Задача об удвоении куба - Образование Костромской области
advertisement
МБОУ Дьяконовская ООШ Буйского муниципального района Костромской области Проектная работа «Задачи на построение» предмет: геометрия класс: 7 Авторы проекта: Виноградова Алена Яблокова Дарья Руководитель проекта: Румянцева Лидия Семеновна 2012 Вопросы проекта Почему возникли задачи на построение? - Почему задачи на построение решаются с помощью циркуля и линейки? - Какие задачи можно отнести к задачам на построение? - Есть ли задачи, которые не решаются с помощью циркуля и линейки? - Какие ученые занимались решением задач на построение? - Как помогают людям задачи на построение? Задачи на построение – это такие задачи, при решении которых нужно построить геометрическую фигуру, удовлетворяющую условиям задачи, с помощью циркуля и линейки без делений. Линейка позволяет провести произвольную прямую, а также построить прямую, проходящую через две данные точки; с помощью циркуля можно провести окружность произвольного радиуса, а также окружность с центром в данной точке и радиусом, равным данному отрезку. IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1. Анализ (выполняют рисунок искомой фигуры, устанавливающий связи между данными задачи и искомыми элементами, составляют план построения фигуры). 2. Построение по намеченному плану. 3. Доказательство, что данная фигура удовлетворяет условиям задачи. 4. Исследование (при любых ли данных задача имеет решение, и если имеет, то сколько). Построение биссектрисы угла. Докажем, что луч АВ – биссектриса А ПЛАН 1. Дополнительное построение. 2. Докажем равенство треугольников ∆ АСВ и ∆ АDB. 1. АС=АD, как радиусы одной окружности. 2. СВ=DB, как радиусы одной окружности. 3. АВ – общая сторона. 3. Выводы ∆АСВ = ∆ АDВ, по III признаку равенства треугольников С А В САВ DAB D Луч АВ – биссектриса Когда начали решать задачи на построение. Искусство построения геометрических фигур было в высокой степени развито в Древней Греции .Древнегреческие математики еще 3000 лет назад проводили свои построения с помощью 2 приборов : гладкой дощечки с ровным краем (это линейка) и 2 заостренных палок, связанных на одном конце (это циркуль). Однако этих простейших инструментов оказалось достаточно для выполнения огромного множества различных построений. Примеры записей решения задач на построение. Известные задачи на построение Задача Аполлония - построить с помощью циркуля и линейки окружность, касающуюся трех данных окружностей. По легенде, задача сформулирована Аполлонием Пергским примерно в 220 г. до н. э. в книге «Касания», которая была потеряна, но позже восстановлена в 1600 г. Франсуа Виетом, «галльским Аполлонием», как его называли современники. Если ни одна из заданных окружностей не лежит внутри другой, то эта задача имеет 8 существенно различных решений. Задача Брахмагупты Построить с помощью циркуля и линейки вписанный четырехугольник по четырем его сторонам. Одно из решений использует окружност ь Аполлония Есть ли задачи, которые не решаются с помощью циркуля и линейки? Исключительное значение математике приписывала школа Платона, знаменитого философа древности (429-348). Он основал свою школу, в которой наряду с изучением основ философии изучалась математика. Платон и его школа позволяли для решения геометрических задач на построение пользоваться только циркулем и линейкой Такое требование привело к появлению в геометрии так называемых «невозможных задач», т.е. задач которые невозможно решить только указанными инструментами. Эти задачи древности стали знаменитыми потому, что в течении 2000 лет усилия многих математиков были направлены на их решение. Классические задачи древности 1 1.Задача о трисекции угла (деление угла на три равные части) 1 2 3 2.Задача о квадратуре круга (построение квадрата, площадь которого равнялась бы площади данного круга. 3.Задача об удвоении куба (построение куба, объем которого был бы вдвое больше объема данного куба 2 3 S2 S1 V1 S1=S2 V2 V2=2V1 . Задачи кажутся доступными любому: вводят в заблуждение их простые формулировки. До сих пор редакции математических журналов время от времени получают письма, авторы которых пытаются опровергнуть давно установленные истины и подробно излагают решение какой-либо из знаменитых задач с помощью циркуля и линейки. Решение задачи о трисекции угла Уже Пифагорейцы умели делить прямой угол на три равные части при помощи построения равностороннего треугольника, основываясь на том, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 градусам. Успешное решение этой задачи дало толчок к постановке более общей задачи – о делении любого угла на три равные части. Задача эта была поставлена еще в V в. До н. э. и получила название у древних Греков задачи о трисекции угла. За её решение брались многие из лучших греческих математиков, но так и не решили. Однако если не ограничиваться указанными инструментами, то ее можно решить. В частности, в процессе отыскания таких решений был открыт целый ряд в высшей степени важных и интересных кривых. Задача о квадратуре круга: построить квадрат, площадь которого равна площади данного круга Это одна из древнейших и самых популярных математических задач, занимавшей умы людей на протяжении 3 – 4 тысячелетий, Один из современников Сократа – софист Антифон считал, что квадратуру круга можно осуществить следующим образом: впишем в круг квадрат и, разделяя пополам дуги, соответствующие его сторонам, построим правильный вписанный восьмиугольник, затем шестнадцати угольник и т.