Задания 4 этапа + Ответы

Задания турнира
4 класс
1. Автобусный билет будем считать счастливым, если между его цифрами можно в нужных местах
расставить знаки четырёх арифметических действий и скобки так, чтобы значение полученного выражения
равнялось 100. Является ли счастливым билет N123456?
Решение
1 + (2 + 3 + 4) . (5 + 6) = 100. Есть и другие решения (попробуйте найти ещё хотя бы одно).
Ответ
Да.
2. Встретились три охотника и сварили кашу. Первый дал 2 кружки крупы, второй – 4 кружки, у третьего
крупы не было. Но он дал товарищам 6 патронов в качестве платы за кашу. Все ели поровну. Как следует
разделить патроны между первым и вторым охотниками?
Решение.
Поскольку всего крупы было 6 кружек, то каждый съел по 2 кружки. Значит, все патроны надо отдать
второму охотнику, потому что он поделился с третьим.
Ответ: первому – 0, второму – 6.
3. Три ёжика делили три кусочка сыра массами 5 г, 8 г и 11 г. Лиса стала им помогать. Она может от любых
двух кусочков одновременно отрезать и съесть по 1 г сыра. Сможет ли лиса оставить ёжикам равные кусочки
сыра?
Решение
Например, лиса сначала три раза отрезает по 1 г от кусочков в 5 г и 11 г. Получатся один кусок в 2 г и два
куска по 8 г. Теперь осталось шесть раз отрезать и съесть по 1 г от кусочков в 8 г.
Ответ
Да, сможет.
4. В турнире по олимпийской системе (проигравший выбывает) участвует 50 боксеров. Какое наименьшее
количество боев надо провести, чтобы выявить победителя?
Решение
После каждого боя из соревнований выбывает один боксер — проигравший в этом бою. Поскольку всего к
концу соревнований выбыть должны все, кроме победителя, всего должно быть 2013 боев, независимо от
того, как составляется расписание.
Ответ: 2013 боев.
5. Сколько всего треугольников изображено на рисунке?
Решение.
Маленьких треугольников – 12. Треугольников, состоящих из двух маленьких – 12.Треугольников,
составленных из четырех маленьких – 4. Значит, всего 12+12+4=28 треугольников изображено.
Ответ: 28 треугольников.
5 класс
1. Барон Мюнхгаузен вместе со своим слугой Томасом подошли к реке. На берегу они
обнаружили лодку, способную перевезти только одного человека. Тем не менее, они без
проблем переправились через реку и продолжили путешествие. Могло ли такое быть?
Решение.
Они подошли к реке с разных берегов. Поэтому смогли переправиться каждый на
противоположный берег.
Ответ: могло.
2. Вычислите
2014−2013+2012−2011+⋯+4−3+2−1
2014∙55+45∙2014
Решение.
2014 − 2013 + 2012 − 2011 + ⋯ + 4 − 3 + 2 − 1
1007
1
=
=
2014 ∙ 55 + 45 ∙ 2014
100 ∙ 2014 200
Ответ:
1
200
3. В поход пошли 20 туристов. Самому старшему из них 35 лет, а самому младшему 20 лет.
Верно ли, что среди туристов есть одногодки?
Решение
Чему может равняться возраст каждого из туристов? Очевидно, одному из чисел: 20, 21, 22,
..., 35 (всего 16 вариантов). Поэтому, если предположить, что возраст любых двух туристов
различен, то в группе не больше 16 человек. Но по условию задачи их 20. Значит, в группе
обязательно есть одногодки.
4. Разрежьте квадрат 4х4 на 4 равные фигуры (фигуры называется равными, если они
совпадают при наложении). Разрезать можно лишь по стороне квадрата 1х1 (по клеткам) и
способы считаются разными, если полученные фигуры не будут равными при каждом
способе.
Решение.
Возможно 4 способа.
5. Незнайка утверждает, что для нумерации страниц книги по математике для 5 класса ему
понадобилось 2014 цифр. Знайка сказал, что Незнайка ошибся. Кто прав в этом споре. Ответ
поясните.
Решение.
Для нумерации страниц с однозначным числом нужно 9 цифр. Для нумерации страниц с
двузначными номерами нужно 90∙2=180 цифр. Трехзначных номеров страниц 900, значит, для
их нумерации понадобится 900∙3=2700 цифр, т.е. последняя страница в книге – трехзначная.
