух
данных прямых L1 и L2.
Рассмотрим теперь решения указанных выше задач. Искомая прямая L будет принадлежать пучку, определяемому уравнением (2.24).
Для нахождения постоянных α и  будем использовать одно из условий
а), б), в), г).
а) Подставим координаты а и b точки М1 в уравнение (2.24) вместо текущих координат x и y:
(A1а + B1b + C1) –  (A2a + B2b+ C2) = 0.
(2.25)
В полученном равенстве обе круглые скобки не могут обращаться
в нуль (иначе точка М1(а; b) совпадет с центром пучка М0(x0; y0) ). Задавая произвольно один из коэффициентов  и , мы найдем другой из
этих коэффициентов. Подстановка найденных  и  в уравнение (2.24)
дает решение задачи.
б) Запишем общие уравнения данных прямых L1, L2 и L3 в виде
уравнений с угловым коэффициентом y = k1x + b1, y = k2 x + b2 и
y = k3 x + b3, где ki = – Ai / Bi, bi = – Ci / Bi , i = 1, 2, 3.
Уравнение пучка (2.24) и угловой коэффициент k прямой пучка
примут вид
 ( k1 x – y + b1 ) –  ( k2 x – y + b2 ) = 0,
(2.26)
 k1   k 2
k 
.
(2.27)
 
Так как, согласно (2.18), у двух параллельных прямых угловые коэффициенты равны, то
k1   k 2
 k3 или  k 3  k1   k 3  k 2 .
(2.28)
 
В последнем равенстве обе круглые скобки не могут обратиться в
нуль (иначе бы прямые L1 и L2 оказались параллельными), и поэтому из
последнего равенства, задавая произвольно один из коэффициентов  и
, мы найдем другой коэффициент. После этого уравнение (2.26)
(или (2.24)) дает решение задачи.
в) Используем для прямой (2.26) и прямой L3 условие перпендикулярности (2.19). В результате получим
k1  k 2
1

или (1 + k1k3) = (1 + k2k3).
(2.29)
 
k3
Обращение в нуль обеих круглых скобок последнего равенства
невозможно (иначе бы прямые L1 и L2 оказались параллельными), и поэтому задавая произвольно один из коэффициентов  и , мы найдем


27


из него другой из коэффициентов. Подставив их в уравнение (2.26)
(или (2.24)), получим искомое решение.
З а м е ч а н и е. Если одна из данных прямых L1 и L2 перпендикулярна оси Оx и, следовательно, углового коэффициента не имеет, то
центр пучка М0(x0; y0) находится непосредственно, и задача решается
с помощью уравнения (2.1).
г) Биссектрисы углов, образованных двумя прямыми, являются,
как известно, геометрическим местом точек, равноудаленных от этих
прямых.
Предположим, что произвольная точка М(x; y) лежит на одной из
биссектрис (рис. 18). Используя формулу (2.23) для вычисления одинакового расстояния от точки М(x; y) до прямых L1 и L2, получим равенство
A x  B2 y  C2
A1 x  B1 y  C1
.
(2.30)
 2
A12  B12
A22  B22
Если равны модули двух величин, то эти величины либо равны,
либо отличаются только знаками. Следовательно уравнения биссектрис двух углов, образованных прямыми L1 и L2, принимают вид
A1 x  B1 y  C1
A x  B2 y  C2
(2.31)
 2
0.
2
2
A1  B1
A22  B22
Нетрудно видеть, что каждое из уравнений (2.31) является уравнением пучка (2.24), в котором числа  и  равны нормирующим множителям уравнений прямых L1 и L2.
28
ГЛАВА 3. КРИВЫЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА
При изучении линий по их уравнениям естественно располагать
их по сложности этих уравнений. Самой простой линией и с этой точки
зрения следует считать прямую, ибо ее уравнение имеет первую степень. Следующими по своей сложности за прямой должны считаться
линии, уравнения которых имеют вторую степень
Аx2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0,
(3.1)
где коэффициенты A, B, C, D, E, F – действительные числа и, кроме
того, по крайней мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля.
В зависимости от значений коэффициентов уравнение (3.1) в произвольно заданной прямоугольной декартовой системе координат может определять окружность, параболу, эллипс, гиперболу, пару пересекающихся прямых, пару параллельных прямых, пару совпадающих
прямых, точку и, наконец, может не определять никакой линии. Первые четыре линии обычно называют кривыми второго порядка.
Кривая второго порядка, рассматриваемая как геометрический
объект, не меняется, если от данной декартовой системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Поэтому при специальном выборе декартовой системы координат уравнение (3.1) примет
настолько простой вид, что исследование геометрических свойств этой
кривой не будет представлять затруднений. Этим методом мы и воспользуемся для изучения кривых второго порядка, определяемых в
специально выбранной декартовой системе координат каноническими
(т. е. простейшими) уравнениями.
3.1. Окружность
О п р е д е л е н и е. Окружностью радиуса R с центром в точке
С(а; b) называется геометриу
ческое место точек плоскости,
находящихся от точки С на
расстоянии R (рис. 19).
C
b
Для вывода уравнения
R
M(x; y)
окружности допустим, что
М(х; у) – любая ее точка. Тогда
по определению должно выполняться равенство СМ=R
0
a
x
или СМ 2 = R2. По формуле
расстояния между двумя точРис. 19
ками (1.7) находим
2
2
2.
(х – а) + (у – b) = R
(3.2)
29
Если же точка М(х; у) не лежит на данной окружности, то СМ2 
R , т. е. координаты точки М не будут удовлетворять уравнению (3.2).
Таким образом, каноническое уравнение окружности имеет вид (3.2).
Полагая в нем а=0, b=0, получим уравнение (1.17) окружности радиуса
R с центром в начале координат.
Раскрывая скобки, запишем уравнение (3.2) в виде:
x2 + y2 – 2ax – 2by + a2 + b2 – R2 = 0 .
Это уравнение является частным случаем общего уравнения (3.1). Действительно, если в уравнении (3.1) А=С  0, В = 0, то после деления на
А оно примет вид:
D
E
F
x2  y2  x  y   0 ,
A
A
A
т. е.
2
2
2
D 
E 
D2
E2
F


 ,
x 
 y 
 
2
2
2
A
2
A
A
4
A
4
A

 

или
x  a 2
  y  b 2  p ,
(3.3)
D2
E2
F
.
A
В случае p > 0 это будет уравнение окружности с центром (а; b)
где a = – D/2A, b = –E/2A, p 
4 A2

4 A2

и радиусом R = p ; в случае р = 0 уравнению (3.3) удовлетворяет
единственная пара чисел (а; b), т. е. уравнение определяет точку; в
случае р < 0 уравнению (3.3) не удовлетворяет ни одна пара чисел,
т. е. уравнение не определяет никакого геометрического образа.
3.2. Парабола
О п р е д е л е н и е. Параболой называется геометрическое место
точек плоскости, равноудаленных от данной точки F, называемой
фокусом параболы, и от данной прямой, называемой директрисой
параболы.
Для вывода уравнения параболы введем декартову систему коорp

динат Оху так, чтобы фокус находился в точке F  ; 0  , а директриса
2

p
имела уравнение х = – , где р > 0. Пусть М(х; у) – любая точка пара2
болы. Обозначим через r длину отрезка FM, называемого фокальным
радиусом точки М, а через d – расстояние МN от точки М до
директрисы (рис. 20).
30
у
 p 
N  ; y
 2 
p
d=  x
2
Согласно определению
параболы
должно выполняться
равенство r = d, или
по формуле расстояния
между двумя
точками
M(x; y)
r

p
2
0
2
p

2
x   y 
2

p 
F  ; 0
2 
x
Рис. 20
2
p

 x  .
2


Возведем обе части
равенства в квадрат:
p2
p2
+ у2 = х2 + рх +
.
4
4
Отсюда окончательно получаем каноническое уравнение параболы
у2 = 2рх .
(3.4)
Обратными рассуждениями можно показать, что уравнению (3.4)
удовлетворяют только координаты точки М(х; у), лежащей на данной
параболе, т. е. для которой r = d, и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на ней. При этом длина r фокального радиуса
FM точки М(х; у) параболы выражается через ее абсциссу по формуле
p
r 
 x.
(3.5)
2
Исследуем форму парау
болы по ее уравнению.
M(x; y)
1) Так как уравнение
p
p 
(3.4)
содержит у только в
K  ; p
четной степени, то этому
2 
уравнению удовлетворяют
0
x также координаты точки
p 
F  ; 0
М (х; –у),
симметричной
2 
точке М(х; у) относительно
оси Ох (рис. 21). Таким обM´ (x;-y)
y 2  2 px
разом, ось Ох является осью
симметрии параболы.
2) Так как по условию
Рис. 21
p > 0, то уравнению (3.4)
х2 – рх +
31
удовлетворяют координаты точек лишь с неотрицательными абсциссами. Следовательно, парабола располагается в правой полуплоскости,
где х  0.
3) Точка О(0; 0) удовлетворяет уравнению параболы (3.4) и лежит
на ее оси симметрии. Поэтому начало координат, т. е. точка О(0; 0),
называется вершиной параболы.
4) При неограниченном возрастании координаты х значения координаты у также неограниченно возрастают по абсолютной величине,
хотя и не столь же быстро. Например, при увеличении х в 4 раза у
увеличится только вдвое.
p 
5) Если на параболе взять точку K  ; p  (рис. 21), то, согласно
2

формуле (3.5), ее фокальный радиус FK, перпендикулярный к оси симметрии, будет иметь длину r = p. Следовательно, параметр р характеризует «ширину» области, ограниченной параболой. В этом и состоит
геометрический смысл параметра р, называемого фокальным параметром параболы.
Таким образом, парабола выглядит так, как показано на рис. 21.
Она оказалась бесконечной незамкнутой кривой, у которой ось Ох
служит осью симметрии, начало координат – вершиной, а ось Оу – касательной в вершине.
З а м е ч а н и е. Нетрудно понять теперь, что каждому из уравнений
у2 = – 2рх, х2 = 2ру, х2 = – 2ру (р > 0)
соответствует парабола, по форме тождественная с параболой (3.4), но
только иначе расположенная.
3.3. Эллипс
Пусть на плоскости даны две точки F1 и F2, расстояние между которыми F1F2= 2с. Допустим, что М – произвольная точка плоскости, а r1=F1M и r2=F2M – ее расстояния до точек F1 и F2.
О п р е д е л е н и е. Эллипсом называется геометрическое место
точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых до двух данных
точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная, равная
2а:
r1  r2  2a .
(3.6)
Выведем уравнение эллипса. Для этого введем декартову систему
координат Оху так, чтобы фокусы находились в точках F1(-c; 0) и
F2(c; 0). Пусть М(х; у) – произвольная точка эллипса (рис. 22). Запишем
32
ее фокальные радиусы r1 и r2 в координатной форме и подставим их
в равенство (3.6):
у
M(x; y)
r1
F1(-c; 0) 0
x  c 2  y 2 
2
  x  c   y 2  2a .
r2
F2(c; 0)
x
(3.7)
Это и есть уравнение эллипса.
Приведем его к более простому
виду. Перенесем второй радикал в
правую часть и затем возведем обе части равенства в квадрат:
Рис. 22
х2+2хс + с2 + у2 = 4а2 – 4а
x  c2  y 2
+ х2 –2хс + с2 + у2,
откуда находим
x  c 2  y 2
c
(3.8)
 a x.
a
Возведем теперь в квадрат обе части равенства (3.8):
c2
х2 – 2хс + с2 + у2 = а2 –2хс + 2 x 2 ,
a
откуда, после приведения подобных членов и умножения на а2, получим
(а2 – с2) х2 + а2у2 = а2(а2 – с2) .
(3.9)
Заметим, что по определению эллипса 2а > 2с (сумма двух сторон
треугольника больше третьей его стороны). Поэтому, обозначив
b 2 = a 2 – c2 ,
(3.10)
после деления обеих частей равенства (3.9) на а2b2, получаем
x2 y2
(3.11)