д., пока не получим многоугольник, который в силу малости сторон сольётся с окружностью. Но так как можно построить квадрат равновеликий любому многоугольнику, то и круг можно квадрировать. Однако уже Аристотель доказал, что это будет только приближённое, но не точное решение задачи, так как многоугольник никогда не может совпасть с кругом. Если принять за единицу измерения радиус круга и обозначить x длину стороны искомого квадрата, то задача сводится к решению уравнения: , откуда: Еще Архимедом было найдено значения числа ,но оставалось не ясным является ли оно рациональным. В 1767 году немецкий математик И.Г.Ламберт доказал иррациональность этого числа , а в 1882 году Линдеманом было доказано трансцендентность числа Попытки решения задачи о квадратуре круга Простейший механический способ предложил Леонардо да Винчи. Изготовим круговой цилиндр с радиусом основания R и высотой R/2 , намажем его чернилами и прокатим по плоскости. За один полный оборот цилиндр отпечатает на плоскости прямоугольник площадью R2 . Располагая таким прямоугольником, уже несложно построить равновеликий ему квадрат. Задача об удвоении куба Удвоение куба – так называется третья классическая задача древнегреческой математики. Эта задача на ряду с двумя первыми сыграла большую роль в развитии математических методов. Задача состоит в построении куба, имеющий объём, вдвое больше объёма данного куба. Если обозначить через а ребро данного куба, то длина ребра х искомого куба должно удовлетворять уравнению x³ = 2a³, или x = 3 2 Задача является естественным обобщением аналогичной задачей об удвоении квадрата, которая решается просто: стороной квадрата, площадь которого равна 2а², служит отрезок длиной а 2 , т.е. диагональ данного квадрата со стороной а. Наоборот удвоение куба, объём которого равен 2а³, т.е. отрезок х, равный a3 2 , не может быть построен при помощи циркуля и линейки. Однако это было доказано лишь в первой половине XIX в. Задача об удвоении куба История Согласно античной легенде, однажды на острове Делос разразилась эпидемия чумы. Жители острова обратились к дельфийскому оракулу, и тот сообщил, что необходимо удвоить жертвенник святилища, который имел форму куба. Жители Делоса соорудили ещё один такой же куб и поставили его на первый, но эпидемия не прекратилась. После повторного обращения оракул разъяснил, что удвоенный жертвенник также должен иметь форму куба. С тех пор делийской задачей занимались лучшие математики античного мира, было предложено несколько решений, однако никто не смог выполнить такое построение, используя только циркуль и линейку, поэтому постепенно сложилось общее убеждение в неразрешимости такой задачи. Ещё Аристотель в IV веке до н. э. писал: «Посредством геометрии нельзя доказать, что… два куба составляют один куб» Попытки решения задачи об удвоении куба Архит Тарентский (начало IV в. до н. э.) предложил решение, основанное на пересечении тора, конуса и кругового цилиндра. Платон (первая половина IV в. до н. э.) предложил механическое решение, основанное на построении трёх прямоугольных треугольников с нужным соотношением сторон. Менехм (середина IV в. до н. э.) нашёл два решения этой задачи, основанные на использовании конических сечений. В первом решении отыскивается точка пересечения двух парабол, а во втором — параболы и гиперболы. Попытки решения задачи об удвоении куба Эратосфен (III в. до н. э.) предложил ещё одно решение, в котором используется специальный механический инструмент — мезолябия, а также описал решения своих предшественников. Никомед (II в. до н. э.) использовал для решения этой задачи метод вставки, выполняемой с помощью специальной кривой — конхоиды. Свои решения также предложили Виет, Декарт, Грегуар де Сен-Венсан, Гюйгенс, Ньютон и еще многие математики Классические задачи древности Никомед ( Nικoμήδης, Nicomedes, III век до н. э.) — древнегреческий математик. Впервые рассмотрел конхоиду, построил прибор для её вычерчивания; применил для нахождения двух средних пропорциональных между заданными величинами, а также для решения задач о трисекции угла и удвоении куба. Конхоида НИКОМЕДА Интересные факты Узор на флаге Ирана описывается как построение с помощью циркуля и линейки. Флаг состоит из трёх равных горизонтальных полос: зелёной, белой и красной. Зелёный цвет олицетворяет плодородие, порядок и радость, белый — мир, красный — мужество и пролитую на войне кровь. В центре четыре полумесяца и меч. Герб ГДР Его основу составляли: золотой молот, олицетворяющий рабочий класс; золотой циркуль, обозначающий интеллигенцию; золотой венок пшеницы, который является представлением крестьянства. Наложенные друг на друга молот и циркуль представляли собой центральную фигуру герба, размещённую на красном поле. Заключение Итак, все старания решить три знаменитые задачи при известных ограничивающих условиях (циркуль и линейка) привели только к доказательству, что подобное решение невозможно. Следовательно, работа сотен умов, пытавшихся в течении столетий решить задачу, свелась ни к чему… Но это будет неверно. При попытках решить эти задачи было сделано огромное число открытий, имеющих гораздо больший интерес и значение, чем сами поставленные задачи. Древность завещала решение всех трёх задач нашим временам.