Тогда количество страниц в книге равно (2014-(9+180)):3=1825:3=608 1/3, что невозможно.
Значит, прав Знайка.
Ответ: прав Знайка.
6 класс
1 Укажите четыре целых положительных числа, сумма которых равна 75, а произведение —
2014.
Решение
Разложим 2014 на множители: 2014 = 2 . 19 . 53 =1. 2 . 19 . 53. Теперь уже несложно
сгруппировать эти множители в четыре группы так, чтобы в сумме получилось 75:
1+2+19+53=75.
Ответ:1,2,19,53.
2. Три фирмы А, В и С решили совместно построить дорогу длиной 16 км, договорившись
финансировать этот проект поровну. В итоге, А построила 6 км дороги, В построила 10 км, а
С внесла свою долю деньгами – 16 миллионов рублей. Каким образом фирмы А и В должны
разделить эти деньги между собой?
Решение.
16
км дороги. Вместо фирмы С фирма А
3
16
2
16
14
построила 6 –
=
км дороги, а фирма В построила 10 –
=
км. Поэтому 16
3
3
3
3
Каждая фирма должна была построить
миллионов рублей надо разделить между ними в отношении 2 : 14.
Ответ: фирме А – 2 миллиона, а фирме В – 14 миллионов рублей.
3. Можно ли из фигурок, состоящих из пяти одинаковых квадратов, вида
сложить квадрат? Если
можно, то покажите как. Если нет, то объясните
почему. Фигурки можно брать в неограниченном количестве, но они не должны
накладываться друг на друга.
Решение.
Из двух фигурок такого вида можно составить прямоугольник 2х5. А из 10 таких
прямоугольников можно сложить квадрат 10х10.
Ответ: можно.
4. Делегация некоторой страны на Олимпийских играх будет состоять из спортсменов и
чиновников. Средний возраст этих спортсменов на начало олимпиады составит 22 года, а
чиновников – 47 лет. При этом средний возраст всех членов делегации окажется равным 41
году. Какова в этой делегации доля чиновников, выраженная в процентах?
Ответ: 76%.
Пусть делегация состоит из x спортсменов и y чиновников, тогда суммарный возраст
спортсменов равен 22x, а чиновников – 47y. Делегация насчитывает (x + y) человек, поэтому
ее суммарный возраст равен 41(x + y). Получим уравнение: 22x + 47y = 41(x + y). Упростив
его, получим, что 6y = 19x. Доля чиновников, выраженная в процентах, равна:
y
 100% =
x y
6y
19 x
19
 100% =
 100% = 76%.
 100% =
6 x  19 x
25
6x  6 y
5. В вершинах треугольника записаны числа 1, 2 и 3. Затем каждое из чисел одновременно
заменили на сумму двух соседних. Эту операцию проделали еще некоторое количество раз.
Могла ли сумма получившихся в итоге трех чисел оказаться равной 3000000?
Ответ: нет, не могла.
Пусть в какой-то момент в вершинах записаны числа а, b и с. Тогда после указанной
операции вместо них будут записаны числа b + c, c + a и a + b. Так как (b + c) + (c + a) + (a +
b) = 2(a + b + c), то после каждой операции сумма трёх записанных чисел удваивается. Сумма
исходных чисел не делится на 5, поэтому и сумма чисел, полученных после любого
количества операций, на 5 делиться не может.
7 класс
1. Может ли произведение трех трехзначных чисел, для записи которых использовано девять
различных цифр, оканчиваться четырьмя нулями?
Решение.
Например, 125360748 = 33660000.
Приведенный пример – не единственный, но в любом примере один из множителей
должен делится на 125. Отметим, что такое произведение может оканчиваться даже
пятью нулями: 625480137 = 41100000.
Ответ: да, может.
2. Найдите значение выражения
𝑎2 +2014𝑎𝑏
𝑏2 +2013𝑎𝑏
𝑎
, если = 2.
𝑏
Решение.