1.
a2 b2
Если выполнить выкладки в обратном порядке, то можно показать, что всякая пара чисел х и у, удовлетворяющая уравнению (3.11),
удовлетворяет и уравнению (3.7). Таким образом, уравнению (3.11)
удовлетворяют координаты точек данного эллипса, и только они.
Уравнение (3.11) называется каноническим уравнением эллипса.
Исследуем свойства эллипса по его каноническому уравнению.
2
y
x2
1) Из уравнения (3.11) вытекает, что 2  1 и
 1 . Эти
a
b2
неравенства, очевидно, равносильны неравенствам | х |  а и | у |  b.
Итак, эллипс расположен в прямоугольнике со сторонами 2а и 2b,
определяемом неравенствами – а  х  а, – b  y  b.
33
2) Уравнение (3.11) содержит х и у только в четных степенях. При
замене х на – х, а у на – у это уравнение не изменяется, т. е. эллипс
симметричен относительно обеих осей координат Ох и Оу и представляет собой замкнутую кривую.
3) В силу сказанного выше, мы будем знать форму всего эллипса,
если установим вид той его части, которая лежит в первом квадранте.
Для этого разрешим уравнение (3.11) относительно у:
b
a2  x2 .
y=
a
Очевидно, что здесь 0  х  а, так как выражение под знаком корня должно быть неотрицательным. При возрастании х от 0 до a величина у уменьшается от b до 0. Отсюда следует, что часть эллипса, лежащая в первом квадранте, есть дуга, ограниченная точками В(0; b) и
А(a; 0), лежащими на осях координат. Воспользовавшись теперь симметрией эллипса, приходим к заключению, что эллипс имеет форму,
изображенную на рис. 23.
Точки А, В, А1, В1
у
пересечения эллипса с
осями симметрии назыB(0; b)
ваются его вершинами.
M(x; y)
Отрезки А1А и В1В, соr1
r2
единяющие противопоA1(-a; 0)
A(a; 0)
ложные вершины, а такF1
F2
0
x
же их длины 2а и 2b,
называются
соответB1(0; -b)
ственно большой и малой
осями эллипса. Числа a и
b называются соответРис. 23
ственно большой и малой
полуосями эллипса.
4) Рассмотрим окружность, заданную уравнением
x2
a2

y
2
a2
1 .
(3.12)
Произведем теперь равномерное сжатие плоскости к оси Ох, т. е.
такое преобразование, при котором точка с координатами (х; у) перейa
дет в точку с координатами x; y , причем x  x , y  y . Очевидно,
b
при этом преобразовании окружность (3.12) перейдет в кривую, определяемую уравнением
 
34
x2

y2
 1,
a2
b2
т. е. в эллипс.
Это показывает, что эллипс можно рассматривать как сжатую
окружность. Отсюда, в частности, следует, что параметрические уравнения эллипса (3.11) можно получить из параметрических уравнений
x = a cos t, y = a sin t, 0  t  2, окружности (3.12) умножением ордиb
наты окружности у на коэффициент
:
a
(3.13)
x  a cost , y  b sin t , 0  t  2 .
5) Эксцентриситетом эллипса называется отношение расстояния
между фокусами к длине его большой оси, т. е. число
2c c
=
(3.14)
 .
2a a
Так как с < а, то для любого эллипса 0 <  < 1. Эксцентриситет
характеризует степень сжатия эллипса к оси Ох. Действительно, из
формул (3.10) и (3.14) следует
2
2 =
c2 a 2  b2
b

 1   ,
2
2
a
a
a
и значит
b
 1  2 .
a
Отсюда видно, что, чем больше , тем меньше отношение
b
и тем
a
больше сжат к оси Ох эллипс.
6) Из равенства (3.8) имеем:
c
r2   x  c 2  y 2  a  x ,
a
но по определению эллипса r1 + r2 = 2a, следовательно
c
r1  x  c 2  y 2  a  x .
a
С учетом обозначения (3.14) полученные формулы можно переписать
так:
r1 = a +  х , r2 = a –  х .
(3.15)
Из проведенного исследования видно, что длины полуосей а и b,
расстояние между фокусами 2с, эксцентриситет  и фокальные радиусы r1 и r2 – параметры, которые полностью определяют эллипс с центром в начале координат.
35
3.4. Гипербола
Пусть вновь F1 и F2 – две фиксированные точки плоскости, расстояние между которыми равно 2с, а М – произвольная точка плоскости, расстояния которой до точек F1 и F2 соответственно равны r1 и r2.
О п р е д е л е н и е. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых разность расстояний r1 и r2 до двух
фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина
постоянная, равная 2а.
Введем декартову систему координат так, как указано на рис. 22.
На основании определения гиперболы можно утверждать, что для всех
точек М(х; у) гиперболы, и только для них, должно выполняться равенство
r1 – r2 =  2а,
(3.16)
которое в координатной форме принимает вид:
x  c2  y 2  x  c2  y 2
  2a .
(3.17)
После упрощений, подобных тем, которые были сделаны при выводе канонического уравнения эллипса, вновь получим уравнение
(3.9):
(а2 – с2) х2 + а2у2 = а2(а2 – с2),
(3.18)
2
2
в котором теперь разность а – с < 0 (разность двух сторон треугольника на рис. 22 меньше его третьей стороны, т. е. r1 – r2 = 2а < 2c и
а2 < c2). Поэтому положим
(3.19)
b2  c2  a2 .
Тогда уравнение (3.18) после деления на а2b2 приводится к виду
x2

y2
 1.
(3.20)
a2 b2
Уравнению (3.20), как следствию уравнения (3.17), удовлетворяют
координаты любой точки М(х; у) гиперболы. Можно показать, что координаты точек, не принадлежащих гиперболе, этому уравнению не
удовлетворяют.
Уравнение (3.20) называется каноническим уравнением гиперболы.
Исследуем свойства гиперболы по ее каноническому уравнению.
x2
1) Из уравнения (3.20) вытекает 2  1, что равносильно неравенa
ству | х |  а. Отсюда очевидно, что в полосе – а < х < а точек гиперболы нет, т. е. гипербола состоит из левой ветви, расположенной в левой
полуплоскости при х  – а, и из правой ветви, расположенной в правой
полуплоскости при х  а.
36
2) Уравнение (3.20) содержит х и у только в четных степенях, поэтому гипербола имеет две оси симметрии, совпадающие с координатными осями, и центр симметрии – начало координат.
3) Установим форму части ветви гиперболы, расположенной в
первом квадранте, где она, согласно (3.20), имеет уравнение
2
y
b
 a
x 1   , х  а .
a
 x 
(3.21)
2
a
Так как при х  +  отношение    0, то из (3.21) следует,
 x
что при удалении точки М(х; у) гиперболы в бесконечность (т. е. при
х  + ) рассматриваемая часть ветви гиперболы приближается снизу
b
к прямой у =
х . В силу симметрии аналогичным свойством обладаa
ют и другие части гиперболы, расположенные во втором, третьем и
четвертом квадрантах.
Прямые, имеющие уравнения
b
b
у= x
и
у = – х,
(3.22)
a
a
называются асимптотами гиперболы.
Для построения всей гиперболы, изображенной на рис. 24, поступают следующим образом. На осях Ох и Оу строят точки А1(-а; 0),
А(а; 0), В1(0; -b), В(0; b). Затем через них проводят прямые, параллельные координатным осям, до их взаимного пересечения и таким образом строят прямоугольник, называемый основным прямоугольником
гиперболы. Каждая из диагоналей основного прямоугольника, неограу
r1
M(x; y)
B(0; b)
r2
F1(-c; 0)
A1(-a;0)
A(a;0)
0
B1(0; -b)
Рис. 24
.
37
F2(c; 0)
x
ниченно продолженная в обе стороны, является асимптотой гиперболы. После построения по точкам части ветви гиперболы в первом квадранте и симметричном отображении ее относительно осей Ох и Оу получают всю гиперболу.
Отрезок А1А и его длина 2а называются действительной осью, а
отрезок В1В и его длина 2b называются мнимой осью гиперболы. Параметры а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями. Точки А1 и А пересечения гиперболы с действительной осью
называются вершинами гиперболы. Длина 2с отрезка F1F2 действительной оси называется фокусным расстоянием, числа r1 и r2 –
фокальными радиусами точки М.
4) Эксцентриситетом гиперболы называется отношение фокусного расстояния к длине ее действительной оси:
2c c
(3.23)
 .
2a a
Так как у гиперболы с > а, то для любой гиперболы   1 . Из формул
(3.23) и (3.19) следует

2
2 
c2 a2  b2
b

 1   ,
a2
a2
a
b
  2  1.
a
Из последнего равенства получается геометрическое истолкование
эксцентриситета гиперболы. Чем меньше эксцентриситет, т. е. чем
ближе он к единице, тем меньше отношение b/а, а это означает, что основной прямоугольник более вытянут в направлении действительной
оси. Таким образом, эксцентриситет гиперболы характеризует форму
ее основного прямоугольника, а значит, и форму самой гиперболы.
5) Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны
при выводе формул (3.15), найдем для фокальных радиусов r1 и r2 следующие выражения:
r1    x  a  ,
r2    x  a  ,
(3.24)
где знак плюс берется для точек М(х; у) правой ветви, а знак минус –
для точек левой ветви гиперболы.
6) Уравнение
y
2

x
2
1
(3.25)
b2 a2
представляет собой уравнение сопряженной гиперболы, у которой
действительной осью является ось ординат, а мнимой – ось абсцисс.
Очевидно, что гиперболы (3.20) и (3.25) имеют общие асимптоты
(3.22).
38
7) Гипербола называется равносторонней (или равнобочной), если
a = b. Ее каноническое уравнение:
х2 – у2 = а2.
(3.26)
Асимптоты равносторонней гиперболы имеют уравнения
у = х,
у=–х
(3.27)
и, следовательно, являются биссектрисами координатных углов. Эксцентриситет равносторонней гиперболы
 
