3.01.13 -

Лекция 7.
КИНЕМАТИКА ТОЧКИ
Механическое движение −
изменение положения одного тела
относительно другого (тела
отсчета), с которым связана система
координат, называемая системой
отсчета.
Основными задачами кинематики точки
являются:
Описание способов задания движения
точки.
Определение кинематических
характеристик движения точки (скорости,
ускорения) по заданному закону движения
Геометрическое место
последовательных
положений движущейся
точки в рассматриваемой
системе отсчета называется
траектория точки.
Задать движение − это дать способ, с
помощью которого можно определить
положение точки в любой момент
времени по отношению к выбранной
системе отсчета. К основным способам
задания движения точки относятся:
векторный,
координатный
и естественный.
1.Векторный
движения
способ
задания
Положение точки определяется радиусвектором, проведенным из неподвижной
точки, связанной с телом отсчета:
 
r  r t 
− векторное уравнение движения точки.
.
t
Скорость и ускорение точки
Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени
 

r  r ( t  t )  r ( t )
−Тогда средняя скорость точки за промежуток времени .

v ср

r

t
Скорость точки в данный момент времени находится как предел
средней скорости при
t  0
Среднее ускорение характеризует изменение
вектора скорости за малый промежуток

времени t 
v
a ср 
t
Ускорение точки в
данный момент времени
находится как предел
среднего ускорения при
t  0



v dv
a  lim

t  0  t
dt
Скорость точки − это кинематическая мера
ее движения, равная производной
по времени от
радиус-вектора этой
точки в рассматриваемой системе отсчета.
Вектор скорости направлен по касательной к
траектории точки в сторону движения.

 dr
v
dt
Ускорение точки − это мера изменения ее
скорости, равная производной по времени от
скорости этой точки или второй производной
от радиус-вектора точки по времени.
Ускорение точки характеризует изменение
вектора скорости по величине и направлению.
Вектор ускорения направлен в сторону
вогнутости траектории.

2
 dv d r
a
 2
dt dt
2.Координатный способ задания движения
В этом случае задаются координаты точки как
функции времени:
 уравнения движения точки в координатной
форме.
x  x  t  , y  y  t  , z  z  t ;
Это и параметрические уравнения
траектории движущейся точки, в которых
роль параметра играет время .
Чтобы записать ее уравнение
форме, надо исключить из них ,
в явной
t
В случае
исключив
t
пространственной
получим:
F1 x, y, z   0,

F2 x, y, z   0.
траектории,
В случае плоской траектории исключив
или
получим
 x  x t ,

 y  y t ,
y  x 
,
F ( x, y )  0
t
7.3. Определение скорости и ускорения точки при
координатном способе задания движения
Связь векторного способа задания движения и
координатного дается соотношением




r  xi  yj  zk
Из определения скорости:

 dr d    dx  dy  dz 
v   xi  yj  zk  i  j  k
dt dt
dt
dt
dt


Проекции скорости на оси координат равны производным
соответствующих координат по времени
v x  x
v y  y
v z  z
Модуль скорости определяется выражением
v  v x2  v 2y  v z2
Из определения ускорения:






 dv d 
a

x i  y j  zk  xi  yj  zk
dt dt


Проекции ускорения на оси координат равны вторым
производным соответствующих
координат по
,
времени:
.
a x  x
a z  z
a y  y
Модуль ускорения определяется выражением:
a
2
ax

2
ay

2
az
3. Естественный способ задания движения
В этом случае задаются:
1)траектория точки,
2)начало отсчета на траектории,
3) положительное направление отсчета,
4)закон изменения дуговой координаты s  st 
3) положительное
направление отсчета,
2)начало отсчета на
траектории,
1)траектория точки,
s  st 
Естественные оси
(касательная, главная нормаль, бинормаль)
− это оси подвижной прямоугольной системы
координат с началом в движущейся точке.
Их положение определяется траекторией движения.

Касательная с единичным вектором 
направлена по касательной
в положительном направлении отсчета дуговой
координаты и находится как предельное положение
секущей, проходящей через данную точку.
M1
M


M
M1
O
Нормальная плоскость перпендикулярна касательной.
Линия пересечения нормальной и соприкасающейся
плоскостей
− главная нормаль.
Единичный вектор главной нормали
в сторону вогнутости траектории.

n
направлен

b
Бинормаль с единичным вектором
направлена перпендикулярно касательной


главной нормали так, что орты 

образуют правую тройку векторов
n
b
и
Координатные плоскости введенной подвижной
системы координат
(соприкасающаяся, нормальная и спрямляющая)
образуют естественный трехгранник,
который перемещается вместе с движущейся точкой,
как твердое тело.
Его движение в пространстве определяется траекторией
и законом изменения дуговой координаты.
СКОРОСТЬ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ



 dr
r
r s
v
 lim
 lim
dt t  0 t t  0 s t



r 
lim

t  0 s
− единичный вектор касательной
 ds 
v

dt
 
v  s
v   s
Алгебраическая скорость− проекция вектора
скорости на касательную, равная производной
от дуговой координаты по времени. Если
производная положительна, то точка движется в
положительном направлении отсчета дуговой
координаты.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ТОЧКИ
ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ



 dr
r
r s
v
 lim
 lim
dt t  0 t t  0 s t
 ds 
v

dt

r 
lim

t  0 s
 
v  s
v   s
Алгебраическая скорость − проекция вектора скорости на касательную,
равная производной от дуговой координаты по времени.
Если производная положительна, то точка движется в положительном
направлении отсчета дуговой координаты.
УСКОРЕНИЕ ТОЧКИ ПРИ ЕСТЕСТВЕННОМ СПОСОБЕ
ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ


 dv d 

d
a
  s   s   s
dt dt
dt


1
d d d 

 nk  n
ds d ds


 d
n
d
d
k
ds
1

k
единичный вектор главной нормали
кривизна траектории
радиус кривизны траектории в данной точке


M1
s
𝜏
M


1
𝑛

O
2


 s 
a  s   n

вектор ускорения раскладывается на две составляющие
– касательное и нормальное ускорения
 

a  a   an
a  s  v
2
v
an 




a   s   v 
2

v 
an 
n

алгебраическое значение касательного ускорения
(проекция вектора ускорения на касательную)
характеризует изменение скорости по величине;
нормальное ускорение
(проекция вектора ускорения на нормаль)
характеризует изменение скорости по направлению
Вектор ускорения всегда лежит в соприкасающейся плоскости,
проекция ускорения на бинормаль равна нулю
ab  0
Движение точки ускоренное,
если знаки проекций векторов скорости
и ускорения на касательную совпадают
M



a

v

n

an

a