𝑎
Из условия = 2 следует, что a=2b. Тогда
𝑏
𝑎2 +2014𝑎𝑏
𝑏2 +2013𝑎𝑏
Ответ:
=
(2𝑏)2 +4028𝑏2
𝑏2 +4026𝑏2
=
4032
4027
,
4032
4027
3. Докажите, что для положительных х верно неравенство
𝑥+
1
≥2
𝑥
Решение.
Составим разность левой и правой частей
1
𝑥 2 + 1 − 2𝑥 (𝑥 − 1)2
𝑥+ −2=
=
≥0
𝑥
𝑥
𝑥
4. Существует ли трапеция, которую каждая диагональ делит на 2 равнобедренных
треугольника? (Трапеция – четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две
другие не параллельны).
Решение.
Например, равнобокая трапеция, у которой меньшее основание равно боковой стороне, а
большее основание равно диагонали
Несложно доказать, что искомая трапеция определяется однозначно с точностью до
подобия: ее углы равны 72 и 108.
Ответ: да, существует.
5. Петя записал на компьютере число 2014. Каждую секунду компьютер прибавляет к числу
на экране сумму его цифр. Может ли через какое-то время на экране появиться число
123456789?
Решение.
Первый способ. Предположим, что указанное число может получиться, тогда
рассмотрим число x, которое было на экране за секунду до этого. Обозначим сумму цифр
числа x через S(x), тогда x + S(x) = 123456789. Заметим, что число 123456789 делится на 9 (так
как сумма его цифр делится на 9), а числа x и S(x) имеют одинаковые остатки от деления на 9.
Значит, числа x и S(x) также кратны девяти.
Рассуждая аналогично, получим, что и число, из которого получилось x, также должно
делится на 9, и так далее. В итоге получим, что исходное число 2014 делится на 9, а это
неверно. Полученное противоречие показывает, что наше предположение не верно, и число
123456789 появиться на экране не может.
Второй способ. Исходное число имеет остаток 1 при делении на 3. Сумма цифр числа
123456789 равна 45, значит, оно делится на 3. Так как любое число и сумма его цифр дают
одинаковые остатки при делении на 3, то при каждой операции остатки от деления на 3 будут
удваиваться. Таким образом, последовательность получающихся остатков будет иметь вид: 1;
2; 1; 2; ... . Так как каждое следующий член последовательности зависит только от
предыдущего, то она периодична (с периодом 2). Числа 0 в этой последовательности нет,
поэтому число, кратное трем, получиться не может.
Ответ: нет, не может.
8 класс
1. Может ли число (x2 + x + 1)2 + (y2 + y + 1)2 при каких-то целых x и y оказаться точным
квадратом?
Решение.
Так как x2 + x + 1 = x(x + 1) + 1, то при любых целых х и у значение каждого из
выражений в скобках – нечетное число. Квадрат нечетного числа при делении на 4 дает в
остатке 1, поскольку (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + 1 = 4n(n + 1) + 1. Таким образом, значение данного
выражения является четным числом и при делении на 4 дает остаток 2.
Пусть оно является точным квадратом, тогда это квадрат четного числа. Но квадрат
любого четного числа делится на 4 – противоречие.
Ответ: нет, не может.
2. Постройте график функции 𝑦 =
(𝑥−2)2 +8𝑥
(𝑥+2)2
.
Решение.
Заметим, что х не равен -2.
Упростим выражение в правой части
(𝑥−2)2 +8𝑥
(𝑥+2)2
=
𝑥 2 −4𝑥+4+8𝑥
𝑥 2 +4𝑥+4
= 1. Значит, графиком данной
функции будет прямая у=1 с выколотой точкой (-2;1)
3. Докажите, что неравенство верно при любых значениях х
𝑥2 +
1
𝑥2
+5>0
Решение.
Поскольку при х≠0 все три слагаемые являются положительными, то и их сумма больше
нуля.
4. Дан параллелограмм ABCD. На стороне AB взята точка M так, что AD = DM. На стороне
AD взята точка N так, что AB = BN.
Докажите, что CM = CN.
Решение
Поскольку ABCD – параллелограмм, то DM = AD = BC, следовательно, DMBC –
равнобедренная трапеция (см. рис.). Аналогично, BN = AB = CD, то есть BNDC – также
равнобедренная трапеция. В равнобедренной трапеции диагонали равны, следовательно, CN
= BD = CM, что и требовалось.