c

a
a a
a
2
2

2.
(3.28)
39
ГЛАВА 4. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
4.1. Скаляры и векторы. Равенство векторов
При изучении прикладных наук приходится иметь дело с величинами двух видов: скалярами и векторами. Скаляром называется величина, определяемая при выбранной единице измерения одним числом,
например: длина, объём, температура, масса, энергия. Вектором называется величина, определяемая помимо числа ещё своим направлением,
например: перемещение точки, скорость, ускорение, сила.
В механике и физике различают векторы трёх видов: свободные,
скользящие и связанные векторы. Свободные векторы можно перемещать в пространстве параллельно их направлению, т. е. точку приложения свободных векторов можно выбирать произвольно. У скользящих векторов точку приложения вектора можно перемещать произвольно лишь вдоль самого вектора. Примером скользящего вектора
может служить сила, приложенная к абсолютно твёрдому телу, так как
две силы, равные и расположенные на одной прямой, оказывают на абсолютно твёрдое тело одинаковое механическое воздействие. Наконец,
у связанных векторов точка приложения вектора должна быть зафиксирована. Так, например, при рассмотрении движения жидкости за
точку приложения силы, действующей на какую-либо частицу жидкости, принимается некоторая точка самой частицы.
Изучение скользящих и связанных векторов сводится к изучению
свободных векторов, почему достаточно ограничиться рассмотрением
только последних. Абстрагируясь от конкретных свойств, встречающихся в природе физических векторных величин, мы приходим к понятию геометрического вектора, называемого, для краткости, в дальнейшем просто вектором.
Геометрическим вектором, или просто
вектором, будем называть направленный отВ
а
резок (рис. 25). Для обозначения вектора используется либо символ АВ (А – точка начала, В – точка конца направленного отрезка),
А
либо какая-нибудь буква с чертой над ней а,
либо буква без черты, выделенная в печатном
Рис. 25
тексте жирным шрифтом.
Для обозначения длины вектора будем пользоваться символом
модуля (или абсолютной величины): АВ , а. Вектор называется
нулевым, если его начало и конец совпадают. Нулевой вектор не имеет
направления, его длина равна нулю. Это позволяет нам при записи
40
отождествлять нулевой вектор 0 с действительным числом нуль.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной
прямой, либо на параллельных прямых (рис. 26). Коллинеарность векторов a и b выражают записью a || b .
b
a
D
a
b
a
С
a
b
В
b
А
a || b
a и b
a || b
a || b
не коллинеарны
Рис. 26
Теперь мы можем сформулировать понятие равенства двух векторов: два вектора называются равными, если они коллинеарны a || b ,
имеют одинаковую длину  a  =  b  и одинаковое направление а 
b . Равенство векторов a и b обозначают обычным в алгебре знаком
равенства а  b . Все нулевые векторы считаются равными. Для неравных векторов а и b пишута  b .
Из определения равенства векторов следует, что вектор можно
переносить параллельно самому себе, помещая его начало в любую
точку пространства. Такой вектор называется свободным.
4.2. Линейные операции над векторами
Линейными операциями принято называть операцию сложения
векторов и операцию умножения векторов на действительные числа.
О п р е д е л е н и е 1. Суммой а + b векторов а и b называется
вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к
a + b
b концу вектора а (рис. 27).
Правило сложения двух векторов обычно
a
называют правилом треугольника, так как слагаемые векторы а и b и их сумма а + b образуют
Рис. 27
треугольник.
41
Сложение векторов обладает теми же самыми четырьмя свойствами, что и сложение действительных чисел:
1 а + b = b + а (переместительное свойство);
2 (а + b ) + c =а + ( b + c ) =а + b + c (сочетательное свойство);
3 а + 0 = a (особая роль нулевого вектора);
4 а + ( –а) = 0.
Убедимся в справедливости
D
этих свойств. Из рис. 28 видно, что
a
сумма а + b и сумма b +а двух
b
ba
a b
A
C
b
a
B
Рис. 28
векторов а и b является диагональю параллелограмма ABCD, построенного на векторах а и b , что и доказывает свойство 1.
Чтобы
образовать
сумму
а + b +с трёх векторов а, b ис
(рис. 29), мы к сумме а + b прибавляем вектор с, окончательно получаем вектор AD = (а + b ) +с. Тот же самый результат получится,
a b
c
a b c
A
D
b =- a
b
a
bc
a
Рис. 30
Рис. 29
если к вектору а прибавить сумму b +с. Тем самым свойство 2
установлено.
Свойство 3 непосредственно вытекает из определения 1.
Свойство 4 следует из рис. 30 и определения 1 для векторов
а и b = –а, где под вектором –а мы будем понимать вектор, противоположный а, т. е. равный по величине, но противоположный по
направлению вектору а.
З а м е ч а н и е. При доказательстве свойства 1 нами обосновано
ещё одно правило сложения векторов, называемое правилом параллело42
грамма: сумма а + b векторов а и b , приведённых к общему началу, представляет собой идущую из общего начала диагональ параллелограмма, построенного на данных векторах (рис. 28).
Доказанные свойства 1 – 4 позволяют оперировать с суммой
любого конечного числа векторов так же, как с суммой действительных чисел. Наконец, свойства 1 – 4 позволяют решить вопрос о вычитании векторов.
О п р е д е л е н и е 2. Разностью a – b вектора a и вектора b
называется вектор c , равный сумме вектораа и вектора – b , противоположного вектору b : c = a – b = a
+ (– b ).
a
b
c  a b
a
b
Рис. 31
Геометрически разность а – b ,
приведённых к общему началу векторов а и b , представляет собой диагональ параллелограмма, идущую из
конца вычитаемого вектора b в конец
уменьшаемого вектора а (рис. 31).
Очевидно при этом, что из векторного
равенства а – b = с следует равен-
ство а = b +с , т. е. при переносе слагаемого b из одной части равенства в другую его часть знак b меняется на противоположный точно так, как это имеет место для действительных чисел.
Перейдём к рассмотрению операции умножения вектора на действительное число.
О п р е д е л е н и е 3. Произведением a (или a  ) вектора а
на действительное число  называется вектор b, удовлетворяющий
трём условиям:
1) векторb коллинеарен вектору а, т. е. b а ;
2) b  =   · а ;
3) векторы b и a одинаково направлены b  a , если   0 , и
направлены противоположно b  a , если   0; если   0 , то b = 0 .
Из определения 3 следует, что если b =  a , то векторы b и a
коллинеарны, и наоборот, из коллинеарности векторов b и a следует,
что b =  a .
Геометрический смысл операции умножения вектора a  0 на
число   0 можно выразить так: вектор b =  a получается из вектора
43
1
раз при
| |
  . При   0, кроме растяжения или сжатия, происходит ещё изменение направления вектора на противоположное.
Операция умножения вектора на число обладает следующими
тремя свойствами:
  a  b   a   b (распределительное свойство числового
сомножителя относительно суммы векторов);
      a   a   a распределительное свойство векторного
сомножителя относительно суммы чисел;
7         a сочетательное свойство числовых сомножителей.
Справедливость свойства  при   0 следует из свойства подобных фигур (рис. 32): при изменении
b
сторон параллелограмма в  раз его
диагональ также изменяется в  раз.
b
Случай   0 рассматривается анаa b
 a b
логично.
a  b
Свойство 6 следует из опреa
деления 3 и правила сложения векторов a и a , лежащих на одной
a
прямой.
Рис. 32
Свойство 7 следует из определения 3 и определения равенства двух векторов. Действительно, при
 и , отличных от нуля, векторы  a и     a коллинеарны и
одинаково направлены если  или  равны нулю, то оба вектора нулевые. А так как
|   а | = |  | · | а | = |  | · |  | · |а | = |  | · |а | ,
то эти векторы имеют одинаковую длину, и свойство 7 выполняется.
Применяя введённые линейные операции, мы можем теперь составлять линейные комбинации векторов, умноженных на числа:
1 a1   2 a 2  ...   n a n .
a растяжением в   раз при  1 и сжатием в


 
 
 
Числа, входящие в линейную комбинацию, называются её коэффициентами.
Основное значение свойств 1 – 7 линейных операций состоит в
том, что эти свойства позволяют преобразовывать выражения, составленные из линейных комбинаций, по обычным правилам элементарной
алгебры.
44
В заключение рассмотрим важный частный случай двух коллинеарных векторов, когда один из них имеет длину, равную единице. Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором
или ортом. Пусть вектор а коллинеарен ортуi , который примем за
ось.
Из определения величины направленного отрезка оси, данного в
п. 1.1, следует, что величина а вектораа равна его длине, взятой со
знаком плюс, а = а , еслиа i (рис. 33), и равна длине, взятой со
знаком минус, а = – а , если а i (рис. 34). Тогда в обоих случаях будем иметь:
(4.1)
a  ai.
В формуле (4.1) указаны два элемента, характеризующие вектор
а : его величина и его направление, т. е. каждый вектор равен произведению его величины на орт, коллинеарный этому вектору.
Равенство (4.1) будет неоднократно использоваться в дальнейшем.
a
a
i
i
a |a| i  a i
a  |a| i  a i
Рис. 33
Рис. 34
4.3. Декартовы координаты точки в пространстве.
Радиус - вектор точки
Три взаимно перпендикулярные координатные оси Оx, Оy и Оz с
общим началом О и одинаковой единицей масштаба образуют декартову прямоугольную систему координат в пространстве (рис. 35).
Оси называют: Оx – ось
z
абсцисс, Оy – ось ординат,
Мz
Оz – ось аппликат. Попарно
взятые координатные оси
располагаются в так назыМ
r
ваемых
координатных
k
Му
плоскостях Oxy, Оyz, Оxz,
i 0
у которые разбивают проj
странство на восемь окМx
тантов.
'
М
x
Пусть М – произвольРис. 35
ная точка пространства.
45
Обозначим через Мx, Мy и Мz проекции точки М на оси Оx, Оy и Оz соответственно (рис. 35).
Декартовыми прямоугольными координатами x, y и z точки М будем называть числа
(4.2)
x  OMx ,
y  OMy ,
z  OM z ,
т. е. величины направленных отрезков OMx , OM y , OM z ; при этом x
называется абсциссой, y – ординатой, а z – аппликатой точки М. Тот
факт, что точка М имеет координаты x, y и z, символически обозначают
так: М(х; у; z).
При заданной системе координат каждой точке М пространства
соответствует единственная упорядоченная тройка чисел (x; y; z) – её
декартовы координаты, и наоборот, каждой упорядоченной тройке чисел (x; y; z) соответствует, и притом одна, точка М в пространстве. Таким образом, декартова прямоугольная система координат в пространстве устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек пространства и множеством упорядоченных троек
действительных чисел.
Если М(x; y; z) – произвольная точка в пространстве, то радиусомвектором точки М назовём вектор r  ОМ , имеющий своим началом
начало О заданной системы координат, а концом – эту точку. Обозначим единичные векторы (орты) осей Оx, Оy, Оz соответственно через
i, j,k. Тройка указанных векторовi, j,k образует так называемый
ортонормированный базис пространства векторов. Покажем, что
r  xi  y j  zk .
(4.3)
Действительно, из рис. 35 по правилу параллелограмма сложения
векторов находим
r  ОМ x  ОМ y  ОМ z .
На основании равенства (4.1) и определения декартовых координат
точки М, данного формулами (4.2), имеем
ОМ x  xi ,
ОМ y  y j ,
ОМ z  z k ,
откуда и следует равенство (4.3), называемое разложением радиусвектора r  ОМ по базису i, j,k.
Таким образом мы показали, что каждой точке М(x; y; z) в пространстве ставится во взаимно однозначное соответствие её радиусвектор r  ОМ . При этом декартовы координаты x, y и z точки М
называются декартовыми координатами её радиус-вектора r  ОМ .
46
4.4. Координаты вектора. Линейные операции над
векторами, заданными в координатной форме
Пусть теперь заданы две точки М1(x1; y1; z1) и М2(x2; y2; z2). Покажем, что вектор а  М1М 2 может быть разложен по базису i , j , k ,
т. е. представлен в форме линейной комбинации базисных векторов
а  аx i  а y j  аz k ,
(4.4)
где коэффициенты аx , аy , аz линейной комбинации называются декартовыми координатами вектора а .
Имеем а  r 2  r 1 , где r1  ОМ1 , r2  ОМ 2 (рис. 36). Отсюда, в
силу равенства (4.3) и свойств линейных операций 1 – 7 из п. 4.2,
находим:
а  x2  x1  i   y2  y1  j  z2  z1 k .
(4.5)
Полагая а х  x2  x1 , а y  y 2  y1 , а z  z 2  z1 , получаем формулу
(4.4), в которой векторы
а x i , а y j , а z k называются
z
М1
r1
a
r2
М2
у
0
x
составляющими вектора а
по осям координат.
Если вектор а имеет
декартовы
координаты
а x , а y , а z , то будем использовать символическую запись а ( а x ; а y ; а z ). Отме-
Рис. 36
тим, что декартовы координаты вектора определяются единственным
образом в силу взаимно однозначного соответствия между точками
пространства и их радиусами-векторами.
Непосредственным следствием единственности разложения вектора по базису является то, что если два вектора равны между собой, то
их координаты равны между собой и обратно, т. е. если
а  а x i  а y j  а z k , b  bx i  by j  bz k ,
(4.6)
то из а  b следует а x  bx , а y  by , аz  bz и обратно. Таким образом, одно векторное равенство равносильно трём скалярным равенствам.
47
Из свойств линейных операций над векторами следует, что линейные операции над векторами, заданными в координатной форме
(4.6), можно заменить арифметическими действиями над их координатами:
а  b  а x  bx i  а y  by  j  а z  bz  k ,
а  а x i  а y j  а z k .
(4.7)
Если два ненулевых вектора а и b коллинеарны, т. е. b   а ,
то из равенств bx   а x , b y   а y , bz   а z следует условие коллинеарности векторов в координатной форме:
bx by bz


