Геометрия – это легко! Выполнили: ученицы 8 «В» класса МОУ «УТЛ им. Г.В. Рассохина» Коземаслова Наталья, Егорова Елизавета План работы: Актуальность работы: Систематизация основных понятий по четырехугольникам и треугольникам для подготовки учащихся к ОГЭ. Цели работы: 1. Выделение простейших геометрических конструкций; 2. Формирование и анализ их опорных свойств - ключей к решению задач повышенной сложности; 3. Привести решение экзаменационных задач средней и повышенной сложности; 4. Создание памятки для учащихся. Геометрические фигуры: ● Треугольник; ● Параллелограмм; ● Трапеция; ● Ромб; ● Квадрат; ● Прямоугольник. Треугольник - геометрическая фигура, состоящая из трех точек не лежащих на одной прямой и трех отрезков соединяющих эти точки. Признаки равенства треугольников: 1. По двум сторонам и углу между ними; 2. По стороне треугольника и прилежащим к ней двум углам; 3. По трем сторонам треугольника. Признаки подобия треугольников: 1. По равенству двух углов; 2. По пропорциональности двух сторон и равным углам между ними; 3. По пропорциональности трех сторон. Свойства равнобедренного треугольника: 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны; 2. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой. Площадь треугольника Синус, косинус, тангенс, котангенс. Задача: Площадь треугольника ABC равна 136. DE — средняя линия. Найдите площадь треугольника CDE. Решение: Средняя линия треугольника отсекает от него подобный треугольник с коэффициентом 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому площадь отсеченного треугольника вчетверо меньше площади исходного. Таким образом, площадь треугольника CDE равна 34. Задание 10 № 55353 тип B4 Ответ: 34. Параллелограмм - четырехугольник, в котором противоположные стороны попарно параллельны . Свойства параллелограмма: 1. Противоположные стороны и противоположные углы равны; 2. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Признаки параллелограмма: Если в четырехугольнике: 1. Две стороны равны и параллельны 2. Противоположные стороны попарно равны 3. Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам этот четырехугольникпараллелограмм Площадь параллелограмма Задача: Две стороны параллелограмма относятся как 3:17 , а периметр его равен 40. Найдите большую сторону параллелограмма. Решение: Пусть одна из сторон равна 3a, тогда другая равна 17a, поэтому периметр параллелограмма равен 2(3a + 17a) = 40a. Периметр равен 40, откуда, a = 1, следовательно одна сторона равна 3, а вторая — 17. Ответ: 17. Задание 16 № 49923 тип B4 Трапеция - четырёхугольник, в котором две противоположные стороны параллельны (основания трапеции), а две другие - нет (боковые стороны трапеции). Трапеция ● Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. ● Площадь трапеции: Задача: Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 38 и 23. Найдите среднюю линию этой трапеции. Решение: Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: Ответ: 38. Задание 11 № 50527 тип B4 Ромб - параллелограмм, у которого все стороны равны. Свойства ромба ● Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам; ● Диагонали являются биссектрисами его внутренних углов. Площадь ромба S a sin ; 2 d1d 2 S ; 2 S ah Задача: Середины последовательных сторон прямоугольника, диагональ которого равна 24, соединены отрезками. Найдите периметр образовавшегося четырехугольника. Решение: Четырехугольник EHGF - ромб, значит, его периметр равен 4EF . Стороны искомого четырехугольника равны средним линиям треугольников, образуемых диагоналями и сторонами данного четырехугольника. Таким образом, стороны искомого четырехугольника равны половинам диагоналей. Соответственно, имеем: Задание 3 № 50277 тип B4 Ответ: 48. Квадрат - четырёхугольник, у которого все стороны и все углы равны друг другу. Задача: Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна 5 2. Решение: По теореме Пифагора значит, Ответ: 5. AC 2 AB 2 BC 2 2AB 2 AC 2 AB 2 BC 2 2AB 2 Задание 4 № 49539 тип B4 Прямоугольник - параллелограмм, у которого все углы равны 90 градусов. Особое свойство прямоугольника: ● Диагонали прямоугольника равны. Площадь прямоугольника Задача: Периметр прямоугольника равен 42, а площадь 98. Найдите большую сторону прямоугольника. Решение: Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Периметр прямоугольника равен сумме длин всех сторон. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, вторая равна b. Площадь и периметр прямоугольника будут соответственно равны S = a b = 98, P = 2 a + 2 b = 42. Решая одновременно эти два уравнения, получаем, что a1 = 7, a2 = 14, b1 = 14, b2 = 7. Поэтому большая сторона равна 14. Задание 8 № 27604 тип B4 Ответ: 14. Задача С4 Задача С4 Задача С4 ● В прямоугольный треугольник АВС с прямым углом А и катетами АВ=2; АС=6 вписан квадрат АDEF. А) докажите, что треугольники BDE и EFC подобны; б) найдите отношение площади треугольника EFC к площади квадрата ADEF. ● Решение: А) т.к. ADEF – квадрат, то угол BDE равен углу EFC равен 90°. DE|| AC, т.к. сумма односторонних углов EDA и FAD равна 180°. Угол BED равен углу ECF как соответственные углы при пересечении параллельных прямых DE и AC секущей ВС BED~ EFC по двум углам. Вывод: В ходе нашего исследования мы проработали теорию и создали памятку для учащихся. Мы надеемся, что наша работа поможет подготовиться к сдаче итоговых экзаменов по математике (ЕГЭ и ОГЭ). Мы представили вам задачи из части B, и несколько задач из части C. Более сложные мы оставляем на дальнейшее рассмотрение для работы на будущий год. Источники: ● http://live.mephist.ru/show/mathege-solutions/C4/10/ ● http://reshuege.ru/test?theme=170 ● Л.Д. Лаппо, М.А. Попов справочное издание «ЕГЭ математика» ● Р.К. Гордин «Решение задачи С4» ● В.А. Гусев, И.Б. Кожухов, А.А. Прокофьев «Геометрия. Полный справочник» ● И.Ф. Шарыгин «Факультативный курс по математике» ● Б.Г. Зив «Задачи по геометрии» Спасибо за внимание.