5. В круговом шахматном турнире участвует 9 мальчиков и 3 девочки (каждый играет с
каждым один раз, победа – 1 очко; ничья – 0,5; поражение – 0). Может ли в итоге оказаться,
что сумма очков, набранных всеми мальчиками, будет равна сумме очков, набранных всеми
девочками?
Решение.
Сумма всех набранных очков равна общему количеству сыгранных партий:
12  11
= 66.
2
Предположим, что суммы очков, набранных мальчиками и девочками, равны, тогда девочки
должны в сумме набрать 33 очка. Один участник не может набрать больше, чем 11 очков,
значит, каждая из девочек набрала ровно 11. Но во встречах между собой кто-то из девочек
обязательно «потерял» очки, то есть не смог набрать максимум очков.
Ту же идею можно реализовать иначе. Если даже каждая девочка выиграет у каждого
из мальчиков, то в сумме девочки наберут 27 очков. Еще 3 партии они проводят между
собой и в любом случае наберут в сумме 3 очка. Таким образом, более, чем 30 очков в сумме
девочки набрать не могут, а это меньше половины всех очков, разыгрываемых в турнире.
Ответ: нет, не может.
9 класс

1. Решите уравнение:

2
 x  x2
 2014 .
2x 2
Решение.
Выражение, стоящее в левой части данного уравнения, имеет смысл только при x < 0.
После упрощения уравнение примет вид:
Ответ: 
x x
2x
2
 2014 . Так как при x < 0 |x| = –x, то x  
1
.
2014
1
2014
2.Можно ли представить число 2014 в виде дроби, числителем которой является девятая
степень какого-то числа, а знаменателем – десятая степень какого-то натурального числа?
Решение.
Пусть 2014 =
(2014 𝑛 )9
(2014 𝑚)
10
, откуда 10m+1=9n. Подберем пару (m,n), удовлетворяющую этому
условию. Например, (8,9). Тогда
2014 =
(2014 9 )9
(2014 8)
10
.
Также подойдет пара (17, 19). Другие пары можно подобрать из условия
m+1=9(n-m).
Ответ: можно.
3. Докажите, что если а > 0, b > 0, c > 0 и аb + bc + ca  12, то a + b + c  6.
Решение.
Воспользуемся тем, что a2 + b2 + c2  аb + bc + ca. Тогда (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(аb
+ bc + ca)  3(аb + bc + ca)  36. Учитывая, что a + b + c > 0, получим: a + b + c  6, что и
требовалось.
Можно также действовать методом «от противного». Предположим, что найдутся
такие положительные а, b и с, что а + b + c < 6. Тогда, (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(аb + bc
+ ca) < 36. Так как a2 + b2 + c2  аb + bc + ca, то 3(аb + bc + ca) < 36, то есть аb + bc + ca <
6 – противоречие.
4. В трапеции ABCD BC < AD, AB = CD, K – середина AD, M – середина CD, CH – высота.
Докажите, что прямые AM, CK и BH пересекаются в одной точке.
Решение
AM и CK – медианы треугольника ACD, следовательно, точка L их пересечения делит отрезок
CK в отношении 2:1 (см. рис.). Кроме того, BC : KH = 2:1, поскольку KH = ½ AD – ½ (AD –
BC) = ½ BC. Из параллельности AD и BC теперь следует, что BH делит отрезок CK в
отношении 2:1, то есть проходит через точку L.
5. На поляне пасутся 150 коз. Поляна разделена изгородями на несколько участков. Ровно в
полдень некоторые козы перепрыгнули на другие участки. Пастух подсчитал, что на каждом
участке количество коз изменилось, причем ровно в семь раз. Не ошибся ли он?
Решение.
Пусть х – количество коз на тех участках, где их число увеличилось в 7 раз, а у –
количество коз на тех участках, где их число уменьшилось в 7 раз. Тогда имеет место система
уравнений:
 x  y  150
 x  y  150
 x  y  150

.


y

49 x  y  1050
48 x  900
7 x  7  150
Полученная
система
натуральных решений (так как второе уравнение не имеет натуральных решений).
Полученное противоречие показывает, что пастух ошибся.
Ответ: пастух ошибся.
не
имеет