.
ах а y аz
(4.8)
Таким образом, два вектора а и b коллинеарны тогда и только
тогда, когда их одноимённые координаты пропорциональны.
В заключение укажем, что в формуле (4.5) разности
x 2  x1 , y 2  y1 , z 2  z1 между координатами проекций на координатные оси конца М2 и начала М1 вектора а называются проекциями
вектора а на координатные оси прямоугольной декартовой системы
координат.
Обозначим их:
x2  x1  пр x а , y2  y1  пр y а , z 2  z1  пр z а .
(4.9)
Отсюда следует геометрический смысл декартовых координат
вектора: декартовы координаты а x , а y , а z вектора а равны проекциям этого вектора на оси Оx, Оy и Оz соответственно:
а x  пр x а ,
а y  пр y а ,
а z  пр z а .
(4.10)
Из формул (4.7) видно, что при сложении (вычитании) двух векторов а и b в координатной форме их соответствующие проекции
складываются (вычитаются), а при умножении вектора а на любое
число α его проекции на оси координат умножаются на число α .
4.5. Скалярное произведение двух векторов. Длина и
направляющие косинусы вектора
Вспомним известное из физики простейшее определение работы А, производимой постоянной силой F на прямолинейном перемещении S при условии, что сила составляет с перемещением постоянный угол  (рис. 37)
48
А  F  S  cos  .
(4.11)
Выражения, построенные
аналогично выражению (4.11),
очень часто встречаются в ма
тематике и физике. Поэтому
S
явилось целесообразным ввести операцию составления из
двух векторов а и b выражеРис. 37
ния, аналогичного (4.11).
О п р е д е л е н и е. Скалярным произведением вектора а на векF
тор b называется число, равное произведению длин этих векторов на
косинус угла  между ними.
Будем обозначать скалярное произведение векторов точкой, т. е.
а  b , тогда по определению
а  b  |а| |b | cos  .
(4.12)
В дальнейшем под углом  между двумя векторами, приведёнными к
общему началу, будем понимать тот угол, который не превосходит .
Среди других обозначений скалярного произведения отметим, как
употребляемые в приложениях к задачам механики и физики, ещё такие: а b и ( а ,b ).
Если векторы а и b
имеют одинаковое направление, то
а  b  | а | | b | . Отсюда ясно наименование всей операции умножением. В частности скалярное произведение а а называется скалярным квадратом вектора а и обозначается а 2 , поэтому
(4.13)
а  а  а 2  | а |2 ,
а 2  |а |.
В приведённом выше примере выражение для работы – скалярной
величины – получилось в виде скалярного произведения А  F  S вектора силы F и вектора перемещения S , что и объясняет название скалярного произведения двух векторов.
Формуле (4.12), определяющей скалярное произведение, можно
придать иной вид.
Действительно, так как произведение | b | cos  есть проекция вектора b на ось, определяемую вектором а (рис. 38), а произведение
49
| a | cos  есть проекция вектора а на ось вектора b , то из равенства
(4.12) следует, что
а  b  |а| пр а b  |b | прb а .
b

a
(4.14)
Таким образом, скалярное произведение двух векторов равно длине одного
вектора, умноженной на проекцию на него другого вектора. В частном случае, если вектор b – единичный, т. е.
пр a b  | b | cos
b 1,
то
Рис. 38
(4.15)
а  b  пр b а ,
т. е. проекция вектора на единичный вектор равна скалярному произведению этих векторов.
Рассмотрим алгебраические свойства скалярного произведения:
1 а  b  b  а
(переместительное свойство);
 
 
2
α а  b  α а  b (сочетательное относительно числового множителя свойство);
3
а  b  с  а  с  b  с (распределительное относительно суммы векторов свойство);
4 а  а  0 , если а – ненулевой вектор, и а  а  0 , если а – нулевой вектор.
Убедимся в справедливости этих свойств. Свойство 1 непосредственно вытекает из формулы (4.12):
а  b  | а | | b | cos   | b | | а |cos   b  a .
Для доказательства свойства 2 воспользуемся формулой (4.14).
Учитывая, что проекция вектора на ось обладает линейным свойством
прb α a  α прb a , получим
 
 
α а b  | b | пр α а α | b | пр a  α a  b  .
b
b
Тем самым свойство 2 доказано.
Для доказательства свойства 3 снова воспользуемся формулой
(4.14) и линейным свойством проекции вектора на ось
пр c a  b  пр c a  пр c b . Получим


 a  b   c  | c | пр  a  b   | c |  пр a  пр b  
c
c
c
 | c | пр c a  | c | пр c b  c  a  c  b  a  c  b  c .
50
Свойство 4 вытекает из формул (4.13) и определения нулевого
вектора.
Доказанные свойства имеют фундаментальное значение. Они позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнять действия почленно, не заботясь при этом о порядке векторных
множителей и сочетая числовые множители.
Используем указанную возможность для вычисления скалярного
произведения в координатной форме. Пусть векторы а ( а x ; а y ; а z ) и
b ( bx ; b y ; bz ) заданы в одном и том же ортонормированном базисе i,
j,k. Учитывая, что базисные векторы являются попарно ортогональными и имеют единичную длину, получим
i  i  1,
i  j  0,
i  k  0,
j  i  0,
j  j  1,
j  k  0,
k  i  0,
k  j  0,
k  k  1.
(4.16)
Далее, учитывая, что a  a x i  a y j  a z k , b  bx i  b y j  bz k , и
опираясь на установленную возможность почленного скалярного перемножения векторных многочленов, получим после использования
формул (4.16)
(4.17)
a  b  a x bx  a y by  a z bz .
Таким образом, скалярное произведение двух векторов, заданных в координатной форме в одном ортонормированном базисе, равно сумме
попарных произведений одноимённых координат этих векторов.
Рассмотрим важные следствия, вытекающие из полученных выше
формул.
1. Согласно равенствам (4.13) и (4.17) длина (модуль) произвольного вектора а ( а x ; а y ; а z ) выражается через его координаты по формуле
a  a x2  a 2y  a z2 .
2. Косинус
угла
(4.18)

между
векторами
а ( аx ; а y ; аz )
и
b ( bx ; b y ; bz ), как следует из равенств (4.12), (4.17) и (4.18), выражается через координаты этих векторов по формуле
cos 
a b

|a| |b|
a x bx  a y by  a z bz
a x2  a 2y  a z2 bx2  by2  bz2
51
.
(4.19)
3. Необходимым и достаточным условием ортогональности (перпендикулярности) векторов а ( а x ; а y ; а z ) и b ( bx ; b y ; bz ) является
равенство
a x bx  a y b y  a z bz  0.
(4.20)
Действительно, если векторы а и b перпендикулярны, то в формуле
(4.19) имеем cos   0 и, следовательно, выполняется равенство (4.20).
Наоборот, если равенство (4.20) выполняется, то cos   0 , т. е. векторы а и b перпендикулярны.
4. Обозначим буквами α, , 
углы наклона вектора
а ( а x ; а y ; а z ) к осям Оx, Оy и Оz соответственно, направления которых определяются векторами (ортами) i (1, 0, 0), j (0, 1, 0),k (0, 0, 1).
Три числа cos α, cos β и cos γ принято называть направляющими косинусами вектора а , так как они аналитически задают направление вектора а в пространстве.
Согласно формулам (4.10) и (4.15) имеем
a x  пр x a  a  i , a y  пр y a  a  j ,
a z  пр z a  a  k .
(4.21)
Из формулы (4.19) вытекают теперь следующие выражения для
направляющих косинусов вектора а через координаты этого вектора:
cos α 
cos γ 
ax
a a a
2
x
2
y
2
z
az
a x2  a 2y  a z2
, cos β 
ay
a  a 2y  a z2
2
x
,
(4.22)
.
Так как вектор а однозначно определяется заданием трёх его координат a x , a y и a z , то из формул (4.22) ясно, что вектор а однозначно определяется заданием его длины и трёх направляющих косинусов.
Возвышая в квадрат и складывая почленно равенства (4.22), получим, что
cos2 α  cos2  cos2   1,
(4.23)
т. е. сумма квадратов направляющих косинусов любого вектора равна
единице.
52
Отсюда следует, что вектор
a 1  cos   i  cos   j  cos   k ,
(4.24)
полученный из вектора а делением его на число | а | , является единичным вектором, соответствующим вектору а ; его длина равна единице, а направление совпадает с направлением вектора а .
Заметим, что всё изложенное выше остаётся справедливым и в
двумерном случае – для плоскости. Достаточно сохранить лишь два
орта i и j и две координаты a x и a y , либо просто считать, что у
всех векторов на плоскости Оxy третья координата a z  0 .
4.6. Векторное произведение двух векторов
В отличие от скалярного, векторное произведение двух векторов
есть вектор. К необходимости рассматривать такую операцию приводят некоторые требования геометрического и физического характера.
О п р е д е л е н и е. Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор c , который определяется тремя условиями:
1) длина вектора c выражается формулой | c | | a | | b |sin  , где
 – угол между векторами а и b ;
2) вектор c перпендикулярен каждому из векторов а и b , т. е.
c  a и c  b;
3) направление вектора c
таково, что если смотреть с конца вектора c , то поворот от а
c ab
b

к b на угол  совершается против часовой стрелки (рис. 39).
Будем обозначать векторное произведение векторов а и
S
a
Рис. 39
b косым крестом, т. е.
c  a  b.
(4.25)
Из других обозначений наиболее употребительны [ a b ] и [ a , b ]. Заметим, что приведённые три условия определяют векторное произведе53
ние, если сомножители – ненулевые векторы. В противном случае векторное произведение по определению есть нулевой вектор.
Наиболее часто используемое геометрическое свойство векторного произведения c  a  b состоит в том, что его длина | c | | a  b |
численно равна площади S  | a | | b |sin  параллелограмма, построенного на векторах а и b (рис. 39):
(4.26)
S  | a | | b | sin   | a  b | .
Отсюда для треугольника, двумя сторонами которого служат векторы
а и b , получаем формулу для площади
1
(4.27)
S 
ab .
2
Второе важное геометрическое приложение – построение вектора
c , перпендикулярного двум данным векторам а и b , или, что то же
самое, построение вектора c , перпендикулярного плоскости, параллельной двум данным векторам а и b .
Если же векторы а и b коллинеарны, то sin   0 . Следовательно, | a  b |  | a | | b |sin   0 , т. е. длина вектора a  b равна нулю
и условие a || b в краткой форме можно записать в виде векторного
равенства
ab  0 .
(4.28)
В частности всегда a  a  0. Напротив, если a  b , то | a  b | 
| a | | b | . Отсюда ясно наименование всей операции умножением.
Понятие векторного произведения
имеет свой источM  r F
ник в механике. Как известно из механики, момент отноF сительно начала координат О
силы F , приложенной к ма
териальной точке P, харак0
P
r
теризуемой радиусом-вектоРис. 40
ром r , есть вектор M ,
приложенный к точке О
(рис. 40), равный по величине площади параллелограмма, построенного на векторах r и F , и направленный по перпендикуляру к этой пло54
щади так, что если смотреть с его конца, то поворот точки P вокруг начала О происходит против часовой стрелки.
Из определения векторного произведения следует, что момент M
представляет собой векторное произведение вектора r на вектор F :
(4.29)
M  r  F.
Рассмотрим теперь основные алгебраические свойства векторного произведения.
1. a  b  b  a (антиперестановочное свойство).
Действительно, из определения векторного произведения следует,
что векторы a  b и b  a имеют одинаковую длину, коллинеарны, но
ab и
b  a являются противоположными и, следовательно, a  b  b  a .
направлены в противоположные стороны. Поэтому векторы

  
 
2.  a  b   a  b  a   b
(сочетательное свойство относительно числового множителя).
Доказательство этого свойства непосредственно следует из определения векторного произведения. Проведём его для случая   0 .
Имеем
 
 a   b
 ab  
ab   a


Вектор  a b
a

b sin  ;
b sin    a
b sin  .
перпендикулярен векторам а и b . Вектор
  a b также перпендикулярен векторам а
и b , так как векторы а
и b ,  а и b лежат в одной плоскости. Следовательно, векторы
 
 ab
и
 a   b
коллинеарны. Очевидно, что направления их
  

также совпадают. Поэтому  a  b =  a  b . Подобным же образом проводится доказательство и для случая   0 .


3. a  b  c  a  c  b  c (распределительное свойство относительно суммы векторов).
Доказательство этого свойства векторного произведения приводится в следующем п. 4.7.
Свойства 1 – 3 позволяют при векторном перемножении векторных многочленов выполнять действия по обычным правилам алгебраических преобразований, но без перестановки между собой умножаемых векторов. Если же такая перестановка совершается, то надо, со55
k
π/2
π/2
j
i
π/2
Рис. 41
гласно свойству 1, просто поменять знак
перед произведением.
На практике векторы обычно задаются своими координатами в ортонормированном базисе i, j,k. Поэтому необходимо получить выражение для векторного произведения в координатной форме.
Прежде всего, составим векторные
произведения ортов (рис. 41). Из определения векторного произведения имеем:
i  i  0,
i  j  k,
i  k   j,
j  i  k ,
j  j  0,
j  k 
i,
k  i  j,
k  j  i ,
k  k 
0.
Далее,
принимая
во
внимание,
(4.30)
a  ax i  a y j  az k ,
что
b  bx i  b y j  bz k , и опираясь на установленную выше возможность
почленного векторного перемножения векторных многочленов, получим

 

a  b  a x i  a y j  a z k  bx i  b y j  bz k 
 a x bx i  i  a x b y i  j  a x bz i  k 
 a y bx j  i  a y b y j  j  a y bz j  k 
 a z bx k  i  a z b y k  j  a z bz k  k .
Из последнего равенства и соотношений (4.30) вытекает следующее
разложение вектора a  b по базису i, j, k:




a  b  a y bz  a z b y i  a x bz  a z bx  j  a x b y  a y bx k .
(4.31)
Найденная нами формула для векторного произведения достаточно громоздка. Для её более наглядной записи употребляются определители второго и третьего порядков. Рассмотрим четыре числа а1, а2,
b1, b2. Определителем второго порядка называется число a1b2  a2b1 ,
записанное в форме
a1 a 2
b1
b2
 a1b2  a 2 b1 .
(4.32)
56
Поэтому
a b 
ay
az
by
bz
i 
ax
az
bx
bz
j 
ax
ay
bx
by
k.
(4.33)
Аналогично, определителем третьего порядка называется число,
составленное из данных девяти чисел и записанное в форме
c1 c2 c3
a1 a 2 a3 
b1 b2 b3
a 2 a3
b2 b3
c1 
a1 a3
b1 b3
c2 
a1 a 2
b1 b2
c3 .
(4.34)
Равенство (4.33) можно окончательно записать теперь в виде символического ''определителя'' третьего порядка
i
j
a  b  ax a y
bx b y
k
az ,
(4.35)
bz
который даёт выражение векторного произведения в координатной
форме.
Более подробные сведения об определителях и их свойствах будут
изложены в следующем разделе.
4.7. Смешанное произведение трёх векторов
Перейдём к вопросу о перемножении трёх векторов а , b и c . В
силу двойственности понятия умножения, из векторов а , b и c
можно составить несколько произведений разного рода. Чтобы составить из а , b , c произведение, мы должны сначала перемножить два
вектора, а потом полученный результат помножить на третий вектор.
Если мы перемножим первые два вектора, например а и b , скалярно, то произведение будет скаляром а  b , который нужно затем
 a  b  c , коллинеарный с вектором c . Такого же типа будут произведения  a  c b
и b  c  a .
умножить на вектор c , в результате получится вектор
57
Пусть а умножается на b векторно. Если вектор c умножить на
полученное произведение а  b скалярно, то получится скалярная ве-


личина a  b  c , которая может быть названа векторно-скалярным
произведением трёх векторов.
О п р е д е л е н и е. Смешанным произведением трёх векторов
а , b , c называется число, равное скалярному произведению вектора
а  b на вектор c , т. е. равное векторно-скалярному произведе-
 
нию a  b  c .
Выясним сначала геометрический смысл смешанного произведения. Применим для этого формулу (4.14), по которой скалярное произведение двух векторов, например d и c , равно длине одного вектора,
умноженной на проекцию на него другого вектора:
d  c  d пр d c .
(4.36)
Отложим данные векторы а , b , c от общего начала и построим
на этих векторах, как на рёбрах, параллелепипед (предполагая, что векторы не лежат в одной плоскости). Построим также вектор d  а  b ,
модуль которого равен площади S параллелограмма, построенного на
векторах а и b , как на сторонах (рис. 42).
d
c
h

b
S
a
Рис. 42
Направление вектора d есть направление перпендикуляра к грани
параллелепипеда с рёбрами а и b , поэтому проекция вектора c на
это направление равна высоте h параллелепипеда, взятой со знаком
плюс, если угол  между векторами c и d острый, и со знаком минус,
если угол  тупой:
58

,
2
(4.37)

пр d c   h  c cos  ,
 .
2
Так как произведение площади S грани с рёбрами а и b на высоту h, опущенную на эту грань, равно объёму параллелепипеда V, то
получаем окончательно
пр d c  h  c cos  ,

 a  b   c   Sh   V ,
V  ab c .


(4.38)
Таким образом, смешанное произведение трёх векторов с точностью до знака равно объёму параллелепипеда, построенного на этих
векторах, как на рёбрах.
Отсюда объём пирамиды, построенной на векторах а , b , c , как
на рёбрах, равен
1 1
1
(4.39)
Vпир   Sh 
ab c .
3 2
6
Из формул (4.38) следует, что абсолютная величина смешанного
произведения, равная объёму параллелепипеда, останется та же, в каком бы порядке мы ни брали сомножители. На рис. 42 векторы
а , b , c расположены так, что они следуют один за другим против часовой стрелки, если смотреть во внутреннюю часть трехгранного угла.
Порядок следования векторов не нарушится, если начать обход с вектора b или c , лишь бы он совершался в том же направлении, т. е.


против часовой стрелки. Множители а , b , c в смешанном произве-


дении a  b  c при этом обходе переставляются в круговом порядке,
а знак смешанного произведения не меняется. Отсюда вытекают следующие свойства смешанного произведения.
1. При циклической перестановке векторов (замена а на b ,
b на c , c на а ) смешанное произведение не меняется:
 a  b   c  b  c   a   c  a   b .
2. Перестановка двух соседних сомножителей меняет знак произведения на противоположный, так как это равносильно перестановке
сомножителей в векторном произведении:
 a  b   c   b  a   c    a  c   b    c  b   a .
59
3. Если два из трех данных векторов равны или коллинеарны, то
смешанное произведение равно нулю.
Согласно свойству 1 a  b  c  a  b  c , т. е. безразлично какую пару векторов перемножать векторно. Это позволяет ввести для
смешанного произведения обозначение без знаков умножения: а b c .




В этих обозначениях свойства 1 и 2 можно записать следующим образом:
(4.40)
a b c  b c a  c a b  b a c   a c b  c b a .
С помощью смешанного произведения можно записать условие
компланарности векторов. Векторы называются компланарными, если
они лежат в одной или в параллельных плоскостях. Очевидно, что для
трех компланарных векторов объем построенного на них параллелепипеда равен нулю.
Следовательно, если а , b и c – компланарны, то
a b c0,
(4.41)
и наоборот. В случае компланарности между векторами а , b и c
существует линейная зависимость вида с  ma  nb , где m и n –
некоторые однозначно определяемые числа.
Покажем, что если векторы а ( а x ; а y ; а z ), b ( bx ; b y ; bz ) и
c ( c x ; c y ; c z ) заданы своими координатами в ортонормированном базисе i, j,k, то смешанное произведение а b c равняется определителю, строки которого соответственно равны координатам перемножаемых векторов, т. е.
ax a y az
a b c  b x b y bz .
(4.42)
cx c y cz


Действительно, по определению имеем a b c  a  b  c . Но по
формулам (4.35) и (4.33)
i
j
k
b  c  bx b y bz 
cx c y
cz
b y bz
cy
cz
i
bx b z
cx
cz
Следовательно, по формуле (4.17) получим
60
j
bx b y
cx
cy
k.
(4.43)

 

a b c  a bc  bc a 
 b y bz
bx b y 
bx bz

i
j
k   ax i  a y j  az k 
 c y cz
cx cz
c x c y 



by
bz
cy
cz
ax 
bx bz
cx
cz
ay 
bx b y
cx
cy

az 
ax a y
az
bx b y
bz .
cx c y
cz
Тем самым формула (4.42) доказана. Отсюда необходимое и достаточное условие компланарности трех векторов (4.41) в координатной
форме принимает вид:
ax a y az
bx b y bz
 0.
(4.44)
cx c y cz
Пользуясь свойствами (4.40) смешанного произведения и распределительным свойством скалярного произведения, докажем теперь
распределительное относительно суммы векторов свойство векторного
произведения.
Прежде всего заметим, что если векторы а и b таковы, что при
всяком векторе d имеем a  d  b  d , то а  b .
В самом деле, из равенства a  d  b  d следует a  d  b  d  0 или,
в силу распределительного свойства скалярного произведения,
a b d  0.
 
Взяв d  a  b , согласно формуле (4.13) получим
a  b   a  b   a  b 
2
 ab
2
 0,
но квадрат длины вектора равен нулю только тогда, когда вектор нулевой. Следовательно, a  b  0 и а  b .
В силу сделанного замечания для доказательства распределительного свойства векторного произведения
 a  b  c  a  c  b  c
достаточно лишь проверить, что для любого вектора d выполняется
равенство
  a  b  c  d   a  c  b  c  d .
61
Имеем:
  a  b  c  d   a  b   c  d   a   c  d   b   c  d  
  a  c  d   b  c  d   a  c  b  c  d ,
что и требовалось доказать.
4.8. Двойное векторное произведение трёх векторов.
Размерность операций над векторами
Пусть вектор b умножается на вектор c векторно: b  c . Если
вектор а умножить на полученное произведение тоже векторно, то
получится вектор a  b  c , который называется двойным векторным
 
произведением векторов а , b и c . Такого рода векторы находят свое
применение в физике.
Вектор a  b  c , с одной стороны, перпендикулярен а , с другой
 
стороны, будучи перпендикулярным к b  c , т. е. к перпендикуляру к
плоскости, определяемой векторами b и c , он должен быть компла-
 
нарен векторам b и c . Итак, вектор a  b  c направлен по линии
пересечения плоскости, перпендикулярной к а , с плоскостью, компланарной векторам b и c .
 
Вектор a  b  c , компланарный векторам b и c , можно разложить по этим векторам, так что
(4.45)
a bc bm  c n,
где m и n – подлежащие определению числа. Векторное равенство
(4.45) равносильно трем скалярным равенствам, выражающим равенство координат:


a  b  c   b m  c
x
x
a  b  c   b
z
z
x
n,
a  b  c 
y
 by m  c y n,
m  cz n .
Используя формулы (4.32), (4.33), (4.35) и (4.43), найдем:
ay
az
a  b  c x
 a y b  c z  az b  c y 
bc y bc z
 


 





 a y  bx c y  b y c x   a z  bz c x  bx c z   bx  a y c y  a z c z   c x  a y b y  a z bz  .
62
Прибавим и вычтем по a x bx c x , тогда получим
a  b  c 
x
 bx  ax cx  a y c y  az cz   cx  axbx  a y by  az bz  =




 bx a  c  cx a  b .
Так как совершенно аналогичные формулы получаются для двух
других координат
 a  b  c  
y
a   b  c  
и
z
,
то имеем
право написать окончательное векторное равенство
a bc b ac c ab .

 
 

(4.46)
При циклической перестановке векторов а , b , c формула (4.46)
приводит к трем разным векторам:
 b  c   b  a  c  c  a  b ,
b   c  a   c  b  a  a  b  с ,
c   a  b   a  c  b  b  c  a .
a 
Складывая эти три равенства вместе, получаем тождество:

a bc
  b   c  a   c   a  b   0.
(4.47)
Важное применение формулы (4.46) состоит в выводе разложения данного вектора b на две составляющие, из которых одна параллельна, а другая перпендикулярна к заданному вектору а .
А именно, положив в формуле (4.46) с  a , найдем

 



a ba b aa a ab b
a
2


 a ab .
Решаем это уравнение относительно b :
b 
ab
2
a
a 
1
2


a ba .
(4.48)
a
Первый из слагаемых векторов правой части, очевидно, параллелен а , а второй перпендикулярен.
Формула (4.48) упрощается, если а будет единичный вектор:
b 
 a  b  a  a   b  a ,
a
 1.
(4.49)
Разобранные случаи произведений трех векторов играют большую роль в векторной алгебре. Произведения четырех и большего
числа векторов могут быть сведены к уже рассмотренным низшим
63
произведениям.
В приложениях математики часто рассматриваются величины,
изображаемые векторами: силы, скорости, моменты сил и т.д. Векторам, изображающим такие величины, приписывается размерность.
С формальной точки зрения размерность – это одночлен, составленный из какого-то набора символов. Такие одночлены перемножаются и делятся по обычным правилам действий над одночленами.
Имеют место следующие правила действий с размерностями:
1. Складывать векторные величины можно только в том случае,
когда их размерности совпадают. При этом размерность суммы та же,
что и у слагаемых.
2. При умножении векторной величины на скалярную их размерности перемножаются.
3. Модуль векторной величины имеет ту же размерность, что и
сама величина.
4. Скалярное и векторное произведение имеют размерность, равную произведению размерностей сомножителей. Это легко следует из
их определений и предыдущих правил.
64
ГЛАВА 5 . ПОВЕРХНОСТИ И ЛИНИИ В ПРОСТРАНСТВЕ
5.1. Уравнение поверхности и уравнения линии в
пространстве
1. У р а в н е н и я с т р е м я п е р е м е н н ы м и. Пусть х, у
и z – три произвольные переменные величины. Соотношение вида
F(x; y; z) = 0,
(5.1)
где F(x; y; z) означает какое-нибудь выражение, содержащее x, y и z,
будем называть уравнением с тремя переменными, если F(x; y; z) = 0
есть равенство, верное не для всяких троек чисел x, y и z. В противном
случае соотношение (5.1) называют тождеством.
Если выражение F (x; y; z) есть сумма конечного числа слагаемых
вида Axkylzm, где k, l, m – целые неотрицательные числа, а A – действительное число, то уравнение (5.1) называется алгебраическим уравнением, а большее из чисел (k + l + m) называется его степенью.
Алгебраическое уравнение первой степени с тремя переменными
имеет вид:
Ax + By + Cz + D = 0,
(5.2)
где A, B, C, D – некоторые числа, называемые коэффициентами
уравнения. Алгебраическое уравнение второй степени с тремя переменными запишется в виде:
Ax2 + By2 + Cz2 + Dxy + Exz + Hyz + Kx+Ly+Мz+N = 0
(5.3)
и т.д.
2. П о в е р х н о с т ь и ее у р а в н е н и е. В аналитической
геометрии поверхность рассматривается как геометрическое место точек, ее составляющих.
Предположим, что в пространстве введена декартова прямоугольная система координат Oxyz и задана некоторая поверхность S. Пусть
М – произвольная точка этой поверхности. Положение точки М должно
подчиняться определенному условию, характеризующему данное геометрическое место точек (данную поверхность). Так как положение
точки М в пространстве определяется ее координатами x, y и z , то
условие, которому должно удовлетворять положение точки М, сводится к условию, которому должны удовлетворять ее координаты, т. е.
сводится к некоторому уравнению вида (5.1).
О п р е д е л е н и е. Уравнение (5.1) называется уравнением поверхности S (относительно заданной системы координат), если этому
уравнению удовлетворяют координаты x, y, z любой точки, лежащей на
поверхности S, и не удовлетворяют координаты x, y, z ни одной точки,
не лежащей на поверхности S.
65
С точки зрения этого определения сама поверхность S представляет собой (в заданной системе координат) геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (5.1).
Если рассматриваемое уравнение (5.1) является уравнением поверхности S, то говорят, что это уравнение определяет поверхность S.
Иногда говорят короче: дана поверхность F(x ; y; z) = 0.
В аналитической геометрии изучаются поверхности, имеющие в
декартовой системе координат алгебраические уравнения первой степени (5.2) и второй степени (5.3).Их называют алгебраическими поверхностями соответственно первого и второго порядков. Всякая неалгебраическая поверхность называется трансцендентной.
3 . У р а в н е н и я л и н и и в п р о с т р а н с т в е. Линию в
пространстве естественно рассматривать как пересечение двух поверхностей, т. е. как геометрическое место точек, находящихся одновременно на двух поверхностях.
Пусть F1(x; y; z) = 0 и F2(x; y; z) = 0 – уравнения поверхностей, пересекающихся по данной линии L. Тогда координаты каждой точки
линии L удовлетворяют обоим уравнениям.
Таким образом, два уравнения, записанные в форме системы
 F1 x; y; z   0 ,
(5.4)

 F2 x; y; z   0 ,
совместно определяют линию L, т. е. являются уравнениями этой
линии.
Разумеется, данную линию L можно представить системой двух
уравнений с тремя переменными бесчисленным множеством способов:
вместо данных двух поверхностей можно взять любую пару поверхностей, пересекающихся по той же линии L. Аналитически это означает,
что вместо системы (5.4) можно взять любую эквивалентную систему.
Пространственная линия называется алгебраической, если она
может быть определена как пересечение двух алгебраических поверхностей. Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной.
4. П а р а м е т р и ч е с к и е у р а в н е н и я л и н и и и
п о в е р х н о с т и в п р о с т р а н с т в е. Возможен и очень естествен с кинематической точки зрения и другой подход к понятию линии в пространстве, основанный на рассмотрении этой линии, как пути, пройденного материальной точкой, непрерывно движущейся по
определенному закону.
Этот подход приводит к параметрическому представлению линии
в пространстве, заключающемуся в том, что координаты x, y, z любой
точки данной линии L задаются как непрерывные функции некоторого
параметра t (представляющего собой время):
66
(5.5)
x    t ,
y    t ,
z    t ,
определенные и непрерывные в некотором промежутке изменения параметра t. Конечно, этот способ определения линии в пространстве эквивалентен определению ее в виде пересечения двух поверхностей.
Для параметрического задания поверхности координаты любой
точки этой поверхности должны быть заданы как функции не одного,
а двух параметров  и :
(5.6)
x   ;,
y   ;,
z   ;,
что равносильно определению той же поверхности уравнением с тремя
переменными (5.1).
5.2. Различные виды уравнения плоскости
1. У р а в н е н и е п л о с к о с т и, п р о х о д я щ е й ч е р е з
д а н н у ю т о ч к у п е р п е н д и к у л я р н о д а н н о м у в е к т о р у.
С в я з к а п л о с к о с т е й. Пусть дана точка M0(x0; y0; z0) и ненулевой
вектор n (А; В; С). Составим уравнение плоскости, проходящей через
точку М0 перпендикулярно вектору n , который называется нормальным вектором этой плоскости.
Рассмотрим произвольную точку M(x; y; z) этой плоскости. Так
как вектор M 0 M (x - x0; y - y0; z - z0) лежит в плоскости, то он перпендикулярен вектору n (рис. 43).
Следовательно, их скалярное произведение равно нулю:
n  M 0 M  0 . Это равенство, записанное в координатной форме






A x  x0  B y  y 0  C z  z 0  0 ,
(5.7)
называется уравнением плоскости, проходящей через данную точку
перпендикулярно данному вектору. Оно имеет первую степень относительно координат x, y и z.
z
Таким образом, мы показали, что всякой плоскости
М
n
соответствует уравнение
первой степени с тремя переменными x, y и z.
М0
Придавая коэффициентам
А,
В и С уравнения (5.7)
у
0
различные значения, мы можем получить уравнение люx
Рис. 43
бой плоскости, проходящей
через точку М0 ( х0; у0; z0 ).
67
Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку
М0(х0; у0; z0), называется связкой плоскостей (с центром в М0). Уравнение (5.7), в котором коэффициенты А, В и С могут принимать
любые значения, не равные одновременно нулю, называется уравнением связки плоскостей.
2. О б щ е е у р а в н е н и е п л о с к о с т и. Введя обозначение
D   Ax0  By0  Cz 0 , уравнение(5.7) можно переписать в виде


Ax  By  Cz  D  0 .
(5.8)
Пусть в уравнении (5.8) по крайней мере один из коэффициентов
A, B или C не равен нулю, так как иначе мы имели бы не уравнение, а
тождество D  0 . Предположим для определенности, что C  0 . Тогда уравнение (5.8) можно переписать следующим образом:
D

A x  0   B  y  0   C  z 
(5.9)
  0.
C 

Уравнение (5.9) равносильно уравнению (5.8). Сравнивая уравнение
(5.9) с уравнением (5.7), видим, что оно, а следовательно и равносильное ему уравнение (5.8), является уравнением плоскости, проходящей
D

через точку M 0  0; 0;   и перпендикулярной вектору n  A; B; C  .
C

Итак, всякое уравнение первой степени с тремя переменными
x, y и z вида (5.8) определяет плоскость.
Уравнение (5.8) называется общим уравнением плоскости.
3. Н е п о л н ы е у р а в н е н и я п л о с к о с т и.
О п р е д е л е н и е. Общее уравнение (5.8) называется полным,
если все коэффициенты его A, B, C, D отличны от нуля. Если хотя бы
один из указанных коэффициентов равен нулю, то уравнение (5.8)
называется неполным.
Рассмотрим возможные виды неполных уравнений.
1) D = 0; уравнение Ax  By  Cz  0 определяет плоскость,
проходящую через начало координат (поскольку координаты
x  0 , y  0 , z  0 начала О удовлетворяют этому уравнению).
2) A = 0; уравнение By  Cz  D  0 определяет плоскость,
параллельную оси Ox (поскольку нормальный вектор этой плоскости
n  0; B; C  перпендикулярен оси Ox).
Аналогично уравнение Ax  Cz  D  0  B  0  определяет
плоскость, параллельную оси Oy , а уравнение Ax  By  D  0
 C  0  – плоскость, параллельную оси Oz.
68
3) A  0 , B  0 ; уравнение Cz  D  0 определяет плоскость,
параллельную координатной плоскости Oxy (ибо эта плоскость параллельна осям Ox и Oy).
Аналогично уравнение By  D  0 ( A  0 , C  0 ) определяет
плоскость, параллельную координатной плоскости Oxz, а уравнение
Ax  D  0 ( B  0 , C  0 ) – плоскость, параллельную координатной плоскости Oyz.
4) A  0 , B  0 , D  0 ; уравнение Cz  0 , или z  0 , определяет координатную плоскость Oxy (так как плоскость z  0 параллельна координатной плоскости Oxy и проходит через начало координат).
Аналогично уравнение y  0 ( A  0 , C  0 , D  0 ) определяет
координатную плоскость Oхz, а уравнение x  0 ( B  0 , C  0 ,
D  0 ) – координатную плоскость Oyz.
4. У р а в н е н и е п л о с к о с т и в о т р е з к а х н а о с я х.
Рассмотрим полное уравнение (5.8). Так как в таком уравнении ни
один из коэффициентов A, B, C, D не равен нулю, то его можно переписать в виде
x
y
z


 1.
D
D
D



A
B
C
Полагая для краткости
D
D
D

 a,

 b,

 c,
A
B
C
получаем:
x
y
z


 1.
(5.10)
a
b
c
Уравнение (5.10) называется уравнением плоскости в отрезках на
осях, так как знаменатели
z
a, b, c есть величины отрезков, которые отсекает плоскость на осях Ox, Oy и Oz соc
ответственно (отрезки отсчитываются от начала коордиb
нат, см. рис. 44). В самом деу
a 0
ле, точка пересечения плоскости с осью Ox определяется из уравнения этой плоскоx
Рис. 44
сти (5.10) при дополнитель69
ном условии y  0 , z  0 . Отсюда находим x  a , и, таким образом,
величина отрезка, отсекаемого плоскостью (5.10) на оси Ox, равна a.
Аналогично устанавливается, что отрезки, отсекаемые плоскостью
(5.10) на осях Oy и Oz, имеют величины, равные соответственно b и c.
5. У р а в н е н и е п л о с к о с т и, п р о х о д я щ е й ч е р е з
т р и р а з л и ч н ы е т о ч к и, н е л е ж а щ и е н а о д н о й
п р я м о й. Пусть искомая плоскость проходит через три различные точки М1 ( х1; у1; z1 ), М2 ( х2; у2; z2 ) и М3 ( х3; у3; z3 ), не лежащие на одной прямой. Тогда векторы M1M 2  x2  x1 ; y 2  y1 ; z 2  z1 
и M 1M 3  x3  x1 ; y3  y1 ; z 3  z1  не коллинеарны, а поэтому произвольная точка M ( x; y; z ) лежит в одной плоскости с точками М1,
М2 и М3 тогда и только тогда, когда векторы M1M 2 , M 1M 3 и

M1M x  x1 ; y  y1 ; z  z1

компланарны, т. е. тогда и только тогда,
когда смешанное произведение этих трех векторов равно нулю.
Используя выражение смешанного произведения трех векторов
в координатной форме, получим уравнение искомой плоскости в
виде определителя
x  x1
x 2  x1
x3  x1
y  y1
y 2  y1
y 3  y1
z  z1
z 2  z1
 0.
(5.11)
z 3  z1
5.3. Взаимное расположение двух плоскостей
Пусть уравнения двух данных плоскостей P1 и Р2 будут соответственно
(5.12)
A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 .
A1x  B1 y  C1z  D1  0 ,
Условие параллельности плоскостей (5.12) совпадает с условием
n1  A1 ; B1 ; C1 
коллинеарности их нормальных векторов
и
n 2  A2 ; B2 ; C2  . Следовательно, оно имеет вид:
A1
B
C
(5.13)
 1  1 .
A2
B2
C2
Если же уравнения (5.12) определяют одну и ту же плоскость, то
A1  A2t ,
B1  B2t ,
C1  C2t ,
(5.14)
где t – произвольное число, не равное нулю. Умножая второе из заданных уравнений (5.12) на t и вычитая его из первого уравнения, по70
лучаем с учетом равенств (5.14), что D1  D 2 t  0 , т. е. D1  D 2 t .
Следовательно, условие совпадения плоскостей (5.12) выражается равенствами
A1
B
C
D
 1  1  1 .
(5.15)
A2
B2
C2
D2
Пусть теперь плоскости P1 и P2 не параллельны и не совпадают.
Тогда при любом расположении плоскостей (5.12) угол  между ними равен углу между их нормалями (рис. 45). Поэтому
A1 A2  B1 B2  C1C2
(5.16)
cos   
.
2
A1  B12  C12 A22  B22  C22
Двойной знак здесь поставлен потому, что мы не
закрепляем
направления
P2
нормальных векторов, а перемена одного из этих
n1
направлений заменяет угол
 на угол π –  и тем са

n2
мым меняет знак косинуса.
P1
Если плоскости P1 и P2
взаимно перпендикулярны,
то их нормальные векторы
Рис. 45
n1 и n 2 также перпендику-

), и наоборот. Поэтому из формулы (5.16) непо2
средственно получаем условие перпендикулярности плоскостей P1 и P2:
лярны друг другу (  
A1 A2  B1B2  C1C2  0 .
(5.17)
5.4. Расстояние от точки до плоскости
Найдем расстояние d от точки М0(х0; у0; z0) до плоскости P
(рис. 46), заданной общим уравнением
Ax  By  Cz  D  0 .
(5.18)
Пусть М1(х1; у1; z1) есть проекция точки M0 на плоскость P. Введем вектор M1M 0  x0  x1 ; y0  y1 ; z0  z1  , тогда
71
М0
n
d
P
М1
Рис. 46
d  M 1M 0

 пр n M 1 M 0

n  M 1M 0
|n|
A  x0  x1   B  y 0  y1   C  z 0  z1
A2  B 2  C 2


(5.19)
.
Координаты x1 , y1 , z1 точки M1 должны удовлетворять уравнению плоскости (5.18), отсюда  Ax1  By1  Cz1  D . Следовательно,
формула (5.19) принимает вид
Ax 0  By 0  Cz 0  D
d 
.
A2  B 2  C 2
(5.20)
5.5. Прямая линия в пространстве
1. О б щ и е у р а в н е н и я п р я м о й. Рассмотрим систему
двух уравнений первой степени
 A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 ,

 A2 x  B2 y  C2 z  D2  0 .
(5.21)
Каждое из уравнений этой системы является уравнением плоскости.
Если эти плоскости не параллельны (т. е. их нормальные векторы не
коллинеарны), то система (5.21) определяет прямую как линию пересечения двух плоскостей.
Уравнения (5.21) называют общими уравнениями прямой.
2. К а н о н и ч е с к и е у р а в н е н и я п р я м о й. Для решения задач уравнения (5.21) не всегда удобны, поэтому используют
специальный вид уравнений прямой.
72
Положение прямой будет вполне определено, если
заданы лежащая на ней точка
M1
М1 ( х1; у1; z1 ) и ненулевой вектор a  l ; m ; n  , коллинеарa
ный данной прямой и поэтому называемый направляюРис. 47
щим вектором этой прямой
(рис. 47).
Произвольная точка M(x; y; z) лежит на прямой L только в том
случае, если векторы M 1M  x  x1 ; y  y1 ; z  z1  и a  l ; m ; n  коллинеарны, т. е. когда координаты этих векторов пропорциональны:
x  x1
y  y1
z  z1
(5.22)


.
l
m
n
Уравнения (5.22) определяют прямую, проходящую через заданную точку М1(х1; у1; z1) и коллинеарную вектору a  l ; m ; n  . Эти уравнения принято называть каноническими уравнениями прямой.
Числа l, m и n, называемые направляющими коэффициентами
прямой, являются проекциями направляющего вектора на координатные оси. Так как вектор a – ненулевой, то все три числа l, m и n не
могут одновременно равняться нулю. Но одно или два из них могут
оказаться равными нулю.
В частном случае, когда направляющий вектор a – единичный,
т. е.
a  cos  i  cos  j  cos  k
[см. формулу (4.24)], уравнения (5.22) имеют следующий вид:
x  x1
y  y1
z  z1
(5.23)


.
cos 
cos 
cos 
Направляющими коэффициентами здесь являются направляющие косинусы вектора a .
Уравнения (5.22) равносильны системе двух уравнений первой
степени вида (5.21), например:
 x  x1
y  y1

,

 l
m
(5.24)

z  z1
 x  x1

.
 l
n

М
L
73
В первом уравнении системы (5.24) отсутствует координата z.
Следовательно, нормальный вектор этой плоскости перпендикулярен
оси Oz (его проекция на ось Oz равна нулю). Таким образом, это уравнение определяет плосz
кость P, параллельную оси
Oz (рис. 48) и проектируL
P
ющую прямую L на координатную плоскость Oxy.
Q
Точно так же второе уравнение
системы
(5.24)
определяет плоскость Q,
у
0
которая проектирует прямую L на координатную
x
Рис. 48
плоскость Oxz. Вместо системы (5.24) можно рассматривать систему
 x  x1
y  y1

,

 l
m
(5.25)

z  z1
 y  y1


n
 m
или систему
 x  x1
z  z1

,

 l
n
(5.26)

z  z1
 y  y1

,

n
 m
каждая из которых определяет ту же прямую L.
В заключение укажем, как общие уравнения прямой (5.21)
привести к каноническим уравнениям (5.22). Для этого достаточно
найти: 1) хотя бы одну точку М1(х1; у1; z1), координаты которой
удовлетворяют системе (5.21); 2) направляющий вектор a  l ; m ; n  , в
качестве которого можно взять векторное произведение a  n 1  n 2 ,
где n 1  A1 ; B1 ; C1  , n 2  A2 ; B2 ; C2  .
3. У р а в н е н и я п р я м о й, п р о х о д я щ е й ч е р е з д в е
р а з л и ч н ы е т о ч к и М1(х1; у1; z1) и М2(х2; у2; z2) . Эти уравнения
имеют вид :
x  x1
y  y1
z  z1
(5.27)


.
x 2  x1
y 2  y1
z 2  z1
74
Для получения их достаточно заметить, что прямая проходит
через точку М1(х1; у1; z1) и имеет направляющий вектор
a  M 1M 2  x2  x1 ; y2  y1 ; z 2  z1  , и воспользоваться каноническими уравнениями (5.22).
4. П а р а м е т р и ч е с к и е у р а в н е н и я п р я м о й. Параметрические уравнения прямой в пространстве получаются из канонических уравнений (5.22) этой прямой. Примем за параметр t каждое из
отношений (5.22). Тогда
x  x1
l

y  y1
m
Так как хотя бы
соответствующий
ния, то областью
– ∞ < t < + ∞ . Из

z  z1
n
 t.
(5.28)
один из знаменателей (5.28) отличен от нуля, а
числитель может принимать какие угодно значеизменения параметра t является вся числовая ось:
равенств (5.28) находим
 x  x1  lt ,

 y  y1  mt ,

 z  z1  nt .
(5.29)
Уравнения (5.29) и есть параметрические уравнения прямой. Если
принять параметр t за время, то параметрические уравнения (5.29)
определяют закон движения материальной точки по прямой линии с
постоянной скоростью   l  m  n .
2
2
2
Параметрические уравнения (5.29) удобны, когда требуется найти
точку пересечения прямой L, заданной этими уравнениями, с непараллельной ей плоскостью P, заданной общим уравнением
Ax  By  Cz  D  0 . Для определения точки пересечения нужно
выражения для x, y, z из уравнений (5.29) подставить в уравнение плоскости P. В результате очевидных преобразований получим
t 
Ax1  By1  Cz1  D
Al  Bm  Cn
.
(5.30)
Подставляя найденное значение параметра t в уравнения прямой
(5.29), находим искомую точку M(x; y; z) пересечения прямой L с плоскостью P.
75
5.6. Взаимное расположение двух прямых и прямой
с плоскостью
1. У г о л м е ж д у п р я м ы м и в п р о с т р а н с т в е.
Условия п а р а л л е л ь н о с т и и п е р п е н д и к у л я р н о с т и
п р я м ы х . Пусть две прямые L1 и L 2 заданы своими каноническими
уравнениями
x  x1
x  x2
y  y1
z  z1
y  y2
z  z2
и
(5.31)




.
l2
m2
n2
l1
m1
n1
Тогда задача определения угла между этими прямыми сводится к
определению угла  между их направляющими векторами
a 1  l1 ; m1; n1  и a 2  l2 ; m2 ; n2  . Пользуясь определением скалярного
произведения a 1  a 2  | a 1 | | a 2 |cos
и выражением в координатах
указанного скалярного произведения и длин векторов a 1 и a 2 , мы
получим для определения угла  следующую формулу:
l1l2  m1m2  n1n2
cos  
.
2
l1  m12  n12  l22  m22  n22
(5.32)
Условие параллельности прямых L1 и L 2 , эквивалентное условию коллинеарности векторов a 1 и a 2 , заключается в пропорциональности координат этих векторов и имеет вид
l1
m
n
 1  1.
l2
m2
n2
(5.33)
Условие перпендикулярности прямых L1 и L 2 следует из формулы (5.32) при cos  0 :
l1l 2  m1 m 2  n1 n 2  0 .
(5.34)
2. У г о л м е ж д у п р я м о й и п л о с к о с т ь ю. У с л о в и я
параллельности и перпендикулярности прямой
и п л о с к о с т и. Рассмотрим плоскость P, заданную общим уравнением Ax  By  Cz  D  0 , и прямую L, заданную каноническими
x  x1
y  y1
z  z1
уравнениями
.


l
m
n
Поскольку угол  между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу  между направляющим вектором a  l ; m ; n  и
нормальным вектором плоскости n  A; B ; C
76

(рис. 49), то из опре-
n
a
L
ψ

P
Рис. 49
деления скалярного произведения n  a  | n | | a |cos и из равенства
cos   sin  мы получим для определения угла  между прямой L
и плоскостью P следующую формулу:
sin  
Al  B m  C n
A  B 2  C 2  l 2  m2  n2
2
.
(5.35)
Условие параллельности прямой L и плоскости P эквивалентно
условию перпендикулярности векторов n и a и выражается равенством нулю скалярного произведения этих векторов:
Al  B m  C n  0 .
(5.36)
Условие перпендикулярности прямой L и плоскости P эквивалентно условию параллельности векторов n и a и выражается пропорциональностью координат этих векторов:
A
B C

 .
l
m
n
(5.37)
3. У с л о в и е п р и н а д л е ж н о с т и д в у х п р я м ы х к
о д н о й п л о с к о с т и. Пусть две прямые L1 и L2 заданы своими каноническими уравнениями (5.31). Очевидно, что для принадлежности
их к одной плоскости необходимо и достаточно, чтобы три вектора
M 1M 2  x2  x1 ; y2  y1 ; z 2  z1  , a 1  l1 ; m1 ; n1  и a 2  l2 ; m2 ; n2
ли компланарны [см. формулу (4.44)]
77

бы-
x 2  x1
y 2  y1
z 2  z1
l1
m1
n1
l2
m2
n2
 0.
(5.38)
Если прямые L1 и L 2 удовлетворяют условию (5.38), то они либо пересекаются, либо параллельны. Так как условие параллельности прямых L1 и L 2 имеет вид (5.33), то для пересечения прямых L1 и L 2
необходимо и достаточно, чтобы они удовлетворяли условию (5.38) и
чтобы нарушалась хотя бы одна из пропорций
l1
m
n
 1  1.
l2
m2
n2
4. У с л о в и я п р и н а д л е ж н о с т и п р я м о й к п л о с –
к о с т и. Эти условия выражаются двумя равенствами:
(5.39)
Ax1  By1  Cz1  D  0 ,
Al  Bm  Cn  0 ,
первое из которых означает, что точка М1(х1; у1; z1), через которую
проходит прямая (5.22), принадлежит плоскости Ax + By + Cz + D = 0,
а второе есть условие параллельности прямой и плоскости (5.36).
5.7. Поверхности второго порядка
Поверхность второго порядка представляет собой геометрическое
место точек, декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению (5.3), в котором по крайней мере один из коэффициентов A, B, C,
D, E, H отличен от нуля. Поверхность, рассматриваемая как геометрический объект, не меняется, если от одной декартовой системы координат перейти к другой декартовой системе координат. Для каждого
уравнения (5.3) можно указать такую специальную систему координат,
в которой уравнение (5.3) примет столь простой вид, что геометрическая характеристика поверхности не будет представлять затруднений.
Простейшее для каждой поверхности уравнение называется каноническим. Далее будем определять поверхности только каноническими
уравнениями и исследовать по ним вид этих поверхностей.
1. Ц и л и н д р и ч е с к и е п о в е р х н о с т и в т о р о г о
п о р я д к а. Если в уравнении (5.3) одна из координат равна нулю, то
определяемая этим уравнением поверхность называется цилиндрической. Предположим, что равна нулю координата z. Тогда уравнение
(5.40)
Ax2  By2  Dxy  Kx  Ly  N  0 ,
в котором по крайней мере один из коэффициентов A, B и D отличен
от нуля, определяет в плоскости Oxy одну из кривых второго порядка,
78
которая называется на п р а вля ю щей цилиндрической поверхности.
Соответствующая цилиндрическая поверхность получается параллельным переносом направляющей вдоль прямых, параллельных координатной оси Оz и называемых о бр а зую щи ми этой поверхности. Рассмотрим примеры цилиндрических поверхностей второго порядка.
Поверхность, определяемая уравнением
x2
y2
(5.41)

 1,
a2
b2
является цилиндрической и называется э л ли п ти чес ки м ц и ли н др о м
(рис. 50).
z
z
0
0
a
b
–a
a
у
у
x
x
Рис. 50
Рис. 51
Ее образующие параллельны оси Oz, а направляющей является
эллипс с полуосями a и b, лежащий в плоскости Oxy. В частности, если
a = b, то направляющей является окружность, а поверхность является
прямым круговым цилиндром. Его уравнение
(5.42)
x2  y2  a2 .
Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением
x2
y2
(5.43)
 2  1,
2
a
b
называется гиперболическим цилиндром (рис. 51). Направляющей цилиндра служит расположенная в плоскости Oxy гипербола с действительной полуосью a и мнимой полуосью b.
Цилиндрическая поверхность, определяемая уравнением
(5.44)
y 2  2 px ,
79
z
z
b0
h
a0
0
0
у
у
x
x
Рис. 52
Рис. 53
называется параболическим цилиндром (рис. 52). Направляющей цилиндра является парабола, лежащая в плоскости Oxy, а образующие
параллельны оси Oz.
2. К о н у с в т о р о г о п о р я д к а. Конусом второго порядка
или, кратко, конусом (рис. 53) называется поверхность, определяемая
уравнением
x2
y2
z2
(5.45)
 2  2  0.
2
a
b
c
Эта поверхность симметрична относительно координатных плоскостей. Начало координат, являющееся центром симметрии, принадлежит поверхности и называется вершиной конуса. Сечениями конуса
c
c
плоскостями x  0 и y  0 являются прямые z   y и z   x .
b
a
В плоскости z  h h  0 имеем эллипс
y2
x2
 2  1
2
a0
b0
b | h|
a | h|
. Если a  b , то поверхность
, b0 
c
c
называется прямым круговым конусом. Его уравнение
с полуосями a0 
x2  y 2
z2
 2  0.
2
a
c
(5.46)
80
3. Э л л и п с о и д и с ф е р а. Поверхность, определяемая
уравнением
x2
y2
z2
(5.47)


 1,
a2
b2
c2
называется эллипсоидом. Величины a, b, c называются полуосями эллипсоида. Так как в уравнение (5.47) текущие координаты входят в
четных степенях, то эллипсоид симметричен относительно координатных плоскостей. Точки пересечения осей координат с эллипсоидом
называются вершинами эллипсоида.
Рассмотрим сечение эллипсоида плоскостью z  h , и пусть при
этом |h|  c . Тогда линия, которая получается в сечении, определяется
системой уравнений
 x2
y2
 2  2  1,
(5.48)
b0
 a0
 z  h,



h2 
h2 
где a02  a 2 1  2  , b02  b 2 1  2  . Из уравнений (5.48) видно,
c 
c 


z  h ( | h |  c ) представляет собой эллипс с полуосями a0 , b0 , уменьшающимися с уве-
что сечение эллипсоида (5.47) плоскостью
личением | h | . При | h |  c имеем a0  b0  0 , и сечение стягивается
в точку – вершину эллипсоида.
z
При | h |  c эллипсоид с
плоскостью z  h , очевидно,
c
не пересекается.
Аналогично можно показать,
что при пересечении элb
0
липсоида плоскостями x  h
у
a
| h |  a  и y  h | h |  b 
также получатся эллипсы. Эллипсоид имеет вид, изобраx
женный на рис. 54.
Если две полуоси эллипРис. 54
соида равны, например a  b ,
то получаем уравнение
x2  y2
z2
 2  1,
2
a
c
(5.49)
81
которое определяет эллипсоид вращения, получаемый вращением вокруг оси Oz эллипса
x2
z2

 1,
a2
c2
расположенного в плоскости Oxz. Если все три полуоси эллипсоида
(5.47) равны между собой, a  b  c , то получается сфера, определяемая уравнением
x2  y 2  z2  a2 .
(5.50)
Таким образом, сфера оказывается частным случаем эллипсоида.
4. Г и п е р б о л о и д ы. Поверхность, определяемая уравнением
x2
y2
z2
(5.51)
 2  2  1,
2
a
b
c
называется однополостным гиперболоидом. Установим вид поверхности (5.51). Для этого рассмотрим сечения ее координатными плоскостями Oxz ( y  0 ) и Oyz ( x  0 ). Получаем соответственно уравнения
 x2 z2
 2  2  1,
a
c
y  0

и
 y2
z2
 2  2  1,
b
c
 x  0,

из которых следует, что в сечениях получаются гиперболы.
При пересечении однополостного гиперболоида плоскостью
z  h , параллельной координатной плоскости Oxy, получится эллипс,
уравнения которого имеют вид:

x2

 
h2
 a 1 2
c
 

 z  h .




2

y2
2

b 1 h

c2





2
 1,
Полуоси этого эллипса возрастают с возрастанием абсолютной величины h. При h  0 получится эллипс, лежащий в плоскости Oxy и
имеющий наименьшие полуоси a и b.
Таким образом, рассмотренные сечения позволяют изобразить
однополостный гиперболоид в виде бесконечной трубки, бесконечно
расширяющейся по мере удаления от плоскости Oxy (рис. 55).
82
z
z
h
h
с
0
a
0
у
b
–с
у
x
x
Рис. 55
Рис. 56
.
При a  b получим однополостный гиперболоид вращения
x2  y 2
z2
(5.52)

 1.
a2
c2
При пересечении его плоскостями z  h получаются окружности.
Поверхность, определяемая уравнением
x2
y2
z2
(5.53)


  1,
a2
b2
c2
называется двуполостным гиперболоидом.
Координатные плоскости являются плоскостями симметрии для
двуполостного гиперболоида, а начало координат – его центром симметрии. Пересекая эту поверхность координатными плоскостями Oxz и
Oyz, получим соответственно гиперболы
 z2
x2
 2  2  1,
a
c
y  0

и
 z2
y2
 2  2  1,
b
c
x  0 .

Если двуполостный гиперболоид (5.53) пересечь плоскостью
z  h ( при | h |  c ), то в сечении получится эллипс
83
2

x


2
 
2


h

b
 a

1
2


 
c



 z  h
y2
h
2
c
2

 1 

2
 1,
с полуосями, возрастающими с возрастанием | h | . При | h |  c поверхность (5.53) с плоскостью z  h , очевидно, не пересекается. Двуполостный гиперболоид состоит из двух отдельных частей (полостей),
чем и объясняется его название. Поверхность имеет вид, показанный
на рис. 56.
При a  b уравнение (5.53) имеет вид
z2
x2  y2
(5.54)

1
c2
a2
и является уравнением двуполостного гиперболоида вращения. В сечении последнего с плоскостью z  h ( при | h |  c ) получается
окружность
2

2


 x 2  y 2   a h  1  ,



c2



 z  h
h2
 1.
c2
5. П а р а б о л о и д ы. Поверхность, определяемая уравнением
радиуса R  a
x2
y2

,
(5.55)
p
q
при условии, что p и q имеют одинаковые знаки, называется эллиптическим параболоидом. В дальнейшем для определенности будем считать, что p > 0, q > 0.
При пересечении эллиптического параболоида координатными
плоскостями Oxz и Oyz получатся соответственно параболы
2z 
 x 2  2 p z ,

 y  0
и

 y2  2qz ,


x  0 ,
а при пересечении плоскостью z  h ( h  0 ) – эллипс
84
 x2



2
 2 ph

 z  h



с полуосями a 

y2
2qh

2
 1,
2 ph и b 
2qh (рис. 57). В случае p  q по-
лучим параболоид вращения
2 pz  x 2  y 2 .
(5.56)
Поскольку переменные x и y входят в уравнение (5.55) в четных
степенях, эллиптический параболоид имеет две плоскости симметрии:
Oxz и Oyz. Начало координат является вершиной поверхности.
z
z
b
h
a
0
0
у
у
x
x
Рис. 58
Рис. 57
Гиперболическим параболоидом называется поверхность, определяемая уравнением
y2
x2
(5.57)

,
p
q
при условии, что p и q имеют одинаковые знаки. Для определенности
будем считать, что p > 0, q > 0.
2z 
При пересечении гиперболического параболоида координатными
плоскостями Oxz и Oyz получаются соответственно параболы (рис. 58)
 x 2  2 pz ,

y  0
и
2

 y   2qz ,


 x  0.
85
Линии пересечения гиперболического параболоида с плоскостями
z  h представляют собой при h > 0 гиперболы
y2
x2

 1
a2
b2
с полуосями a 
(5.58)
2 ph , b 
2qh , а при h < 0 – сопряженные ги-
перболы для гипербол (5.58)
y2
b2

x2
 1
a2
с полуосями a 
(5.59)
 2 ph , b 
 2qh .
При h = 0, т. е. при пересечении гиперболического параболоида
координатной плоскостью Oxy, получится линия, уравнение которой в
плоскости Oxy имеет вид
y2
x2

 0.
p
q
Последнее уравнение равносильно совокупности двух уравнений
x
p

y
x
 0,
q
p

y
 0.
q
Это означает, что гиперболический параболоид пересекается с плоскостью Oxy по двум прямым

q
x,
y 
p

z  0

и

q
x,
y  
p

z  0 ,

(5.60)
лежащим в плоскости Oxy и проходящим через начало координат. Из
уравнений (5.58) и (5.59) вытекает, что прямые (5.60) являются асимптотами гипербол, определяемых этими уравнениями.
Гиперболический параболоид может быть получен путем параллельного перемещения параболы, расположенной на рис. 58 в плоскости Oyz, когда ее вершина движется вдоль параболы, расположенной
на том же рис. 58 в плоскости Oxz.
В заключение укажем, что кроме двух прямых (5.60), существуют
и другие прямые, полностью лежащие на гиперболическом параболоиде. Более того, можно показать, что через каждую точку гиперболического параболоида проходит по одной прямой каждого из двух семейств прямых
86







x

y
p
q
x
y
p

 2 z ,
1


q
и







x

y
p
q
x
y
p


1
,

(5.61)
 2 z ,
q
где α и β – произвольные параметры, ибо уравнение (5.57) представляет собой алгебраическое следствие уравнений (5.61) (уравнение (5.57)
получается из уравнений каждого семейства прямых (5.61) путем их
перемножения).
Поверхности, составленные из прямолинейных образующих,
называются линейчатыми. Кроме гиперболического параболоида линейчатыми являются цилиндрические и конические поверхности, а
также однополостный гиперболоид.
Возможность составления указанных поверхностей из прямых линий широко используется в практике для сооружения строительных
конструкций с помощью балок, расположенных по прямолинейным
образующим.
87
ЛИТЕРАТУРА
1. Баврин И.И., Матросов В.Л. Общий курс высшей математики. – М.: Просвещение, 1995.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. – М.:
Наука, 1981.
3. Кочин Н.Е. Векторное исчисление и начала тензорного исчисления. – М.: Наука, 1965.
4. Кудрявцев В.А., Демидович Б.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1986.
5. Кудрявцев Л.Д. Мысли о современной математике и ее изучении. – М.: Наука, 1977.
6. Меркулов В.А. О некоторых принципах преподавания математики школьникам и студентам // Вестник ВолгГАСА. Сер.: Гуманит.
науки. Вып.1(3). – Волгоград: ВолгГАСА, 2000. С. 96 – 101.
7. Натансон И.П. Краткий курс высшей математики. – М.:
Наука, 1968.
8. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике. 1 ч.
– М.: Рольф, 2001.
9. Шипачев В.С. Высшая математика / Под ред. акад. А.Н. Тихонова. – М.: Высш. шк., 1985.
10. Шнейдер В.Е., Слуцкий А.И., Шумов А.С. Краткий курс высшей математики. Т. 1. – М.: Высш. шк., 1978.
88